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1、 本科毕业设计 (论文 ) GRADUATION DESIGN(THESIS) 题 目： 四旋翼飞行器 PID 控制器的设计 学生姓名： 李建华 指导教师： 贺继林 学 院： 机电工程学院 专业班级： 机械 1208 班 本科生院制 2016 年 6 月 四旋翼飞行器 PID 控制器的设计 I 四旋翼飞行器 PID 控制器的设计 摘要 四旋翼 飞行器 是一种 具有四个输入 和 六个自由度 可实现 垂直起降的欠驱动强耦合旋翼 式飞行器。在实际飞行过程中，经常会受到外界气流扰动的影响，使得飞行器的位 姿偏离 预期 的状态。为了 解决 飞行器受扰动 后飞行失稳的问题， 根据 牛顿 欧拉方程建立了四旋

2、翼飞行器 的 动力学 模型 ，并基于 小 扰动 方法将 非线性动力学模型线性化 。根据 传递函数与状态方程之间的关系得到各控制通道的传递函数， 分别 对各个通道设计了 PID 控制器并通过 Matlab/Simulink 平台对 所设计的 PID 控制器 进行了 仿真。 仿真结果 显示 ：在所 整定 的 控制器参数 下， 飞行器 可以迅速准确飞抵目标位置并保持预期姿态，且 在 飞行器受 微 扰动后，控制器 具备 控制四旋翼飞行器 位姿 的能力 。 本设计 对四旋翼飞行器 受 微 扰 动时的自稳定控制具有一定的参考价值和指导意义。 关键词 ： 四旋翼飞行 器 动力学模型 PID 控制器 微 扰动

3、 仿真 四旋翼飞行器 PID 控制器的设计 II Design of PID controller for a quadrotor ABSTRACT Quadrotor is a kind of underactuated and strong coupling rotary-wing aircraft with four drivers and six degrees of freedom,which can realize vertical take-off and landing. In the actual flying process, it will be influenced b

4、y external airflow usually,which result in aircrafts posture deviate from expected state. In order to solve the flying instability problems when it is disturbed. According to Newton-Euler equation,we established its dynamic model. Based on the small disturbance hypothetical we get its linear model.

5、According to the relationship between transfer function and state equation,we get transfer function of each control channel. Then PID controller for every control channel was designed. Simulation was done based on Matlab/Simulink platform. The simulation result shows: with the set of control paramet

6、ers,quadrotor can fly to expected position and keep attitude quickly. Meanwhile the controller proves the ability to control the posture in the presence of a small disturbance. This design is of some practical significance for quadrotors self stabilization control. Key words： Quadrotor Dynamic model

7、 PID controller Small disturbance Simulation 四旋翼飞行器 PID 控制器的设计 III 目录 第 1 章 绪论 . 1 1.1 论文 研究的背景和意义 1 1.2 发展 历史 2 1.3 四旋翼 飞行器控制算法 研究现状 3 1.4 本文主要研究 内容与结构安排 4 第 2 章 四旋翼 飞行器 动力学 模型的建立 . 5 2.1 四旋翼 飞行器 机械 结构和控制原理 5 2.1.1 机械 结构 . 5 2.1.2 控制原理 . 6 2.2 坐标系 定义及方向余弦矩阵 9 2.3 系统 模型建立 13 2.3.1 直流 电机的数学模型 . 13 2.

8、3.2 运动学 方程 . 15 2.3.3 动力学 方程 . 15 2.3.4 系统 非线性模型 . 18 2.3.5 简化 的 非线性 动力学模型 . 19 2.4 本章 小结 20 第 3 章 基于 PID 算法 的 控制器 设计 . 21 3.1 PID 控制器 设计 . 21 3.1.1 PID 控制 理论基础 21 3.1.2 小扰动 线性化方程 . 22 3.1.3 各 控制 通道 的传递函数 . 24 3.2 仿真 实验与结果分析 25 3.2.1 仿真 平台的搭建 和 控制器参数的整定 . 25 3.2.2 各 控制通道的阶跃响应曲线 . 26 3.2.3 抗扰性 实验 . 2

