1、动态应变测量 随时间而变的应变称之为动态应变。动态应变测量的特点是必须把应变随时间变化的过程记录下来,然后再用适当的方法分析研究。本章介绍动态应变的频谱、动态测量需要特别考虑的问题、随机性应变的分析和疲劳强度核核。 1动态应变及其频谱 产生动态应变的原因可以是载荷随时间的变动,亦可以是因构件的运动。例如汽车在山路上行驶时,底盘大梁上的应变就是由载荷变动而引起的动态应变;旋转的轴受弯曲载荷时,轴内各点的弯曲应力是交变循环的,这是由构件运动造成的。 动态应变按其随时间变化的性质,可分为确定性的和非确定性的两类。应变随时间变化的规律能够用明确的数学关系式描述的,称为确定性的,否则就是非确定性的。确定
2、性的动态应变,视其能否用周期性的时变函数来表示,又可分为周期性和非周期性动态应变。非确定性的动态应变亦称随机性应变。下面对周期性、非周期性和随机性三类应变作简要讨论。 一、周期性动态应变 一般而言,一个复杂周期性应变可用富里叶级数表示如下: )3,2,1()2cos()(110ntnftnnn 亦即一个复杂周期性应变可看作是由一个静态分量0 和无限个称为谐波的余弦分量(振幅为n ,相位为n )所组成,而各谐波分量的频率都是基频1f 的整数倍1nf )。n=1的谐波称为基波或一次谐波,n=2的称为二次谐波,其余类推。 在实际分析中,相位角n 常不予考虑,而且谐波分量亦只有有限的几个。此时,式(9
3、1)就可用图91所示的振幅-频率图来表示。图上以垂直线段表示频率为if 、振幅为i 的第 i 次谐波分量,在振幅坐标轴上的线段则表示频率为零、幅值为0 的静态分量。振幅-频率图又称频谱图,它清楚地表示了复杂周期性应变中各分量的频率和振幅。由于谐波分量只是在分散的特定濒率上才出现,所以这样的频谱图又称为离散谱。 一般测量得到的复杂周期性应变的谐波分量可能是很丰富的,但随着谐波次数的增高,其幅值总是愈来愈小,故在实际分析中常把高次谐波略去,只计最低的几次。 从式(91)看,当 )(t 只有基波,而所有高次谐波及常量s。都等于零时,即 )2cos()(111 tft 是为简单周期性应变的情况。当式(
4、9-1) 中所有的谐波都等于零而仅存0 时,即 0)( t 是为常应变即静态应变的情况。简单周期性应变和静应变的频带见图9-2。 二、非周期性应变 当一台机组有几个转速不成比例(转速比不是有理数)的发动机同时工作时,引起的合成振动或振动应力就不是周期性的。因为各谐波频率之间不存在最小公倍数,虽然各谐波分量是周期性的,但合成后的变量却没有周期可言。这种非周期性应变又称为准周期性应变,它的频谱如图 9-3 所示,亦是离散谱,但各谐波的频率分布是无规律的。 机械构件还可能受到一种非周期性的突加载荷,例如锻锤的打击(图9-4a),受拉杆件的突然断裂(图9-6b)等。由这种载荷引起的应变是非周期的瞬变性
5、应变,又称为冲击应变。瞬变性应变是不能用离散谱表示的,这种瞬变性的时变函数用富里叶积分表示,是连续谱(图9-4),它的谐波频率是连续变化的,其高频分量占的比重可以相当大,在测试分析中要给以足够重视。 三、随机性应变 有许多机械,尤其是运输机械和采矿机械,受到的载荷是杂乱无章的,由这种载荷引起的应变不能用明确的数学关系式表示,这种性质的应变称为随机性应变,如图(9-5)所示。对随机性应变,虽然无法预测它在未来时刻的值,但在大量重复试验中又呈现出一种统计规律性,可以用概率统计的方法来描述和研究。 从应变测量的观点来看,对确定性的应变,要注意估计应变变化规律中所包含的频谱内容,选择具有相应频率响应范
