1、直线系、圆系方程1、过定点直线系方程在解题中的应用过定点（ ， ）的直线系方程： （A,B 不同时为 0）.0xy00()()AxBy例 1 求过点 圆 的切线的方程(4)P22()31xy分析：本题是过定点直线方程问题，可用定点直线系法.解析：设所求直线的方程为 （其中 不全为零） ，()(4)0ABAB，则整理有 ，40AxBy直线 l 与圆相切，圆心 到直线 l 的距离等于半径 1，故 ，(23)C， 2341BA整理，得 ，即 （这时 ） ，或 (4)0A0B04B故所求直线 l 的方程为 或 4y31xy点评：对求过定点（ ， ）的直线方程问题，常用过定点直线法，即设直线方程为: 0
2、，注意的此方程表示的是过点 的所有直线（即直线系） ，应用这种直线方程可以0()()AxBy0()Pxy，不受直线的斜率、截距等因素的限制，在实际解答问题时可以避免分类讨论，有效地防止解题出现漏解或错解的现象练习： 过点 作圆 的切线 l，求切线 l 的方程(14)P，22()(3)1xy解：设所求直线 l 的方程为 （其中 不全为零） ，140ABAB，则整理有 ，0AxBy直线 l 与圆相切，圆心 到直线 l 的距离等于半径 1，故 ，(23)C， 2341BA整理，得 ，即 （这时 ） ，或 (4)0A0B04B故所求直线 l 的方程为 或 4y31xy2、过两直线交点的直线系方程在解题
3、中的应用过直线 ： （ 不同时为 0）与 ： （ 不同时为 0）交点的直线l110AxByC1,ABm220AxByC2,AB系方程为： （ ， 为参数）.22()xyR例 2 求过直线： 与直线： 的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程.y1x分析：本题是过两直线交点的直线系问题，可用过交点直线系求解.解析：设所求直线方程为： ，2()0xy当直线过原点时，则 =0，则 =1，1此时所求直线方程为： ；20xy当所求直线不过原点时，令 =0，解得 = ，2令 =0，解得 = ，yx12由题意得， = ，解得 ，13此时，所求直线方程为： .540xy综上所述，所求直线方程为： 或 .2540
4、xy3、求直线系方程过定点问题例 3 证明：直线 ( 是参数且 R)过定点，并求出定点坐标.10mxym分析：本题是证明直线系过定点问题，可用恒等式法和特殊直线法.解析：（恒等式法）直线方程化为: ,()10xy R, ，解得， ， ，10xy直线 ( 是参数且 R)过定点（1,1）.mm（特殊直线法）取 =0， =1 得， ， ，联立解得， ， ，1y20x1xy将（1,1）代入 检验满足方程，0xy直线 ( 是参数且 R)过定点（1,1）.1mm点评：对证明直线系过定点问题，常用方法有恒等式法和特殊直线法，恒等式法就是将直线方程化为关于参数的恒等式形式，利用参数属于 R，则恒等式个系数为
5、0，列出关于 的方程组，通过解方程组，求出定点坐标; 特殊直,xy线法，去两个特殊参数值，得到两条特殊直线，通过接着两条特殊直线的交点坐标，并代入原直线系方程检验，即得定点.一、常见的圆系方程有如下几种：1、以 为圆心的同心圆系方程： (,)ab22()()(0)xayb与圆 同心的圆系方程为： 2yxDxEy 2yxDxEy2、过直线 与圆 交点的圆系方程为： （AB2yxDE2yxDxEy ）（ ）xy3、过两圆 : 0， : 交点的圆系方程为： 1C2x11FyEx2C2yx2FyEx 2yx （ ）0（ -，此圆系不含 :FyED2D2C ）2yx2FyExD特别地，当 时，上述方程为