9、9 四旋翼飞行器 PID 控制器的设计 IV 3.3 本章 小结 31 第 4 章 全文 总结与 展 望 32 致 谢 . 33 参考文献 . 34四旋翼飞行器 PID 控制器的设计 第 1 页 共 34 页 第 1 章 绪论 1.1 论文研究的背景和意义 近年来， 传感器、 制动器 、 处理器 和能量存储装置 的 技术进步 使得 四旋翼飞行器 成为 航空领域的研究热点。 和 传统直升机相比，由于不需要尾翼，其结构 更加 紧 凑、操纵灵活， 简单的 机械结构使其便于生产，低廉的价格使其获得越来越多人的喜爱。 在 航拍 摄影 、农业 病虫害防治、地质地理测绘 以及视频 监控等领域有着十分广阔的应

10、用前景。 与固定翼 飞行器 需要 滑跑或弹射 起飞 不同， 四旋翼 飞行器可垂直起降， 因而 对起降 场地 要求 低，具有 很强的适应性 。传统 固定翼 飞机升力 与 飞机 速度的二次方成正比，因而当飞机速度为零时，升力即为零，因此不能 在 空中悬停。 而 四旋翼飞行器是依靠 旋翼的旋转产生升力， 当 四个旋翼产生的升力之和 与 飞行器 所受 重力 平衡时 ， 便实现 空中悬停 。 与传统 直升机 需要 靠尾 桨 来平衡 主旋翼所产生的反 作 用力 矩 （见 图 1-1）不同，四旋翼飞行器依靠 前后 、左右两组旋翼的 旋转 方向正好相反实现反扭矩的相互抵消。 然而，四旋翼 飞行器具有 六个 自

11、由度 却只有四个 输入 量 ，因而是一种欠驱动 系统 。 所以 本质上是不稳定的 。因此， 能够 显著 改善飞行器稳定性的控制算法 的 设计显得尤为重要。 四旋翼 飞行器复杂，非线性，强耦合的动力学特性 催生 新的控制算法 和新技术不断诞生，新的控制算法 和 技术又反过来为工程中的 实际 控制问题 服务 。 无论是理论研究还是工程 应用 ， 四旋翼 飞行器 的 研究都有着重要意义。 图 1-1 传统直升机靠尾桨平衡旋翼的反作用力矩 四旋翼飞行器 PID 控制器的设计 第 2 页 共 34 页 1.2 发展历史 人类历史上第一架 真正意义上的四旋翼飞行器 诞生于 1907 年 ， 它 是 由 B

12、reguet 兄弟设计 制造的 。 飞行器 重达 630 公斤 ， 看起来 十分笨重 ， 由于 没有 飞行操作系统，完全靠飞行员手动 操纵 ， 其稳定性非常差。 此后 很长一段时间，四旋翼飞行器的研究基本上没有什么进展 。 尽管 也有一些飞行器被设计制造出来，但总体上与第一架飞行器相比性能上没有 实质性 提高。 进入 21 世纪 ，由于控制理论 、 处理器以及 传感器技术等领域取得了飞速进步 ， 四旋翼飞行器的研究才 又 重新被高等院校和科研机构关注。 与 Breguet 兄弟 此前实现载人飞行的目标 不同，此后 研究人员更多关注 的 是四旋翼飞行器的自主飞行。迄今为止 ， 已经有很多 比较成

13、功的四旋翼飞行器被研制出来 。 具有 代表 性的有：斯坦福大学的 Mesicopter，宾夕法尼亚大学 的 HMX4， 澳大利亚 国立大学的 “X4 飞行器 ”， Microdrones 公司开发 的 MD4-1000四旋翼飞行器 。 斯坦福 大学的 Mesicopter 是 微型 四旋翼飞行器（ MAV） 的 典型代表，如图 1-2 所示 。它 是一款 “ ”型 四旋翼 飞行器， 由 四 个 直径 3 毫米 重 325 毫克 的 直流 电机 驱动 ， 电机位于一个边 长 为 16mm正方形 框架的 四个 顶角 。其 最终目标是实现自主飞行。 图 1-2 斯坦福大学的 Mesicopter 德

