1、1求解圆锥曲线离心率的方法离心率是圆锥曲线的一个重要性质，在高考中频繁出现，下面例析几种常用求法。椭圆的离心率 e（0，1），双曲线的离心率 e1，抛物线的离心率 e=1一、直接求出 a、c，求解 e已知圆锥曲线的标准方程或 a、c 易求时，可利用率心率公式 来解决。例. 已知双曲线 的一条准线与抛物线 的准线重合，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D. 解：抛物线 的准线是 ，即双曲线的右准线 ，则 ，解得 ，故选 D变式练习 1：若椭圆经过原点，且焦点为 F1(1，0)，F2(3，0)，则其离心率为( )A. B. C. D.34 23 12 14解：由 F1、F2 的坐标知 2c
2、=31，c=1，又椭圆过原点，ac=1，a+c=3，a=2，c=1,所以离心率 e= = .故选 C.ca12变式练习：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为( )A. B. C. D232解析：由题设 a=2，2c=6，则 c=3，e= = ,因此选 Cca32变式练习： 点 P（-3，1）在椭圆 的左准线上，过点 P 且方向为a=（2，-5 ）的光线，经直线 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（）A. B. C. D. 解：由题意知，入射光线为 ，关于 的反射光线（对称关系）为，则 解得 则 。故选 A。二、构造 a、c 的齐次式，解出 e根据题设条件，借助 a
3、、b、c 之间的关系，沟通 a、c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于 e 的一元方程，从而解得离心率 e。2例. 已知 F1、F 2是双曲线 的两焦点，以线段 F1F2为边作正三角形 MF1F2，若边 MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）A. B. C. D. 解：如图，设 MF1的中点为 P，则 P 的横坐标为 。由焦半径公式，即 ，得 ，解得，故选 D。变式练习：设双曲线 1(02，e 24，e2.故选 A.43 c2a2 a2+b2a2 b2a2变式练习：双曲线虚轴的一个端点为 M，两个焦点为 F1，F 2，F 1MF2120 ，则双曲线的离心率为（ ）（A） （B） （
4、C） （D）3解：如图所示，不妨设 M(0， b)，F 1(-c,0), F2(c,0),则|MF1|=|MF2|= .又|F 1F2|2c，c2+b2在F 1MF2 中， 由余弦定理，得 cosF 1MF2,|MF1|2+|MF2|2 |F1F2|22|MF1|MF2|即 cos120 ， ，12 b2 c2b2 c2 12b 2c 2a 2， ，3a 22c 2，e 2 ，e .故选 B. a22c2 a2 12 32三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解例设椭圆的两个焦点分别为 F1、F 2，过 F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P，若F 1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是_。解：
5、如右图所示，有 12| cceaP离 心 率 的 定 义 椭 圆 的 定 义四、根据圆锥曲线的统一定义求解3例4.设椭圆 + 1 (ab0)的右焦点为F 1，右准线为l 1，若过F 1且垂直于x轴的x2a2y2b2弦的长等于点F 1到l 1的距离，则椭圆的离心率是 .解：如图1所示，AB是过F 1且垂直于x轴的弦，ADl 1于D，|AD|为F 1到准线l 1的距离，根据椭圆的第二定义，e= = = ， 即 e= .故填 . |AF1|AD| 12 12 12变式练习： 2|/21AFeD椭 圆 的 第 二 定 义五、构建关于 e 的不等式，求 e 的取值范围例 5. 设 ，则二次曲线 的离心率
6、的取值范围为（ ）A. B. C. D. （ ）另：由 x2cot y 2tan =1， (0， )，得 a2tan ，b 2= 4cot ,c 2a 2+b2tan +cot ,e 2 1+ cot 2 , (0， )， cot2 1,e 22，e .故选 D.c2a2 tan + cottan 4 2例6 如图，已知梯形ABCD中，AB2CD，点E分有向线段 所成的比为，双AC 曲线过C、D、E三点，且以A 、B为焦点当 时，求双曲线离心率e的取值范围23 34解：以 AB 的垂直平分线为 y 轴，直线 AB 为 x 轴，建立如图 3 所示的直角坐标系 xOy，则 CDy 轴.因为双曲线经