6、围的测试记录系统,以求能比较真实地将应变变化记录下来,然后进行濒谱分析,研究各谐波分量的频率和幅值;对随机性应变,则耍选用频率响应范围足够宽的测量记录系统。进行必要的大量重复试验,根据其统计特性来研究解决构件的强度问题。 2应变片的动态响应 当应变变化频率很高时,就要考虑应变片对构件应变的响应问题。由于应变片的基底和胶层很薄,应变从构件传到敏感栅的时间估计约为 02 微秒,可以认为是立即响应的,故只要考虑应变沿应变片栅长方向传播时应变片的动态响应问题。 设频率为 f 的正弦应变波以速度V 在构件中沿应变片栅长方向传播,在某一时刻应变沿构件表面的分布如图9-6所示。为计算方便, 图中横坐标已用弧
7、度角代换了长度x代换关系为 x2 式中为应变波的波长, fV / 。令应变片栅长L相当于弧度角 2 ,代入式(9-2)得 L22 在图96设定的瞬时t,应变波沿构件表面的分布为 sin)(0 而应变片中点的应变为 tt sin0 (式中脚标t是为表明应变片栅长中点处的应变,是随时间而变的) 由应变片测得的应变是栅长 2 范围内的平均应变a ,它等于横坐标从 )( t到 )( t之间、应变波曲线 )( 之下的面积除以应变片栅长 2 ,即 sinsinsin2100 tad 平均应变a 与应变片中点应变t 的相对误差为 /sin1/1 tatate 当值较小时(亦即应变片概长L相对应变波波长为较小
8、) 函数 /sin 可用其级教展开式的前两项近似代替,即 6/1/sin2 代人式(9-识)得 6/12e 以式(93)代入式(96),并注意到 fV / 和 2/f 22)(61)(61VLfLe 应变波在某种材料中的传播速度V 是常数(对于钢材, smV /5000 ),所以式( 9-7)决定了 e、L和 f三者之间的关系。当给定容许相对误0e 和欲测应变的最高频率maxf 后,可据此式算出应变片的允许最大基长maxL 。或者在给定0e 和 L 时,可用式(97)核算该应变片允的极限工作频率 maxf 。例如当%5.00e , mmL 5 时,允许极限工作频率为 HzeLVf 55000)
9、6(210max一般应变变化的频率远比此值为小,故由于应变片基长引入的响应误差可以不计。 3动态测量的仪器系统 动态应变测量由于要获得应变随时间的变化过程,故在测量仪器系统中,除必要的动态应变仪外,还必须配备相应的记录装置。由于被测应变的频率变动范围各异,而应变仪和记录器的频率适用范围又都有限,故必须根据测量频率的需要来选择合适的测量仪器系统。图 9-7 绘出了仪器组配的方框图并标出了有关仪器的适用频率范围,供选用时参考。在仪器组配时,考虑频率问题外,还要注意仪器之间的阻抗匹配问题。 滤波器的选用要根据测量目的而定。当仅需测量动态应变在某一频带中的谐波分量时,要选用相应通频带的带通滤波器;当只
10、需测量低于某一频率的谐波分量时,就选用有相应截频率的低通滤波器;在对记录应变波形的频率结构没有特定要求时,滤波器可以不用。 磁带记录器有独特的优点,它可以在现场记录,回到实验室再现,并且易于输出给频谱分仪进行频谱分析,或输出给数据处理计算机进行分析处理 当测量冲击应变时,由于应变信号中包含的频谱非常丰富,一般的应变仪不能满足这样高频率响应要求,故有用直流电位计线路来测量记录的,如图 9-8 所示。触发回路的作用是使电子示波器在冲击应变发生的同时作单次的直线扫描,使有可能将应变波形及时记录下来。当使用半导体应变片时,由于它的输出要比普通应变片大很多,甚至可考虑省去直流放大器。 4动态应变记录波形
11、图 动态应变测量的直接目的是获得一张应变随时间的变化图动态应变记录波形图。不管用哪种记录器进行记录,其基本内容可用图99所示的典型波形图来说明。应变波形图记录了应变随时间变化的关系,故在图上必须有能够确定应变幅值和时间的作图比例的标记,相应称之为幅标和时标。 幅标是在应变试验记录之前和记录完毕之后,在对测试仪器系统不作任何变动的条件下, 给定一个已知的应变值H 并记录下来,如图9-9中的见应变记录曲线上幅高为H的应变值为 HhHh/ 如果前后的两个正(或负)的幅标等高,则H 取31,HH (或见32,HH )的平均值;如正负幅标不等高,则表明仪器系统对正负信号的放大量不等,因之正应变应取正幅标