14、国 Microdrones 公司开发 的 MD4-1000 四旋翼飞行器 是 目前 世界上最畅销的 专业四旋翼 无人机系统。 飞行器 机体 采用 碳纤维 材料制造， 自重仅 2650 克， 续航时间 超过45 分钟 ， 具有极强的 野外 环境适应能力， 可在 6 级 风暴下正常工作。 国内高校的研究起步较晚， 目前的研究主要集中在动力学建模、姿态检测系统设计、无刷直流电机控制以及姿态控制器的设计。 四旋翼飞行器 PID 控制器的设计 第 3 页 共 34 页 1.3 四旋翼飞行器控制算法研究现状 国内外较普遍采 用的控制算法主要包括：基于 PID 的控制方法、 反步法、自适应控制、 H 控制、

15、滑膜控制、自抗扰控制技术等。 经典 PID 算法 的 精髓在于 综合误差 的过去（ 积分 项） ， 现在（ 比例项 ） 和 未来 （微分 项） 设计 反馈 律， 不依赖受控对象的 数学模型 。 尽管 新的控制算法不断 涌现 ， 时至今日 仍 没有 改变 PID 控制 算法 在 工业 界 中占有绝对 主 导地位 的 现状 。 然而 由于四旋翼飞 行器动力学模型的 强耦合 ，非线性特性 ，一组固定的 PID 控制 参数往往不能 够 达到 满意的性能指标 。基于此 ，不断有学者 将 其它算法与其结合起来， 组 成优化 的控制方法 。广州大学的胡锦添利用 四元 数 法建立了四旋翼飞行器的数学模型，并

16、设计了四旋翼飞行器的传统 PID 控制器 和 PID 神经网络控制器，利用 动力学 软件 Adams 和 Simulink 联合 仿真验证 了后者的优越性。 河南 大学的张镭 基于 模糊 PID 控制 设计了四旋翼飞行器的控制系统 ， 经过仿真得出模糊 PID 控制 系统具有更快的响应速度 和 更小的超调量 ， 具有比常规PID 控制器 更好的鲁棒性。 反步法 非常适合于非线性系统，缺点是鲁棒性 比较 差。 其 基本思想是 将 复杂的非线性系统 根据 其内部联系 分解成 不同的子系统 ， 然后按相互间的影响 顺序设计第 一级 子系统的 Lyapunov 函数 ，在确保第一级收敛的前提下再设计第

17、二 级 ，以此类推， 直到完全获得整个系统的 空置率 。 国防科学技术大学的聂博文等人于 2006 年自行设计制作了四旋翼飞行器样机，建立了其动力学模型并基于反步法设计了飞行控制系统。 西北工业 大学的赵元伟基于反步法设计了四旋翼飞行 器 的 控制器 ， 控制器 采用多回路结构， 内 回路采用 反步法 ，外 回路 采用 PD 控制 方式 ， 系统动态 调节 过程 快速 ， 性能指标 较为满意。文献 6设计了基于自适应 Backstepping 法的四旋翼飞行器控制器，并进行了抗干扰仿真实验，验证了系统具有良好 的鲁棒性。 自适应控制 系统 的控制参数 会 随着被控对象的变化而自动调节，以达到满

