1、1cbCAaB第十一章 三角形1、 定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形2、 有关概念及表示法：（1）顶点：两边的公共点，用（顶）点 A、点 B、点 C 等表示； （2）边：组成三角形的三条线段，用 AB（c） 、AC（b）等表示；（3）内角：在三角形中，每两条边所组成的角，用BAC、ABC 等表示；（4）顶点是 A,B,C 的三角形，记作 “ABC” ，读作“三角形 ABC”。3、 分类： 直角三角形 不等边三角形（1 ） 按角分 锐角三角形 （2 ）按边分 等边三角形斜三角形 钝角三角形 等腰三角形 底边和腰不等一、线段1、 边（1 ） 定理：三角形两边的和大于第三边
2、，可表示为 a+bc，b+ca，a+cb，理论依据是两点之间线段最短；（2 ） 推论：三角形两边的差小于第三边，可表示为 c-bb 时，2ac，b+ca，a+cb 都成立时 |a-b|a 时2、 高（1 ） 定义：从ABC 的顶点 A 向它所对的边 BC 画垂线，垂足为 D，所得线段 AD 叫做ABC 的边 BC 上的高；（2 ） 特点：高是线段且三角形有三条高，锐角三角形三条高相交于三角形内一点，直角三角形三条高交于直角顶点，钝角三角形三条高的延长线相交于一点；2（3 ） 应用：找出三角形的高进行推理和运算；等底或等高的两个三角形面积。3、 中线（1 ） 定义：连接ABC 的顶点 A 和它所
3、对的边 BC 的中点 D，所得线段 AD 叫做ABC 的边BC 上的中线；（2 ） 特点：中线是线段且三角形有三条中线，任何三角形的三条中线都相交于三角形内一点(重心) ；（3 ） 应用：根据定义得知点 D 是边 BC 的中点从而进行推理和计算，也考查等腰三角形“三线合一”的性质。4、 角平分线（三角形）（1 ） 定义：画A 的平分线 AD，交A 所对边 BC 于点 D，所得线段 AD 叫做ABC 的角平分线；（2 ） 特点：三角形的角平分线是线段，角的平分线是射线，三角形有三条角平分线且相交于三角形内一点（内心） ；（3 ） 应用：经常考查被角平分线分出来的两个角是相等和角平分线的性质和推理
4、2、内角（三角形、多边形）1、 三角形内角（1 ） 内角和定理：三角形三个内角的和等于 180，由平行线的性质和平角的定义证明，几何表达式：在ABC 中， A+B+C=180;（2 ）定理特点：一个三角形中至少有两个锐角，最多有三个锐角；最多有一个钝角；最多有一个直角；（3 ）定理应用：已知两个内角求第三个角，已知各角之间的关系求各角，判断三角形的形状；（试求五角星五个角的度数和？）2、 多边形内角（1 ） 多边形定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形。由 n 条线段组成的多边形就叫 n 边形，三角形是最简单的多边形；（2 ） 多边形内角定义：多边形相邻两边组成的角；多边形内角和定理
5、：n 边形的内角和为（n-2 ）180 （n3 ） ，由画对角线和三角形内角和定理可得；3（3 ） 多边形对角线定义：连接多边形不相邻的两个顶点的线段；对角线条数：从 n 边形的一个顶点可以引导（n-3）条对角线，把这个多边形分成（n-2 ）个三角形；n 边形共有 n（n-3）2 条对角线；（4）正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形；3、外角（三角形、多边形）1、 三角形外角（1 ） 定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角。 （注意延长 AB 与延长 BA 的不同）（2 ） 性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，几何表达式：因为ACD=A+B；由平行线性质或内角和定理
6、可证明；三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角；三角形的外角和等于 360，由平角定义和三角形内角和性质可证明；（3 ） 应用：已知外角和不相邻的一个内角，求另一个不相邻的内角；可证一个角等于另两个角的和；作为中间关系证明两个角相等；证明两角的不等（即一个内角一个外角） ；2、 多边形外角（1 ） 定义：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角；（2 ） 外角和：多边形外角和等于 360。用平角的定义和多边形内角和性质可证明；（3 ） 应用：在运用多边形的内角和外角和公式求值时，常与方程思想相结合。第 12 章 全等三角形1、 定义：能够完全重合的两个三角形， “全等”用符号“” 表示2、
7、相关概念：对应顶点即重合的顶点，对应边即重合的边，对应角即重合的角；（注意正确识别对应元素）3、 全等变换：只改变图形的位置，而不改变其形状大小的图形变换（其实就是全等图形）1、 性质1、 性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等，对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等；2、 难点：如何找出对应边、对应角 （注意区分对应边、对边、对应角、对角）4（1）由记法找：ABC DEF，即 AD，ABDE ，ABC DEF；（2）由对应元素找：对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边的对应边；对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；（3）由位置找：有公共边（角） ，公共边
8、（角）一定是对应边（角） ；（4）由角或边大小找：大对大，小对小，长对长，短对短；2、 判定1、 公（定）理：（1） “SSS”：三边对应相等的两个三角形全等（2） “SAS”：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（3） “ASA”：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（4） “AAS”：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（5） “HL”：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（注意是 Rt）注意：“AAA” ， “SSA”无法判定两个三角形全等2、 如何书写：（1）在例举两个三角形全等的条件时，把三个条件按顺序排列，并用大括号将它们括起来（2）公理中边、角、边三个
