1、1椭圆的定义与性质1椭圆的定义(1)第一定义：平面内与两个定点 F1，F 2 的距离之和等于 常数( 大于| F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点的距离叫做焦距(2)第二定义：平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离的比是常数 e(0b0)x2a2 y2b2 1(ab0)y2a2 x2b2图形性质范围 axa by b bxb aya顶点 A1(a,0)，A 2(a,0) A1(0，a)，A 2(0，a)B1(0，b)，B 2(0，b) B1(b,0)， B2(b,0)焦点 F1(c,0) F2(c,0) F1(0，c) F2(0，c ) 准线 l1：x l
2、2：x a2c a2cl1：y l2：y a2c a2c轴长轴 A1A2 的长为 2a短轴 B1B2 的长为 2b焦距 F1F22c离心率 e ，且 e(0,1)caa，b，c的关系c2a 2b 2对称性 对称轴：坐标轴对称中心：原点1(夯基释疑)判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”)(1)动点 P 到两定点 A(2,0)，B(2,0)的距离之和 为 4，则点 P 的轨迹是椭圆( )2(2)椭圆上一点 P 与两焦点 F1，F 2 构成PF 1F2 的周长为 2a2c(其中 a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距) ( )(3)椭圆的离心率 e 越大，椭圆就越圆( )(4)已知点
3、F 为平面内的一个定点，直线 l 为平面内的一条定直线设 d 为平面内一动点 P 到定直线 l的距离，若 d |PF|，则点 P 的轨迹为椭圆( )54解析 (1)错误，|PA| PB|AB| 4，点 P 的轨迹为线段 AB；(2) 正确，根据椭圆的第一定义知PF1PF 22a，F 1F22c，故 PF1F2的周长为 2a2c； (3)错误，椭圆的离心率越大，椭圆越扁(4)正确，根据椭圆的第二定义答案 (1) (2) (3) (4)2(教材习题改编)焦点在 x 轴上的椭圆 1 的离心率为 ，则 m_.x25 y2m 105解析 由题设知 a25，b 2m，c 25m，e 2 ( )2 ，5m2
4、，m3.答案 3c2a2 5 m5 105 253椭圆的焦点坐标为(0， 6)，(0,6)，椭圆上一点 P 到两焦点的距离之和为 20，则椭圆的标准方程为_解析 椭圆的焦点在 y 轴上，且 c6,2a20，a10，b 2a 2c 264，故椭圆方程为 1.x264 y2100答案 1x264 y21004(2014无锡质检)椭圆 1 的左焦点为 F，直线 xm 与椭圆相交于点 A，B，当FAB 的周长最大x24 y23时，FAB 的面积是_解析 直线 xm 过右焦点(1,0)时， FAB 的周长最大，由椭圆定义知，其周长为 4a8，此时，|AB|2 3，S FAB 233.答案 3b2a 23
5、2 125(2014江西高考)过点 M(1,1)作斜率为 的直线与椭圆 C： 1(ab0)相交于 A，B 两点，若 M12 x2a2 y2b2是线段 AB 的中点，则椭圆 C 的离心率等于_解析 设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则Error! 0，x1 x2x1 x2a2 y1 y2y1 y2b2 .y1 y2x1 x2 b2a2x1 x2y1 y23 ，x 1x 22，y 1y 22， ，y1 y2x1 x2 12 b2a2 12a22b 2.又 b2a 2c 2，a 22(a 2c 2)，a 22c 2， .答案 ca 22 22考向 1 椭圆的定义与标准方程【典例 1】 (
6、1)(2014全国大纲卷改编) 已知椭圆 C： 1(ab0)的左、右焦点为 F1、F 2，离心x2a2 y2b2率为 ，过 F2 的直线 l 交 C 于 A、B 两点若AF 1B 的周长为 4 ，则 C 的方程为_33 3(2)(2014苏州质检)椭圆的中心在原点，焦距为 4，一条准线为 x4，则该椭圆的方程为_解析 (1)由条件知AF 1B 的周长4a4 ，a .3 3e ，c 2b 2a 2，c1，b .椭圆 C 的方程为 1.ca 33 2 x23 y22(2)椭圆的一条准线为 x4，焦点在 x 轴上且 4，又 2c4， c2，a 28，b 24，a2c该椭圆方程为 1.答案 (1) 1
