1、1.27 当粒子处在三维立方势箱中 (a=bc),试求能量最低的前 3 个能级简并度。 解： 三维势箱中粒子能量的表达式为 当 a=bc 时， 当 1x y zn n n 时体系处于基态 （非简并态） 当 1, 2x y zn n n 时体系处于第一激发态 （非简并态） i. 2 , 1 ; 2 , 1x y z y x zn n n n n n （二重简并态） ii. 1, 3x y zn n n （非简并态） 当 即 时为 i 情况； 当 即 时为 ii 情况； 当 即 时体系为三重简并。 1.28. 写出一个被束缚在半径为 a 的圆周上运动的质量为 m 的粒子的薛定锷方程，求其解 。 解
2、： 2222 2 2 21 1 1 ( ) ( s i n ) ( )2 s i n s i nr V r Em r r r r r 其中 ( , , ) ( ) ( ) ( )r R r ( ) 0; ; 2V r r a ()Rr ， () 均为实数函数 22222 Ema 即 222 0ma E 上式即为满足题意的 薛定锷方程 。 上式属于二阶齐次线性微分方程，其特解为： ( c o s s i n )inA e A n i n 22 2 22 2 2()8 yxzx y z nh n nE E E E m a b c 2 2 2 22 ( 2 ( ) )8 xzhaE n nm a c
3、220 48hhE ma mc( 1)ac221 42hhE ma mc222 588hhE ma mc222 948hhE ma mc 22EE 3 18 ac22EE 38ac22EE 38ac2 2 ()2H T V V rm 2 2 2 2 2 222 2 2 2 2 2 2 2 22 1 1 1c o t s i nx y z r r r r r r 通过波函数归一化可求得 A 值，即： 2 2 22 2 20 0 0( ) 2 1i n i n i n i nd A e e d A e e d A 故： 12A 由边界条件知： ( ) ( 2 ) 即： 11( c o s s i
4、n ) c o s ( 2 ) s i n ( 2 ) 22n i n n i n 必须有 0,1,2,n ，即 n 必须为整数。 综上，方程的解为： 12 ine ( 0, 1, 2 )n 又 222ma En 2222nE ma( 0, 1, 2 )n 1.30 一个氧分子封闭在一个盒子里，按一维势阱计算（势阱宽度 10cm） （ 1）氧分子的基态能量是多少 （ 2）设该分子 T 300K 时平均热运动能量等于 3/2kT，相应量子数 n 为多少？ (3) 第 n 激发态与第 n+1 激发态能量相差多少？ 解： 一维势阱的能量表达式为 其中： 当 时，体系处于基态，能量为 T 300K 时
5、分子具有的能量为 故 (3) 1.32 若用二维箱中粒子模型 , 将蒽 (C14H10)的 电子限制在长 700pm, 宽 400pm 的长方箱中 ,计算基态 跃迁到第一激发态的波长 . 解： 二维势箱中粒子能量的表达式为： 对于蒽分子共有 14 个 电子，基态要占据能量最低的 7 个轨道，那么基态跃迁到第一激发态即为 轨道 78 的跃迁。 22 2 2 2 2 22 2 2 4( ) ( ) 8 8 7yxx y x ynh n hE E E n nm a b m b 2228nhE ml 260 . 1 , 3 2 5 . 3 5 2 5 1 0pl m m m k g 1n 401.02
6、5 10EJ2 3 2 13 1 . 5 1 . 3 8 1 1 0 3 0 0 6 . 2 1 4 5 1 02E k T J 2 928 7 .7 8 5 1 0m l En h 2 2 2 2 3022 ( 1 ) ( 2 1 ) 1 . 6 1 088n n h n hEJm l m l 根据粒子能量表达式，可以得到蒽 分子在二维箱中，能级图为： 22109392chh mb 即 222 2 287 4 4 1 0 9 ( ) 5 1 ( ) 9 48 7 7 3 9 2hhE E E m b m b cEh2 3 1 1 0 2 8 7343 9 2 3 9 2 9 . 1 1 1 0 ( 4 1 0 ) 2 . 9 9 8 1 0 2 . 3 7 1 0 2 3 71 0 9 1 0 9 6 . 6 2 6 1 0m b c m n mh
