1、6 等积变形有一个富翁留了一块三角形的土地给两个儿子，两个儿子要求平分这块地，这可伤透了他们的脑筋，因为他们不知道怎样去测量、平分。同学们，你们能想出多少种方法将这块土地平分成 2 个面积相等的三角形吗？根据这个问题，你能得出什么结论？结论一： 。思维探索例 1：你有什么方法将任意一个三角形分成 6 个面积相等的三角形？即学即练如图，把ABC 的底边 BC 四等分，那么甲、乙两个三角形的面积谁大，为什么？例 2：如下图所示，在ABE 中，有 BC=1，CD=DE=2，如果ABC 的面积是a，ABE 的面积是多少？如果ACD 的面积是 b，那么ABD 的面积是多少？即学即练如图，已知 D 是 B
2、C 的中点，E 是 CD 的中点，F 是 AC 的中点。已知三角形DEF 的面积是 6 平方厘米，那么三角形 ABC 的面积是多少平方厘米？:思维探索例 3：（平行线间的等积变形）如下图，ACD 和BCD 夹在一组平行线之间，且有公共底边，那么ACD 和BCD 的面积关系是怎样的？为什么？例 4：如图，在梯形 ABCD 中共有 8 个三角形，其中面积相等的三角形有哪几对？即学即练结论拓展：夹在平行线间的一组同底三角形面积相等如下图，在梯形 ABCD 中，梯形 ABCD 的面积是 20，ABC 的面积是 15，ABD 的面积是多少？融会贯通例 5： 如图，在直角三角形 ABC 中，D、E 分别是
3、 AB、AC 的中点，如果AED 的面积是 30平方厘米求ABC 的面积？即学即练如下图，在ABC 中，D、E 是所在边的中点，如果ABC 的面积是 4，那么CDE 的面积是多少？例 6：如图，ABFE 和 CDEF 都是长方形，AB 的长是 4 厘米，BC 的长是 3 厘米。那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米？即学即练在边长为 6 厘米的正方形中有一点 P，将点 P 分别和四条边的中点相连，如下图，求阴影部分的面积。练习册知识导航一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化。同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状。为便于实际问
4、题的研究，我们还会常常用到以下结论：（1） 等底等高的两个三角形面积相等；（2） 底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等；（3） 若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。数海拾贝1. 你能用四种方法将任意一个三角形分成面积相等的四部分吗？2.把ABC 分成甲、乙、丙三部分，使甲的面积是乙的面积的 2 倍，丙的面积是甲的面积的 4 倍3.如图，ABCD 是直角梯形，求阴影部分的面积和 （单位：厘米）4.-个梯形与一个三角形等高，梯形下底的长是上底的 2
5、 倍，梯形上底的长又是三角形底长的 2 倍，这个梯形的面积是三角形面积的多少倍？5.如下图，在ABC 中，D 是 AB 的三等分点，E 是 CD 的三等分点，F 是 CE 的三等分点，AEF 的面积是 5，那么ABC 的面积是多少？6.如图，在ABC 中，BE=2EC，AD =BD，已知ABC 的面积是 18 平方厘米，求四边形 ADEC的面积7.在平行四边形 ABCD 中，E、F 分别是 AB、BC 的中点如果BEF 的面积是 1，则平行四边形 ABCD 的面积是多少？8.如图，ABC 的面积为 1，延长 AB 到 E，使 BE=2AB；延长 BC 到 D，使 C 为BD 的中点，求BED