7、 (2) 1,x28 y24 x23 y22 x28 y24【规律方法】 (1)一般地，解决与到焦点的距离有关问题时，首先应考虑用定义来解决(2)求椭圆的标准方程有两种方法定义法：根据椭圆的定义，确定 a2，b 2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出 a，b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在 x 轴上和 y 轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2 By21( A0，B 0，AB) 【变式训练 1】 (1)(2013广东高考改编) 已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1,0)，离心率等于 ，12则 C 的方程是_(2)(2
8、014苏州质检)已知椭圆的方程是 1(a5) ，它的两个焦点分别为 F1，F 2，且| F1F2|8，弦x2a2 y225AB(椭圆上任意两点的线段)过点 F1，则ABF 2 的周长为 _解析 (1)右焦点 F(1,0)，则椭圆的焦点在 x 轴上；c1.4又离心率为 ，故 a2，b 2a 2c 2413，故椭圆的方程为 1.ca 12 x24 y23(2)a 5， 椭圆的焦点在 x 轴上，| F1F2|8，c4，a 225c 241，则 a .41由椭圆定义，|AF 1| AF2|BF 2|BF 1|2a，ABF2的周长为 4a4 .答案 (1) 1 (2)441x24 y23 41考向 2
9、椭圆的几何性质【典例 2】 (1)(2013江苏高考) 在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的标准方程为 1( ab0)，x2a2 y2b2右焦点为 F，右准线为 l，短轴的一个端点为 B.设原点到直线 BF 的距离为 d1，F 到 l 的距离为 d2，若 d2d1，则椭圆 C 的离心率为_6(2)(2014扬州质检)已知 F1、F 2 是椭圆 C 的左、右焦点，点 P 在椭圆上，且满足|PF1|2|PF 2|， PF 1F230 ，则椭圆的离心率为_解析 (1)依题意，d 2 c .又 BF a，所以 d1 .由已知可得 ，所以a2c b2c c2 b2 bca b2c 6bcac2ab
10、 ，即 6c4a 2(a2c 2)，整理可得 a23c 2，所以离心率 e .6ca 33(2)在三角形 PF1F2中，由正弦定理得 sinPF2F11，即 PF2F1 ，2设|PF 2| 1，则| PF1|2，|F 2F1| ，离心率 e . 答案 (1) (2) ,32c2a 33 33 33【规律方法】 1椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF 1| PF2|2a，得到 a，c 的关系2椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围) ，常见有两种方法：(1)求出 a，c，代入公式 e ；
11、ca(2)只需要根据一个条件得到关于 a，b，c 的齐次式，结合 b2a 2c 2转化为 a，c 的齐次式，然后等式(不等式 )两边分别除以 a 或 a2转化为关于 e 的方程(不等式) ，解方程( 不等式)即可得 e(e 的取值范围) 【变式训练 2】 (1)(2013课标全国卷改编) 设椭圆 C： 1(ab0)的左、右焦点分别为x2a2 y2b2F1，F 2，P 是 C 上的点，PF 2F 1F2，PF 1F230 ，则 C 的离心率为_(2)(2014徐州一中抽测)已知 F1、F 2 是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，F 1PF260. 则椭圆离心率5的范围为_解析 (1)如图，在 R