6、根轴方程两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程注：为了避免利用上述圆系方程时讨论圆 ，可等价转化为过圆 和两圆公共弦所在直线交点的圆系方程:2C1C2111112()()()0xyyDxEyF二、圆系方程在解题中的应用：1、利用圆系方程求圆的方程：例 求经过两圆 x2+y2+6x-4=0 和 x2+y2+6y-28=0 的交点，并且圆心在直线 x-y-4=0 上的圆的方程。例、求经过两圆 3 2和 2 交点和坐标原点的圆的方程3yx解：方法 3：由题可设所求圆的方程为：（ 3 2） （ 2 ）2yx （0，0）在所求的圆上， 有2 从而 故所求的圆的方程为： 0)123()3(
7、 22 yxxyx即 7 。2yxx练习：求经过两圆 x2+y2+6x4=0 和 x2+y2+6y28=0 的交点 ,并且圆心在直线 xy4=0 上的圆的方程.1 解: 构造方程 x2+y2+6x4+(x 2+y2+6y28)=0即 (1+)x 2+(1+)y 2+6x+6y(4+28)=0此方程的曲线是过已知两圆交点的圆,且圆心为 )13,(当该圆心在直线 xy4=0 上时,即 .70413得 所求圆方程为 x2+y2x+7y32=0.),2(),3(04:2 的 圆 的 方 程且 过切 于求 与 圆练 习 BAy.021847,)0,2( )153(),1(yxyxyxA所 以 所 求 圆
8、 方 程 为得代 入 ， 。 与 已 知 圆 构 造 圆 系的 圆 的 切 线 为解 ： 过 2、利用圆系方程求最小面积的圆的方程：例 2（1）：求过两圆 和 的交点且面积最小的圆的方程。25xy22(1)()16xy分析：本题若先联立方程求交点，再设所求圆方程，寻求各变量关系，求半径最值，虽然可行，但运算量较大。自然选用过两圆交点的圆系方程简便易行。为了避免讨论，先求出两圆公共弦所在直线方程。则问题可转化为求过两圆公共弦及圆交点且面积最小的圆的问题。解：圆 和 的公共弦方程为25xy22(1)()16xy210xy过直线 与圆 的交点的圆系方程为05，即2(2)xyxy2(5)xyxy依题意
9、，欲使所求圆面积最小，只需圆半径最小，则两圆的公共弦必为所求圆的直径，圆心 必在公共弦所在直线 上。即 ，则(,) 1021014代回圆系方程得所求圆方程 2279()()48xy例（2）; 求经过直线 ：2 4与圆： 2 4 1的交点且面积最小的圆的方程l yxy解：设圆的方程为： 2 4 1 （2 4）yxy即 （14 ）则 ，2yx)()1(54)8()41()()( 222 r当 时， 最小，从而圆的面积最小，故所求圆的方程为： 26 12 3758r 5yxxy练习：1求经过圆 x2+y2+8x-6y+21=0 与直线 x-y+7=0 的两个交点且过原点的圆的方程。（常数项为零）2求
10、经过圆 x2+y2+8x-6y+21=0 与直线 x-y+5=0 的两个交点且圆心在 x 轴上的圆的方程。（圆心的纵坐标为零）3求经过圆 x2+y2+8x-6y+21=0 与直线 x-y+5=0 的两个交点且面积最小的圆方程。（半径最小或圆心在直线上）4求经过圆 x2+y2+8x-6y+21=0 与直线 x-y+5=0 的两个交点且与 x 轴相切的圆的方程；并求出切点坐标。（圆心到 x轴的距离等于半径）3、利用圆系方程求参数的值：例 3：已知圆 与直线 相交于 P，Q 两点，O 为坐标原点，若 ，求实数260xym230xyOPQm 的值。分析：此题最易想到设出 ，由 得到 ，利用设而不求的思
11、想，联立方程，12(,)(,)PxyQO120xy由根与系数关系得出关于 m 的方程，最后验证得解。倘若充分挖掘本题的几何关系 ，不难得出 O 在以 PQ 为P直径的圆上。而 P，Q 刚好为直线与圆的交点，选取过直线与圆交点的圆系方程，可极大地简化运算过程。解：过直线 与圆 的交点的圆系方程为：230xy260xym，即6(3).2(1)xyxy依题意，O 在以 PQ 为直径的圆上，则圆心 显然在直线 上，则 ，1(,)2230xy12(3)0解之可得 又 满足方程，则 ，故 。(0,)30m34、利用圆系方程判断直线与圆的位置关系：例 4 圆系 2 （4 10） 10 20（ ， -）中，任