9、条件后面一定要注明根据，如果是已知条件中已具备的，括号内注明已知，如果需要证明，应在（2）点前证明好，再在括号中注明已证（3）写出结论，标明证明所用公理，如（ SAS） ，注意对应顶点写在对应位置上。3、 如何找已知条件：已知条件包含两部分：已知中给出的和图形中隐藏的，即已知中找，图形中看4、 如何选择判定方法：（1）已知一边一角对应相等，选 SAS ，AAS ， ASA（2）已知两角对应相等，选 ASA ， AAS（3）已知两边对应相等，选 SAS ， SSS5、 如何选择三角形证全等：（ 1）从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角
10、形全等（2）从已知条件出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等（3）从条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线（例倍长中线法） ，构造全等三角形56、 利用全等三角形证明线段（角）相等：（1 ）观察要证的线段或角（或用等量代换后的线段或角）在哪两个可能全等的三角形中（2）分析要证全等的两个三角形，已知什么条件，还缺什么条件（3）设法证出所缺条件（4）当待证的线段（角）不分布在两个三角形中（也找不到等量代换）时，常需添加辅助线造出三角形，使它们分别包括一个所要证的线段（角）7、 证题时常用的方法：（1）证角相等：对顶角相等、同角（等角）的余角（补角
11、）相等、两直线平行同位角（内错角）相等、角平分线定理、全等三角形对应角相等（2）证线段相等：中点定义、全等三角形对应边相等、等式性质、截长补短法、垂直平分线（3）两种基本图形：线段（角）的等量加等量（4）三种分析方法：综合法（从已知入手） 、分析法（从要证出发） 、 “两头凑”（5）若图形复杂，可用分解法（辅助线）将图形分解8、 证明文字题的一般步骤：（ 1）根据题意画出图形（2）根据题设、结论，结合图形写出已知、求证（3）经过分析，找出证明途径（4）写出证明过程9、 利用全等三角形解决实际问题的步骤：（1 ）先明确实际问题应用哪些几何知识解决（2）根据实际抽象出几何图形（3）结合图形和题意写
12、出已知、求证（4）经过分析，找出证明途径（5）写出证明过程3、 角的平分线1、 角的平分线定义：把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线点到直线的距离定义：直线外一点到这条直线的垂线段长度2、 性质定理：角的平分线上的点到这个角两边的距离相等。三角形三条角平分线交于三角形内一点，且交点（内心）到三边距离相等63、 判定定理：到一个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上第 13 章 轴对称1、 轴对称图形定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合（全等） ，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴（条数因图形而定） 。2、 轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线折
13、叠，如果它能够与另一个图形重合（全等） ，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴（一般情况只有一条） ，折叠后重合的点是对应点，叫对称点。区别与联系：前者有一个图形，对称轴条数因图形而定；后者有两个图形（指两个图形的位置关系） ，对称轴条数一般只有一条；二者可以相互转化。1、 作图形的对称轴1、 垂直平分线：（1）定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线（2）性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等（3）判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上（4）外心：三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心2
14、、 图形轴对称和轴对称图形的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。类似地，轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。3、 作图形的对称轴：（1）前提是两个图形成轴对称或一个图形是轴对称图形（2）找一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线即可（3）尺规完成2、 作轴对称图形1、 轴对称变换定义：把一个平面图形沿某条直线折叠得到它的轴对称图形2、 作轴对称图形：（1）分类：作已知图形的轴对称和补全轴对称图形（路径最短问题）（2）方法： 作出图形中的一些特殊点（顶点或转折点）的对称点，连接这些对称点即可 平面直角坐标系：关于 x 轴对称，
15、横不变纵变；关于 y 轴对称，横变纵不变；关于原点对称，横纵都变（注意直角坐标系位置不同点的坐标就不同）7（3）步骤： 找原图形的关键点 作关键点关于对称轴的对称点 按原图形顺序连接各对称点3、 等腰三角形（等边三角形）（一）等腰三角形1、 定义：有两条边相等的三角形。相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底，两腰所夹角叫顶角，底边与腰的夹角叫底角2、 性质：等腰三角形的两个底角相等（简写成 “等边对等角 ”）3、 判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（“等角对等边” ） ，是把角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据4、 推论：（1 ） “三线合一”：等腰三角形的顶角平
16、分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，即等腰三角形顶角平分线平分底边且垂直于底边；（2）等边三角形三个内角都等于 60（3）等腰三角形的底角只能为锐角，但顶角可为钝角或直角（4）推论作用：证明角相等，线段相等或垂直5、 有二倍角时常用到的辅助线：（1 ）构造等腰三角形，使二倍角是等腰三角形顶角的外角 （2）平分二倍角 （3）加倍小角 （4 ）过一点作腰的平行线 （5）过一点作底边的平行线6、 等腰三角形中常用到的辅助线：通常作底边上的高、中线或顶角平分线7、 等腰三角形三边关系、三角关系（2 ） 等边三角形1、 定义：三边都相等的特殊的等腰三角形2、 判定定理：（1）三个角都相等的三角形 （2）有一个角（顶角或底角）等于 60的等腰三角形是等边三角形3、 推论：在直角三角形中，如果有一个锐角等于 30，那么它所对的直角边是斜边的一半（常用于证明边的倍数关系）8910