7、过点 C、D ，且以 A、B 为焦点，由双曲线的对称性知 C、D 关于 y 轴对称依题意，记 A(c ，0) ，C( ，h),c2E(x0，y 0)，其中 c= AB为双曲线的半焦距，h 是梯形的高12由定比分点坐标公式得 x0 ，y 0 设双曲线的方( -2)c2(1+ ) h1+程为 1，则离心率 e= . 由点 C、E 在双曲线上，所以，将点 C 的坐x2a2 y2b2 ca标代入双曲线方程得 1 ，将点 E 的坐标代入双曲线方程得 ( )c24a2 h2b2 c24a2 21+2( )2 1 再将 e= 、得 1， 1 ， (1+ h2b2 ca e24 h2b2 h2b2 e24 e
8、244)2( )2 1 21+ 11+ h2b2将式代入式，整理得 （44）12，1 由题设 得，e24 3e2+2 23 341 解得 e 所以双曲线的离心率的取值范围为 ， 23 3e2+2 34 7 10 7 10练习：1.（天津理 4） 设双曲线2(,)yxab的离心率为 3,且它的一条准线与抛物线 2yx的准线重合，则此双曲线的方程为A. 14B.214896yxC.213yxD.2136yx2.（全国 2 文 11）已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍，则椭圆的离心率等于（ ）A 3B 3C D3.（2006 全国 II）已知双曲线 的一条渐近线方程为 y x，则双曲线的离心率为 x
9、a yb 1 43（A） (B) (C) (D)53 43 54 324 （2006 山东卷）在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为 ，焦点到相应准线的距离为 1，则该椭圆的离心率为 (A) 2 (B) (C) 21 (D) 45 （2006 山东卷）在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为 ，焦点到相应准线的距离为 21，则该双曲线的离心率为 (A) 2 (B)2 (C) 2 (D)2 26.（安徽理 9）如图， 1F和 2分别是双曲线)0,(2barx的两个焦点， A和 B是以 O为圆心，以1O为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且 F2是等边三角形，则双曲线的离心率为（A） 3（B）
10、5（C） 5（D） 317.（湖南文 9）设 12F、 分别是椭圆5210xyab的左、右焦点，P 是其右准线上纵坐标为 3c（ 为半焦距）的点，且 12F，则椭圆的离心率是A 3 B. 12 C. 512 D. 28.（全国 2 理 11）设 F1，F 2 分别是双曲线2xyab的左、右焦点。若双曲线上存在点A，使F 1AF2=90，且|AF 1|=3|AF2|，则双曲线离心率为(A) 5 (B) 0(C) 152 (D) 59.（2006 福建卷）已知双曲线 2byax(a0,b0)的右焦点为 F，若过点 F 且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是
11、A.( 1,2) B. (1,2) C.2,+ D.(2,+)10.（北京文 4）椭圆21(0)xyab的焦点为 1， 2，两条准线与 x轴的交点分别为 MN， ，若 12F ，则该椭圆离心率的取值范围是（ ） 102， 0， 12， 21，答案：1.由 3,ca21可得 3,6,3.abc故选 D2.已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍， ，椭圆的离心率 32cea，选 D。3.双曲线焦点在 x 轴,由渐近线方程可得2445,33bcea可 得,故选 A4.不妨设椭圆方程为21ya（ab0） ，则有221ac且，据此求出 e25.不妨设双曲线方程为21xyab（a0，b0） ，则依题意有221
12、baca且，6据此解得 e 2，选 C6.解析：如图， 1F和 2分别是双曲线 )0,(12barx的两个焦点， A和 B是以 O为圆心，以 1F为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且 2是等边三角形，连接 AF1，AF 2F1=30，|AF1|=c，|AF 2|= 3c， (3)ac，双曲线的离心率为 3，选 D。7.由已知 P（ a,） ，所以 22)3(2化简得02ceca8.设 F1，F 2 分别是双曲线21xyab的左、右焦点。若双曲线上存在点 A，使F 1AF2=90，且 |AF1|=3|AF2|，设|AF 2|=1，|AF 1|=3，双曲线中 122|aF，12|0cAF， 离心率 0e，选 B。9.双曲线2(,)xyab的右焦点为 F，若过点 F 且倾斜角为 60o的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率 ba， 3，离心率 e2=2cab 4， e2，选 C10.椭圆21(0)xyab的焦点为 1F， 2，两条准线与 x轴的交点分别为 MN， ，若2|MNc， 12|Fc， 12MN ，则2ac，该椭圆离心率 e 2， D。设点 为曲线上的点),(0yxP一椭圆的焦半径公式：到左焦点的距离： ；0exad到右焦点的距离： 二双曲线的焦半径公式：7到左焦点的距离：；.,;00axexad到右焦点的距离：.,;00