12、意两个圆的位置关系如何？yxkxykk解：圆系方程可化为： 10 20 （2 4 10）2yxy 与 无关 即k012x5)(022易知圆心（，-）到直线 2 5的距离恰等于圆 的半径故直线 2 5与yyxxy圆 相切，即上述方程组有且只有一个解，从而圆系方程所表示的任意两个圆有且只有一个公共点，22)5(yx故它们的关系是外切或内切总结：在求解过直线与圆，圆与圆交点的圆有关问题时，若能巧妙使用圆系方程，往往能优化解题过程，减少运算量，收到事半功倍的效果。 练习：一、巧用过两圆交点的曲线系方程求圆方程例 1 求过圆： + + +1=0 与圆： + + =0 的交点，圆心在直线： 的圆的2xy2
13、xy4250xy方程.分析：本题是求过两圆的交点的圆的方程问题，用过两圆的交点的圆系方程求解.解析：设所求圆的方程为： + + +1+ + + )=0( ).2xy(2xy41整理得 =0，2(1)()(4)1)x所以所求圆的圆心为 ，,1由已知知所求圆的圆心在直线： 上，250xy所以 0，解得， = ，代入圆系方程整理得，1258所以，所求圆的方程为 .2341377xyxy点评：对过两圆交点的圆的问题，用过两圆的交点的圆系方程求解，可以优化解题过程，注意过交点的圆系方程表示的圆包括哪一个圆不包括那一个圆，且参数 不等于 这一条件，同学们应很好掌握这一方法.二、巧用过两圆交点的曲线系方程求
14、直线方程例 2 已知圆 O： 和圆外一点 A（3，4） ，过点 A 作圆 O 的切线，切点分别为 C、D，求2410xy过切点 C、D 的直线方程.分析：本题是求过切点的直线方程，由切线性质知，切点在以线段 AO 为直径的圆上，故直线 CD 是以线段 AO为直径的圆与圆 O 的公共弦所在的直线方程，故可用过两圆交点的曲线系方程求此直线方程.解析：由切线性质知，切点 C、D 在以线段 AO 为直径的圆上，由题知，O(1, )，2|AO|= = ，线段 AO 的中点为（2，1） ，22(31)(4)10以线段 AO 为直径的圆的方程为， ，即()()0xy，25xy圆 O 的方程与以 AO 为直径
15、的圆的方程相减整理得： + +3=0，x3y直线 CD 的方程为 + +3=0.x3y点评：对过圆切点的直线方程问题，可通过构造圆，利用过两圆交点的曲线系方程求直线方程，注意过两圆交点的曲线系方程参数 为何值时表示圆，参数 为何值时表示直线.例如：求与圆 x2+y24x2y20=0 切于 A(1,3)，且过 B(2,0)的圆的方程。解：过 A(1, 3)的圆的切线为： 3x+4y+15=0 与已知圆构造圆系：x2+y24x2y20+ (3x+4y+15)=0曲线过 B(2,0)= 78所求的方程为：7x 2+7y24x+18y20=0例 2 平面上有两个圆，它们的方程分别是 x2+y2=16 和 x2+y26x+8y+24=0，求这两个圆的内公切线方程。分析：由 x2+y26x+8y+24=0(x 3) 2+(y+4)2=1,显然这两圆的关系是外切。解： x 2+y26x+8y+24=0(x 3) 2+(y+4)2=1这两圆是外切(x 2+y26x+8y+24)(x 2+y216)=03x4y20=0所求的两圆内公切线的方程为：3x4y20=0学生注意：对于不同心的两个圆 C1：x 2+y2+D1x+E1y+F1=0, C2：x 2+y2+D2x+E2y+F2=0，圆系方程 C1+C2=0补充：