6、的面积。28 等底等高等面积在上个世纪的 80 年代，在计算机证明的这个领域内一下子有了突破性的进展，这是因为张景中院士创建了几何定理可读证明自动生成的理论和算法，并由此研制了世界上第一个能够自动产生几何定理可读证明的软件这个软件能够在微机上快速地进行几何定理证明、计算和发明新的定理，给出的推理演算或证明过程中有几何意义，易于理解，可以和人类手工证明相媲美这一成果使国外科学家经多年努力而进展甚微的难题获得重大突破其实，这套理论用到一条很原始，但又非常简单的一个命题：同底等高的三角形面积相等，我们今天也来研究这个趣味问题29 同高异底求面积同学们都知道，如果一个正方形的边长是另一个正方形边长的
7、3 倍，那么前一个正方形的面积是后一个正方形面积的 9 倍其实质是：如果边长扩大或缩小几倍，那么正方形的面积就扩大或缩小几的平方倍三角形或四边形的一条边或几条边发生变化，面积又怎样变化呢？经典例题将图中ABC 的各条边都延长一倍至 ，连接这些点得到一个新的 若ABC 的面积为 1，求 的面积解题策略(1)把ABC 与 相比较，由 ，边为底的高恰好是ABC 以 AB 边为底的高的 2 倍，也就是 的面积=ABC 的面积2=12=2(2)同理，把ABC 与 同样相比较，可得 的面积是 2(3)同理，把ABC 与 同样相比较，可得 的面积是 2（4） 的面积是：1+2+2+2=7如图(1)把ABC
8、的 AB 延长一倍到 D，AC 延长一倍到 E，新三角形的面积是原来面积的4 倍；如图(2)把ABC 的 BA 延长一倍到 D，AC 延长一倍到 E，新三角形的面积是原来面积的 2 倍举一反三3.84.如图，将图中的四边形 ABCD 的各边都延长一倍至 ，连接这些点得到一个新的四边形 若四边形 ABCD 的面积为 1，求四边形 的面积4. , . +1=54 4 等底等高三角形的面积三角形面积公式是：底高2：两个三角形只要它们的底和高相等，这两个三角形面积就相等。在解答一些平面图形的面积时，可以巧用等底等高两个三角形面积相等的方法来解答。典型题例【SlIH】 四边形 ABCD 中，肘为 AB
9、的中点，为 CD 的中点，如果四边形 ABCD 的面积是 80 平方厘米，求阴影部分 BNDM 面积是多少？【思路】 图中阴影部分 MBND、是一个不规则四边形，不能直接求出它的面积。如果对角线 BD 将四边形 ABCD 分为两个三角形，在ABD 和BDC 中，由于 M，分别是 AB，CD的中点，根据等底等高三角形面积的道理，可知阴影部分的两个三角形分别等于两个空白三角形的面积。【详解】连接 BD，如图。阴影部分面积是：802=40(平方厘米)【诀窍】 通过画辅助线，容易找到等底等高的三角形，而三角形底边的中点和顶点的连线（三角形中线）能把一个三角形平分成两个面积相等的三角形。好题精练如图(1
10、)，六边形 ABCDEF 的面积是 l6 平方厘米，M,N,P,Q 分别是 AB，CD，DE，AF 的中点。求图中阴影部分的面积。连结 AD，AE，AC，可知阴影部分面积恰为六边形 ABCDEF 面积的一半，为 162=8（平方厘米）如图(2)，在凸四边形 ABCD 中，延长边 AB 到 使 AB= 延长 BC 到 使 BC= 延长1B11C1CD 到 使 CD= 延长 DA 到 使 DA= 如果四边形 ABCD 的面积是1D11A118.5 平方厘米，那么四边形 的面积是多少？DCB连结 DC1，AD ，AC，A 1B，CB 如右图(1)，找出等底等高三角形，可知四边形 A1B C D的面积是四边形 ABCD 面积的 5 倍。即 18.55=92.5（平方厘米）如图(3)，四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于 E，AF=CE，BG=DE，如果四边形ABCD 面积为 1，求三角形 EFG 的面积。 1.3 CBGDABGEDGCFA sssG，连 接而EFG 面积等于AFG，ABG，ABE 三个三角形面积之和，也等于GEC，ADE，ABE 三部分面积之和，进一步等于DBC 与DAB 面积之和，也就是等于四边形 ABCD 的面积。所以EFG 的面积等于 1