12、tPF1F2中，PF 1F230 ，|PF 1|2|PF 2|，且|PF 2| |F1F2|，33又|PF 1| |PF2| 2a， |PF2| a，于是|F 1F2| a，因此离心率 e .23 233 ca 3a3a 33(2)法一：设椭圆方程为 1( ab0)，|PF 1|m，| PF2|n，则 mn2a.x2a2 y2b2在PF 1F2中，由余弦定理可知，4c 2m 2n 22mn cos 60(m n) 23mn4a 23mn4a 23 24a 23a 2a 2(当且仅当 mn 时取等号) ，即 e .(m n2 ) c2a2 14 12又 0b0)，由 e 知 ，故 .x2a2 y
13、2b2 22 ca 22 b2a2 12由于ABF 2的周长为|AB| BF2| AF2|(|AF 1| AF2|)(|BF 1|BF 2|)4a16，故a4. b28.椭圆 C 的方程为 1. 答案 1x216 y28 x216 y282(2013四川高考改编)从椭圆 1(ab0)上一点 P 向 x 轴作垂线，垂足恰为左焦点 F1，A 是椭x2a2 y2b2圆与 x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与 y 轴正半轴的交点，且 ABOP (O 是坐标原点) ，则该椭圆的离心率是_解析 设 P(c，y 0)代入椭圆方程求得 y0，从而求得 kOP，由 kOPk AB及 e 可得离心率 e.ca由题意设
14、 P( c，y 0)，将 P(c ，y 0)代入 1，得 1，则 y b 2 b 2 .x2a2 y2b2 c2a2 y20b2 20 (1 c2a2) a2 c2a2 b4a2y0 或 y0 (舍去) ，P ，k OP .b2a b2a ( c，b2a) b2acA(a,0)，B(0，b)， kAB . 又ABOP， kABk OP， ，bc.b 00 a ba ba b2ace . 答案 ca cb2 c2 c2c2 22 223(2014辽宁高考)已知椭圆 C： 1，点 M 与 C 的焦点不重合，若 M 关于 C 的焦点的对称点x29 y24分别为 A，B ，线段 MN 的中点在 C 上
15、，则|AN| |BN |_.解析 椭圆 1 中，a3. 如图，设 MN 的中点为 D，则|DF 1| DF2|2a6.x29 y24D， F1，F 2分别为 MN，AM，BM 的中点，| BN|2| DF2|，|AN| 2|DF 1|，|AN|BN|2(| DF1|DF 2|)12. 答案 124(2014南京调研)如图，已知过椭圆 1(ab0)的左顶点 A(a,0) 作直线 l 交 y 轴于点 P，交椭x2a2 y2b2圆于点 Q，若AOP 是等腰三角形，且 2 ，则椭圆的离心率为_PQ QA 7解析 AOP 为等腰三角形，OAOP ，故 A(a,0)，P(0，a) ，又 2 ，PQ QA
16、Q ，由 Q 在椭圆上得 1，解得 . e . 答案 ( 2a3，a3) 49 a29b2 b2a2 15 1 b2a2 1 15 255 2555(2014南京质检)已知焦点在 x 轴上的椭圆的离心率为 ，且它的长轴长等于圆12C：x 2 y22x150 的半径，则椭圆的标准方程是_解析 由 x2y 22x150，知 r42aa2. 又 e ，c1，则 b2a 2c 23.ca 12因此椭圆的标准方程为 1. 答案 1x24 y23 x24 y236(2013辽宁高考改编)已知椭圆 C： 1( ab0)的左焦点为 F，椭圆 C 与过原点的直线相交于x2a2 y2b2A，B 两点，连接 AF，
17、BF.若 |AB|10，| BF|8，cosABF ，则椭圆 C 的离心率为_45解析 在ABF 中，由余弦定理得 ，|AF| 2|AB| 2| BF|22| AB|BF|cosABF，|AF|21006412836，|AF |6，从而|AB| 2|AF| 2| BF|2，则 AFBF. c|OF| |AB|5，12利用椭圆的对称性，设 F为右焦点，则|BF |AF| 6， 2a|BF|BF| 14，a7.因此椭圆的离心率 e . 答案 ca 57 577已知 F1，F 2 是椭圆 C： 1( ab0)的两个焦点，P 为椭圆 C 上的一点，且 .若x2a2 y2b2 PF1 PF2 PF1F2
