1、1动物体重与心律模型摘要本文通过对动物散热与动物表面积、体积、体重的关系进行深入分析，运用合理的假设确定其比例关系，建立动物体重与心率之间的关系模型。最后通过 MATLAB 进行图形分析，进一步加以验证，得到最优模型，进而明确体重与心律之间的比例关系，便于通过体重来预测人类心律大小，从而达到预防心脏疾病的目的。首先，由热血动物在休息状态时，动物产热主要用于维持体温，产热与从心脏到全身的血流量成正比，同时体温通过体表散失，得到心脏产热率与体表产热率近似相等，通过假设建立这个恒等关系，并运用此关系建立模型。其次，由常识可知动物表面积与体积存在正比关系，通过动物身长建立体积于表面积比例关系。另外，动
2、物心脏产热率与心脏体积成正比，与心律成正比建立三者比例关系。根据心脏体积与动物体积成正比，将两个关系式结合，通过动物体积这个变量表示出恒等关系。最后根据体积与体重之间存在的正比关系，用变量体重替换体积，建立体重与心律之间的模型。最后，用 MATLAB 软件求解，并验证模型。通过对此问题的优化分析，可以将体重于心率的比例关系应用于现代医学，进而达到预防疾病的目的。关键词： 散热 产热 MATLAB 比例关系 最小二乘法 变量替换 心脏病21 问题重述生物学家认为，对于休息状态的热血动物，消耗能量主要用于维持体温，能量与从心脏到全身的血流量成正比，而体温主要通过身体表面散失，现在要求建立一个动物体
3、重与心率之间关系的模型，并用下面的数据加以检验。动物 体重（g） 心率（次/分）田鼠 25 670家鼠 200 420兔 2000 205小狗 5000 120大狗 30000 85羊 50000 70人 70000 72马 450000 382 问题分析从问题的提出可以看到，对于热血动物来说，消耗能量与全身血流量成正比，体温从体表散失，于是有：体表散热率=心跳产热率。由常识可知：心脏体积动物体积， 体重体积3 模型假设1. 假设热血动物在休息状态时消耗的能量全部转换为热量，全部热量都用来维持体温；2. 假设动物（包括人）的体积完全与长度成正比，动物（包括人）的表面积完全与长度成正比；3. 假
4、设外界环境是保持恒定的，不会出现使体温变化很大的环境因素；4. 假定动物（包括人）体表的散热率完全恒等于心跳的产热率；5. 假定心脏体积与动物（包括人）的体积成正比，体积与重量成正比；34 符号说明符号 说明V 动物（包括人）的体积S 动物（包括人）的表面积L 动物（包括人）的长度P 动物（包括人）的心率G 动物（包括人）的体重K1表面积 S 与体积 V 之间的比例系数K 2体表散热率与表面积 S 之间的比例系数K 3心脏体积与动物体积 V 的比例系数K 4体积 V 与体重 G 之间的比例系数K 心率 P 与体重 G 之间的比例系数5 模型的建立与求解 5.1 模型的建立由数学知识可知：体积
5、V 正比于长度的立方，表面积 S 正比于长度的平方，于是有， 3L2L则有 321*VKS由体表散热率=心跳产热率，求得：体表散热率 3212*VKS1由心脏体积正比于动物的体积得，令心率为 ，心脏体积PVK*3所以心跳产热率 *3 2则由（） （）得： 3212VKSP*所以33221*P 3由体重和体积成正比得，令体重为 ，有GKV*4 44整理化简得 即31421*KGP31*GKP 5式即为建模所要求的最后结果公式55.2 模型的求解由（5）式可以用 MATLAB 画出其散点图，如图表 1图表 15图表 2由上图可以看出，题目中所给数据是一系列离散的点，要通过将目标函数进行一定变形才能
6、更清晰的看出其变化趋势。所以，对其两边同时取对数可得：lgP=lg*G(- )31即 lgP=lgK- lgG31令 y=lgP,x= lgG,a= lgK 得：y=a- x则数据 x ，y 满足线性关系 y=a- x1 31利用最小二乘法直线拟合，当所测各 y 值与拟合直线上的 a+bx 之间的偏差的平方和i i最小，即Q = 最小213iini xay此时所的系数 a 最好，拟合公式即为最佳经验公式解方程的a= =3.26312*xyK=10 =1.832810a3P=K*G =1.832810 *G3116用 MATLAB 做出图像如图标 3，与原图像比较图表 36.模型的评价6.1 模
7、型的优点：1. 利用 Mtalab 软件编程进行求解，所得的结果数据准确、合理。2. 只考虑动物在休息状态，没有其他活动时的产热与散热，简化问题，便与分析求解。6.2 模型的缺点：1. 在建立模型时，假设热血动物在休息状态时消耗的能量全部转换为热量，忽略了其他的热量散失方式。2. 没有考虑外界气温的变化。3. 在建立模型时，假设动物表面积、体积与长度成正比，求解比较粗略。4. 假设心脏体积与动物体积成正比，没有考虑特殊情况。7 模型推广通过对动物体重与心率这个动物模型的研究，可以通过进一步优化，结合实际医疗问题，预防心脏病，降低心脏病的发病率。例如通过有意识地控制体重，从而有助于更方便、更有效
8、地认识人类心脏病的发生、发展规律和研究防治措施。7参考文献1姜启源， 数学模型 ，第三版2 百度 http:/ p=670 420 205 120 85 70 72 38; %不同动物的心率 G=25 200 2000 5000 30000 50000 70000 450000; %不同动物的体重 figure(1);plot(G,p,o) %绘制动物的体重与心率散点图 figure(2);loglog(G,p,ro) %在对数坐标中绘制动物的体重与心率散点图 G=25 200 2000 5000 30000 50000 70000 450000;p=670 420 205 120 85 70
9、 72 38; x=log10(G);y=log10(p); x1=(sum(x)/8;X1=(sum(x.2)/8;X2=(x1)2;y1=(sum(y)/8; xy=(sum(x.*y)/8; a=(xy*(x1)-(X1)*y1)/(X2-X1) %用最小二乘法计算常数项 a 的值 a =3.2631 k=10a % 将 a 转化为 k 的值 k =1.8328e+003 G=25 200 2000 5000 30000 50000 70000 450000; p=670 420 205 120 85 70 72 38; k=10a ; g=20:10:450000; P=k*g.(-1/3); loglog(G,p,go) hold on loglog(g,P,b) % 拟合图像8来自：http:/