12、计算,负应变取负幅标计算。当仪器系统的线性很差时,则对幅标应作较密的步级标定。当应变记录曲线的前后零线不能保持在同一水平线时,可用连接前后零点的斜线作量测h的基准线。 时标是用一个已知频率为Bf 的信号记录在应变波形图的下侧,如图 99 边上记录的是正弦时标的峰顶。如果在波形图上应变变化和时标的周期记录长度各为b和B则应变变化的周期T为 BfBbT1 5仪器系统振幅特性和频率特性的检测 应变仪和记录器都有自己的振幅特性和频率特性。振幅特性是指输入和输出的幅值关系,频率特性是指仪器的濒率响应,是在输入一个振幅恒定而频率可变的信号时,仪器输出幅值随频率的变化。我们要求由应变仪和记录器等组配而成的仪
13、器系统有线性的振幅特性和平坦的频率响应(即输出不随频率而变),但实际上只能在一定的振幅和频率范围内近似满足,总是有误差存在。 仪器系统输出量和输入量的关系是个三维问题,是输出相值 s循输入福值对和输入频率y的变化关系,如图9-10所示,即 ),( yxfz 函数z的空间曲面与xoz平面的交线oA且即静态时的振幅特性。要用实验方法确定此曲面的坐标,需要做大量的测试工作,故实用上常常只测取静态时的振幅特性和某一个(或几个)定幅变频输入时的频率特性(如图9-10中的a,b和c线),以此来确定该仪器系统的适用范围和误差。 一、振幅特性的测定 按实际测试要求组配仪器系统,输入一系列已知标准应变量。观察该
14、系统的最后输出(即记录器记录点的偏移量),即可作出标准应变与输出之间的关系曲线,此即静态振幅特性曲线。一般以特性曲线上非线性误差不大于3%的最大应变值作为该系统允许的振幅工作范围。 标准应变量可以利用应变仪上的标定装置给出,亦可用给应变片并联适当电阻的方法形成。但用电阻标定的办法所获得的振幅特性仅反应除应变片之外的仪器系统的品质。为使振幅特性能反应包括应变片在内的整个系统的性能,应该采用标准应变梁的办法,直接以标准的机械应变输入。建议用如图 911 所示的等截面等弯矩梁作为标准应变发生装置,直接用百分表测定该梁中点的挠度伽,对于载荷点在支点之外的标准梁,其表面应变为 024ybh 式中h为梁的
15、厚度,b为两支点的跨度。对于载荷点在支点之内的标准梁,其表面应变为 0224312yaLh 式中L为两支点的跨度,a为支点与力点之间的距离。 当用三点挠度计(图9-12)测量梁的变形时,不论上述哪种梁,只要挠度计两支点间的跨度 l 不超过梁的等弯矩区,表面应变的计算式为 024ybh 二、频率特性的测定 用电动振动台激振的方法可以产生频率比较高的(10003000Hz)动应变信号。制作一个如图 914所示的动态应变标定传感器,弹性元件为一圆筒,其下端与传感器基座固接,上端与自由的惯性块固接。标定传感器牢固地安装在电动振动台上,振动台产生频率可变而加速度恒定的振动。由于惯性决的惯性作用,圆筒受到
16、相应的动载荷,产生幅值恒定而频率可变的动应变。应变幅值与振动加速度成正比,其频率即振动台的振动频率。此法能产生高频正弦变化的动态应变,因不存在撞击的运动部件,故应变波形良好,但需要价值比较昂贵的电动振动台。 6随机数据的基本特性 随机性应变的记录波形是一条应变随时间变化的随机曲线,它的整理分析要按随机数据处理方法进行。表示随机现象的单个时间历程,称为样本函数(在有限时间区间上观察时,称为样本记录)。随机现象可能产生的全部样本函数的集合,称为随机过程。大多数机械构件的随机性应变是属于平稳随机过程,可以用在某时间区间内记录下来的样本函数的片段,即样本记录的统计特性来描述此过程的总体。随机性应变过程