18、 的面积为 9，则 b_.解析 由定义，|PF 1|PF 2|2a，且 ， |PF1|2| PF2|2|F 1F2|24c 2，PF1 PF2 (|PF1|PF 2|)22|PF 1|PF2|4c 2，2|PF1|PF2|4a 24c 24b 2，|PF 1|PF2|2b 2. SPF1F2 |PF1|PF2| 2b29，12 12因此 b3. 答案 38(2013大纲全国卷改编)已知 F1(1,0)，F 2(1,0)是椭圆 C 的两个焦点，过 F2 且垂直于 x 轴的直线交C 于 A，B 两点，且|AB|3，则 C 的方程为_解析 依题意，设椭圆 C： 1( ab0)x2a2 y2b2过点
19、F2(1,0)且垂直于 x 轴的直线被曲线 C 截得弦长|AB|3， 点 A 必在椭圆上，(1，32)8 1. 又由 c1 ，得 1b 2a 2. 由 联立，得 b23，a 24.1a2 94b2故所求椭圆 C 的方程为 1. 答案 1x24 y23 x24 y23二、解答题9(2014镇江质检)已知椭圆 C1： y 21，椭圆 C2 以 C1 的长轴为短轴，且与 C1 有相同的离心率x24(1)求椭圆 C2 的方程；(2)设 O 为坐标原点，点 A， B 分别在椭圆 C1 和 C2 上， 2 ，求直线 AB 的方程OB OA 解 (1)设椭圆 C2的方程为 1( a2)， 其离心率为 ， 故
20、 ，解得 a4.y2a2 x24 32 a2 4a 32故椭圆 C2的方程为 1.y216 x24(2)法一：A，B 两点的坐标分别记为(x A，y A)，( xB，y B)，由 2 及(1)知，O、A、 B 三点共线且点 A、B 不在 y 轴上，因此可设直线 AB 的方程为 ykx.OB OA 将 ykx 代入 y 21 中，得(1 4k 2)x24， 所以 x .x24 2A 41 4k2将 ykx 代入 1 中，得 (4k 2)x216，所以 x .y216 x24 2B 164 k2又由 2 ，得 x 4x ， 即 ，OB OA 2B 2A 164 k2 161 4k2解得 k1.故直
21、线 AB 的方程为 yx 或 yx.法二：A，B 两点的坐标分别记为(x A，y A)，(x B，y B)，由 2 及(1)知，O、A、 B 三点共线且点 A、B 不在 y 轴上，因此可设直线 AB 的方程为 ykx.OB OA 将 ykx 代入 y 21 中，得(1 4k 2)x24，所以 x . 由 2 ，得 x ，y x24 2A 41 4k2 OB OA 2B 161 4k2 2B.16k21 4k2将 x ， y 代入 1 中，得 1，即 4k 214k 2，解得 k1.2B 2By216 x24 4 k21 4k2故直线 AB 的方程为 yx 或 yx.10(2014安徽高考)设
22、F1， F2 分别是椭圆 E： 1(ab0)的左、右焦点，过点 F1 的直线交椭圆x2a2 y2b29E 于 A，B 两点， |AF1|3|F 1B|.(1)若|AB|4，ABF 2 的周长为 16，求| AF2|；(2)若 cosAF 2B ，求椭圆 E 的离心率35解 (1)由|AF 1|3| F1B|，|AB| 4，得|AF 1|3，| F1B|1.因为ABF 2的周长为 16，所以由椭圆定义可得 4a16，| AF1|AF 2|2a8.故|AF 2| 2a|AF 1|835.(2)设|F 1B|k，则 k0 且| AF1|3k，|AB| 4k.由椭圆定义可得|AF2|2 a3k，|BF
23、 2|2ak.在ABF 2中，由余弦定理可得|AB|2|AF 2|2 |BF2|22|AF 2|BF2|cosAF2B，即(4k) 2(2a3k )2(2ak) 2 (2a3k)(2 ak) ，65化简可得(ak)( a3k)0.而 ak0，故 a3k .于是有|AF 2|3k|AF 1|，|BF 2|5k.因此|BF 2|2| F2A|2|AB| 2，可得 F1AF 2A，故AF 1F2为等腰直角三角形从而 c a，所以椭圆 E 的离心率 e .22 ca 2210椭圆的定义与性质1椭圆的定义(1)第一定义：平面内与两个定点 F1，F 2 的距离之和等于 (大于| F1F2|)的点的轨迹叫做
24、椭圆，这两个 叫做椭圆的焦点，两个 的距离叫做焦距(2)第二定义：平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离的比是常数 ( b0)x2a2 y2b2 1(ab0)y2a2 x2b2图形性质范围 x y x y 顶点 A1( )， A2( ) A1( )， A2( )B1( )，B 2( ) B1( )，B 2( )焦点 F1( ) F2( ) F1( ) F2( )准线 l1：x l2：x a2c a2cl1：y l2：y a2c a2c轴 长轴 A1A2 的长为 长轴 A1A2 的长为 11短轴 B1B2 的长为 短轴 B1B2 的长为 焦距 F1F2 离心率 e ，且 e caa，b，
25、c的关系c2 对称轴： 对称性对称中心： 1(夯基释疑)判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”)(1)动点 P 到两定点 A(2,0)，B(2,0)的距离之和为 4，则点 P 的轨迹是椭圆( )(2)椭圆上一点 P 与两焦点 F1，F 2 构成PF 1F2 的周长为 2a2c(其中 a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距) ( )(3)椭圆的离心率 e 越大，椭圆就越圆( )(4)已知点 F 为平面内的一个定点，直线 l 为平面内的一条定直线设 d 为平面内一动点 P 到定直线 l的距离，若 d |PF|，则点 P 的轨迹为椭圆( )542(教材习题改编)焦点在 x 轴上的椭圆 1
26、 的离心率为 ，则 m_.x25 y2m 1053椭圆的焦点坐标为(0， 6)，(0,6)，椭圆上一点 P 到两焦点的距离之和为 20，则椭圆的标准方程为_4(2014无锡质检)椭圆 1 的左焦点为 F，直线 xm 与椭圆相交于点 A，B，当FAB 的周长最大x24 y23时，FAB 的面积是_5(2014江西高考)过点 M(1,1)作斜率为 的直线与椭圆 C： 1(ab0)相交于 A，B 两点，若 M12 x2a2 y2b2是线段 AB 的中点，则椭圆 C 的离心率等于_考向 1 椭圆的定义与标准方程【典例 1】 (1)(2014全国大纲卷改编) 已知椭圆 C： 1(ab0)的左、右焦点为
27、F1、F 2，离心x2a2 y2b2率为 ，过 F2 的直线 l 交 C 于 A、B 两点若AF 1B 的周长为 4 ，则 C 的方程为_33 312(2)(2014苏州质检)椭圆的中心在原点，焦距为 4，一条准线为 x4，则该椭圆的方程为_【规律方法】 (1)一般地，解决与到焦点的距离有关问题时，首先应考虑用定义来解决(2)求椭圆的标准方程有两种方法定义法：根据椭圆的定义，确定 a2，b 2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出 a，b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在 x 轴上和 y 轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2
28、By21( A0，B 0，AB) 【变式训练 1】 (1)(2013广东高考改编) 已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1,0)，离心率等于 ，12则 C 的方程是_(2)(2014苏州质检)已知椭圆的方程是 1(a5) ，它的两个焦点分别为 F1，F 2，且| F1F2|8，弦x2a2 y225AB(椭圆上任意两点的线段)过点 F1，则ABF 2 的周长为 _考向 2 椭圆的几何性质【典例 2】 (1)(2013江苏高考) 在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的标准方程为 1( ab0)，x2a2 y2b2右焦点为 F，右准线为 l，短轴的一个端点为 B.设原点到直线 BF 的距离