17、和一般的随机数据一样,可用四种主要的统计函数来描述,即均方值、概率密度函数、自相关函数和功率谱密度函数。 一、均方值、均值和方差 任何随机数据的一般强度可以用均方值来描述,样本函数 )(t 的均方值为 TdttsTlin02)(1 在机械强度问题的研究中,常把随机性应变(或应力)看作静态分量(静应变和动态分量(动应变)之和。静态分量可用全部应变值的简单平均来表示,称为随机性应变的均值a ,即 TadttT0)(1lim 动态分量可用方差2s 来描述,即 TdttTs0202)(1lim 方差的正平方根S称为标准差,它表示随机 性应变在均值附近摆动幅度的大小。将上式展开,可得 222sa 即随机
18、数据的均方值等于均值(静态分量)的平方与方差(动态分量)之和,所以说均方值是随机数据强度(强弱程度)方面的基本描述。 当记录长度有限并采用离散分组数据处理方法时(见图915),与积分式(9-18) (9-13)的意义相类似,可写出 iKiinN1221 iKiianN11 iKiainNs122)(11 式中,采样总数 tTN / ,T 为样本记录全长时间, t 为采样间隔时间,K为应变值分组数,般取K= 815 每组应变值幅宽为 Knin/)(max ,in 为采样值落在应变值第i分组中的次数i 为应变值第i分组的中值。式(9-19)中的分母所以不用N而用N1,是对采样是有限数的修正。 二、
19、概率密度函数 随机变量的概率密度函数 )(p 表示了瞬时值落在某指定范围内的概率,它定义如下: /)(lim(Pr)( tobp 瞬时值 )(t 小于或等于某值的概率定义为累积概率分布函数 )(sp ,它等于概率密度函数从 到的积分,即 dptobp )(/)(Pr)( (积分式中因积分变量与积分城上限符号重复,故积分变量改用套符号表示。) 瞬时值 )(t 落在区域(21, )内的概率为 21)()(Pr)()(2112sdptobpp )(t 的均方值和均值用概率密度函数表示为 dps )(22 dpsa)( 大量实验表明,随机性应变值出现的概率服从或近似于高斯(正态)分布规律,即 )(t
20、的正态概率密度函数为 222)(21)(saesp 它的正态累积概率分布函数为 edesdpPssa222)(21)()( 图按上式画出的正态概率密度 )(p 和正态累积概率分布 )(P 图线。 从图中可以看出:正态概率密度曲线在a 处,有极大值21s; )(t 值主要分布在均值a 附近;可以算出,在 s3 的区间内的累积概率达到99.7% 根据 )(t 的记录曲线,在求出均值a 和标准差s后,应变值的正态概率分布规律可由式(925)和式(9-26)决定。在实际计算 )(p 和 )(P 时,可从数学手册中的“正态分布概率密密函数数值表”和“正态分布累积概率数值表”查得。 三、自相关函数 随机数
21、据的自相关函数是描述随机过程的一个数据值与另一个时刻的数据值之间的依赖关系其定义为 TdtttTR0)()(1lim)( 自相关函数是时间位移的函数,在 0 时有最大值,且等于均方值,即 )0(2R 当 时,自相关函数的正平方根等于 )(t 的均值,即 )(2 Ra 从式(9-31)可知,对于均值a 为零的随机数据,当足够大时,自相关函数值趋近于零。即使某随机数据的均值不等于零,但当仅考虑 )(at 值时,上述结论对这一新随机数据仍然适用。据此,可以检验这类数据的样本记录长度是否足以使这个样本记录能代表此随机数据的总体情况。这只要不断增加值,计算 )(R 并观察它是否接近于零或在轴上下作不大的
22、振动。 四、功率谱密度函数 随机数据的一般强度可用它的均方值来描述,这个构方值是对全部谐波成分而言的。当我们对在 f 到ff 频率范围内的谐波成分的强度感兴趣时,就要计算随机数据在这一频率范围内的均方值。这可用具有精确截断特性的带通滤波器对样本记录进行滤波。将 f 到 ff 频率范围之外的谐波全部滤掉,然后计算滤波器输出量的平方的平均值。当记录时间 T 时,这一平方的平均值就趋近于该频率范围内的均方值,即 TdtfftTff022),(1lim),( 式中 ),( fft 为 )(t 在 f 到 ff 频率范围内的部分。当 0f 时,均方值 ),(2ff 的极限即定义为随机数据 )(t 的功率