29、为 d1，F 到 l 的距离为 d2，若 d2d1，则椭圆 C 的离心率为_6(2)(2014扬州质检)已知 F1、F 2 是椭圆 C 的左、右焦点，点 P 在椭圆上，且满足|PF1|2|PF 2|， PF 1F230 ，则椭圆的离心率为_【规律方法】 1椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF 1| PF2|2a，得到 a，c 的关系2椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围) ，常见有两种方法：(1)求出 a，c，代入公式 e ；ca13(2)只需要根据一个条件得到关于 a，b，c 的齐
30、次式，结合 b2a 2c 2转化为 a，c 的齐次式，然后等式(不等式 )两边分别除以 a 或 a2转化为关于 e 的方程(不等式) ，解方程( 不等式)即可得 e(e 的取值范围) 【变式训练 2】 (1)(2013课标全国卷改编) 设椭圆 C： 1(ab0)的左、右x2a2 y2b2焦点分别为 F1，F 2，P 是 C 上的点，PF 2F 1F2，PF 1F230，则 C 的离心率为_(2)(2014徐州一中抽测)已知 F1、F 2 是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，F 1PF260. 则椭圆离心率的范围为_课堂达标练习一、填空题1在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的中心为原点，焦
31、点 F1，F 2 在 x 轴上，离心率为 .过 F1 的直线22l 交 C 于 A，B 两点，且ABF 2 的周长为 16，那么椭圆 C 的方程为_2(2013四川高考改编)从椭圆 1(ab0)上一点 P 向 x 轴作垂线，垂足恰为左焦点 F1，A 是椭x2a2 y2b2圆与 x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与 y 轴正半轴的交点，且 ABOP (O 是坐标原点) ，则该椭圆的离心率是_3(2014辽宁高考)已知椭圆 C： 1，点 M 与 C 的焦点不重合，若 M 关于 C 的焦点的对称点x29 y24分别为 A，B ，线段 MN 的中点在 C 上，则|AN| |BN |_.4(2014南京调研
32、)如图，已知过椭圆 1(ab0)的左顶点 A(a,0) 作直线 l 交 y 轴于点 P，交椭x2a2 y2b2圆于点 Q，若AOP 是等腰三角形，且 2 ，则椭圆的离心率为_PQ QA 5(2014南京质检)已知焦点在 x 轴上的椭圆的离心率为 ，且它的长轴长等于圆12C：x 2 y22x150 的半径，则椭圆的标准方程是_6(2013辽宁高考改编)已知椭圆 C： 1( ab0)的左焦点为 F，椭圆 C 与过原点的直线相交于x2a2 y2b214A，B 两点，连接 AF，BF.若 |AB|10，| BF|8，cosABF ，则椭圆 C 的离心率为_457已知 F1，F 2 是椭圆 C： 1(
33、ab0)的两个焦点，P 为椭圆 C 上的一点，且 .若x2a2 y2b2 PF1 PF2 PF1F2 的面积为 9，则 b_.8(2013大纲全国卷改编)已知 F1(1,0)，F 2(1,0)是椭圆 C 的两个焦点，过 F2 且垂直于 x 轴的直线交C 于 A，B 两点，且|AB|3，则 C 的方程为_二、解答题9(2014镇江质检)已知椭圆 C1： y 21，椭圆 C2 以 C1 的长轴为短轴，且与 C1 有相同的离心率x24(1)求椭圆 C2 的方程；(2)设 O 为坐标原点，点 A， B 分别在椭圆 C1 和 C2 上， 2 ，求直线 AB 的方程OB OA 10(2014安徽高考)设 F1， F2 分别是椭圆 E： 1(ab0)的左、右焦点，过点 F1 的直线交椭圆x2a2 y2b2E 于 A，B 两点， |AF1|3|F 1B|.(1)若|AB|4，ABF 2 的周长为 16，求| AF2|； (2)若 cosAF 2B ，求椭圆 E 的离心率35