23、谱密度函数,以 )( fG 表示,即 ),(1lim1lim/),(lim)(0202TfdtfftTfffffG 功率谱密度函数 )( fG 的图形称为功率谱图,它表示随机数据的能量在频率域上的分配。图 917 绘出了一随机数据的概率密度函数、自相关函数和功率谱密度的图形,它们相应地描述了样本记录 )(t 在振幅域、时间域和频率域上的统计特性。 对于平稳随机过程,功率谱密度函数和自相关函数互为富里叶变换,即 deRfGfj2)(2)( 02)(2)( dfeGRfj 根据式(930)和式(9-35) )(t 的均方值可用功率谱密度函数表示,即 02)()0( dffGR 在某频率分量 f 处
24、频带宽 f 范围内的均方值为 ffGff )(),(002 由此可见,功率谱密度函数就是均方值在频率域上的密度函数,故又称均方谱密度函数。任何频率范围内随机数据的均方值就等于该频率范围内功率谱图曲线下的面积,该曲线下的总面积就等于随机数据)(t 的均方值。 在机械系统中,功或能量一般与位移幅值(在此可理解为应变幅值)的平方或均方值成正比,而)( fG 是均方值在频率域上的密度函数,它表示了随机数据在单位频带内的谐波分量的能量在频率域上的分布,这就是称它为功率谱密度函数的由来。 在结构强度问题中,功率谱密度相等时,对零部件有等效的损伤能力。功率谱密度函数确定了随机数据的频率结构,在随机疲劳试验、
25、疲劳强度核核、机械系统的动态特性研究和数据检验等方面都有应用,是随机数据的重要特性。 最后要说明一下,本节所讲的随机数据基本特性,在对样本记录作具体分析时,可用数据离散的方法。再用求和式代替积分式来计算,但这种计算非常繁复,只能利用专门的仪器并辅以电子计算机来测量处理。 为了对本节所述的随机数据基本特性的计算公式有一具体的概念,现举例说明如下。 设有一平稳随机过程的一个样本记录 )(t 如图9-18所示,为进行数字计算处理,首先需将此记录曲线离散数字化,这包括采样和量化两部分工作。采样就是确定记录曲线上需要观察的瞬时点,量化就是将采样点上的记录值换成数字量。 对 )(t 作数字计算分析时,通常
26、采用等间隔时间采样。采样时间间隔 t 选得过小,则计算工作量过大;挑选得太大,则离散化的数据不能唯一代替原连续数据。根据抽样定理,要求 t 满足如下关系式: cft 2/1 式中cf 是样本记录 )(t 中需要考虑的最高频率分量的频率。设需计算处理的记录长度为T 则采样总数 tTN / 当采样点确定后,例如在图 918上的横坐标上确定了 ,3,2, ttt , tN 各采样点后,就要对采样点上的记录值进行量化。在一般情况下,只要按记录的标定比例读出来样点的数值 7疲劳试验与疲劳强度校校 为研究构件在承受随机载荷时的强度问题,就有必要对材料或构件进行疲劳试验,并结合一定的疲劳强度理论进行安全系数
27、的校核。由于影响疲劳破坏的因素是复杂的,随机载荷的一切统计特性对材料强度都有影响,所以要完全模拟实际载荷的试验是非常困难的。 在实验室中进行疲劳试验,一般只能模拟实际载荷的某些主要特性。 一、疲劳试验 典型的疲劳试验是在等幅交变载荷作用下的试验。以这样的载荷对一批试件进行疲劳加载,使试件上产生幅值为i 的交变应力,记录各试件直至破坏时的应力循环次数,取其均值iN 作为该材料(或构件)在i 作用下的疲劳寿命。以不同的i 进行一系列的试验,最后可作出疲劳寿命iN 与交变应力i 的关系留,如图9-22所示。疲劳寿命iN 和交变应力i 有下列关系: CNiKi 式中,C为常数,K由直线的斜率决定。 图
28、922中的水平线段表示当交变应力i 小于某一定值时,任凭载荷循环次数再增加,试件亦不发生破坏,此时的交变应力幅值记为1 ,称为持久疲劳极限应力,相应于1 的最小循环次数记为1N 。对于钢材,1N 约为761010 次。 等幅循环加载疲劳试验与实际的疲劳载荷特性常常相差甚远。这种试验只能作为材料性能的一个数据或对构件作比较性的评价,因之有必要采用比较接近实际载荷的程序疲劳试验。程序疲劳试验是在多段交变载荷作用下进行的。它是在平均载荷(静载荷)上迭加一个对称循环的交变载荷,此交变载荷在每一段内是等幅的,而在各段之间是不等的,如图923所示,图中列举了四种不同分段的加载方法。试验载荷(均值、交变部分
29、的幅值、循环次数)应尽量接近构件的实际载荷;它的确定,是以对样机或类似机械在实际工作中进行应变测量所得的随机数据为指导的。图923a的二段等幅加载是将载荷的动态分量(即交变部分)按峰值大小归并为 两级,按其出现的次数比轮流加载。程序周期T的长短由试验者选定,T较短时载荷幅值变化频繁,加载困难; T 较长时,离实际载荷情况又较远。图 923b、c 和 d 的载荷分级较细、变化频繁、操作复杂,但比较接近实际载荷情况,故载荷分级数和程序周期的长短要酌情决定。 程序疲劳试验,是将随机数据授峰值大小和出现的次数集中起来,改组为分段的等幅加载疲劳试验。实际上这些数据的分布是随机的,故在程序疲劳试验中,峰值
30、如何统计分组,如何组织加载各段的次序,如何选取程序周期的长短,对试验结果都有影响。虽然目前有多种峰值统计方法和加载次序的建议,但仍不能克服程序疲劳试验的明显缺点。 确切讲,随机数据是不能仅用它的峰值及其出现的次数来描述的。在前一节中已经介绍了随机数据的基本特性,这些特性概括了它的丰富的统计内容,所以疲劳试验应以样本函数 )(t 作为依据,在试验中若不能完全重现这个时间历程,至少亦应使试验载荷在统计特性上与实际载荷相当。随机数据的功率谱密度函数是在额率域上描述了数据的统计特性,它包含了有关均值、方差、概率密度等信息,表示了随机数据能量的大小,所以随机疲劳试验应考虑试验载荷的功率谱与实际载荷的相当
31、。不过,要实现这种功率谱相当的随机疲劳试验,需要价值昂贵的随机疲劳试验机及相应的设备。 二、疲劳强度核核 疲劳破坏是一种由于材料中裂缝扩展最后导致构件断裂的破坏。线性累积损伤理论认为,裂缝是均匀地随载荷循环次数而扩展,即损伤程度和寿命周比成正比。寿命周比即iiNn / 其中iN 是交变应力幅值为i时的疲劳寿命,in 是实际作用的循环次数。各个应力幅值下产生的损伤程度可以线性迭加,当寿命周比之和等于1时,试件产生破坏。即试件疲劳破坏的条件为 1/ iiNn 例如某试件受两级载荷作用,先在应力1 下循环1n 次,产生损伤程度相应于 1/11Nn ,后在应力2 向下循环2n 次,产生损伤程度相应于
32、22/ Nn ,当 1/2211 NnNn 时试件产生破坏。 以 )(iP 表示交变应力(i 1)的累积概率分布函数,以 )(ip 表示交变应力等于i 时的概率密度函数,则根据概率定义, )(iP 的导数就是 )(ip ,即 )()(iipP )(1 i )的循环次数 )(in 为 )()(iiPnn 式中n 为全部交变应力循环总次数。当max i时, 1)(maxP 。 nn )(max 每个i 作用的循环次数为 )(idn ,它们所造成的损伤程度相应于iiNdn /)( ,根据线性累积损伤理论,试件破坏的条件可用如下的积分式表示: niiNdn01/)( 对于疲劳极限曲线式(938)可改写为 11 NNKiKi 将式(9-40)、式(9-41)和式(943)代人式(9-42)并解之,可得 max11)(21KiiKiNndp 在进行疲劳强度校校时,安全系数n可由下式计算: max11)(21KiiKiNndpn 式(9-45)是考虑了疲劳极限曲线、应力的概率密度函数和疲劳线性累积损伤理论而得