18、意的控制效果。 系统 主要由反馈控制环和参数调整环构成。 根据系统 工作环境 是否 确定分为确定自适应控制 和随机自适应控制。 北京交通大学 的 郑 健 将 无模型 自 适应 PID 串级 控制 引入到四旋翼飞行器控制 率 的设计中 ， 实验结果证实了 飞行器 有很好的跟踪能力和 扰动 抑制能力。 国防 科技大学的岳基隆在其硕士学位论文中对四旋翼飞行器 的 部分自适应算法进 四旋翼飞行器 PID 控制器的设计 第 4 页 共 34 页 行了研究 ， 根据 EKF 和 UKF 这两种 非线性 估计算法 设计了 两个飞行状态估计器 ， 对四旋翼飞行器悬停状态的自适应算法进行了仿 真 ， 结果显示其

19、具有较高的鲁棒性。 自抗扰 控制技术由 我国著名系统与控制专家韩京清于 20 世纪 80 年代末期提出 。 已经历过 三十 几年 的磨练 ， 随着很多问题 采用 该控制技术 陆续 得到了解决，自抗扰控制技术在控制 界 已具有一定的知名度。 自抗扰 控制技术 引入了 扩张状态观测器，对内 扰和 外扰 进行 实时估计并在控制算法中加以补偿 ， 这种让控制对象来适应控制器的设计方法与自适应控制是完全不同的 。 大连理工大学的杨晟萱设计 了 四 旋翼飞行器的自抗扰控制器，并与采用串级 PID 控制器的四旋翼飞行器控制系统进行对比仿真，结果表明：在相同外部扰动影响下，自抗扰 控制器的表现更优。 1.4

20、本文主要研究内容与结构安排 本文针对 四旋翼飞行器 在 实际飞行过程中，经常会因受到外界气流扰动的影响而偏离预期的状态， 利用牛顿 -欧拉方程飞行器动力学模型并采用小扰动法线性化后 ， 基于PID 控制方法 设计了各控制通道的 PID 控制器， 验证了 PID 控制器 对飞行器自稳定控制的有效性。 全文 共分为四 章， 具体结构安排如下： 第 1 章 绪论 ，首先 介绍了 四旋翼 飞行器 的 主要应用领域，然后分析了与固定翼飞行器 相比其 所具有的优势 和 劣势。 之后 简 要 介绍了四旋翼飞行器的发展历史 并 着重阐述了四旋翼飞行器控制算法 研究现 状。 最后给出 本文主要研究内容与结构安排

21、。 第 2 章先 简单说明了 四旋翼 飞行器机械结构 ， 然后重点分析了 飞行器几种 基本飞行状态 的控制原理 ，接着定义 了坐标系并推导出 方向 余弦矩阵，在此基础上 建立了 飞行器的运动学方程和动力学方程。 并 基于悬停状态 或 低速小角度飞行对系统非线性模型进行了适当简化。 最后给出了直流电机 数学模型的建立过程。 第 3 章采用 小扰动法对 系统 简化的非线性动力学模型 线性化， 再根据传递函数与状态方程的关系得到 各 控制 通道 的传递函数。 分别 对各控制通道搭建 Simulink 仿真 模型 ，并进行 了 PID 控制器 参数的整定。 最后 对 各控制通道进行了抗扰性实验。 第

22、4 章对 全文进行了总结并对进一步工作作出展望。 四旋翼飞行器 PID 控制器的设计 第 5 页 共 34 页 第 2 章 四旋翼飞行器动力学模型的建立 本章先简单介绍了四旋翼飞行器的机械结构，然后详细分析了其四种基本运动状态的实现原理。建立了直流电机的数学模型和飞行器非线性模型，并基于悬停状态或低速小角度飞行状态对飞行器非线性模型进行了适当简化。 2.1 四旋翼飞行器机械结构和控制原理 2.1.1 机械结构 四旋翼飞行器机械结构 如图 2-1 所示，四个 电机安装在一个 “ +”或“ ” 型 的刚性交叉结构的四端，电动机驱动旋翼转动完成各种飞行运动。 从上 往下看，前后两个旋翼（ 1 和 3

23、）逆时针方向旋转， 左右 两个旋翼（ 2 和 4） 顺时针 方向旋转。 图 2-1 四旋翼飞行器机械结构图 四旋翼 飞行器有两 种 类型，根据前引擎和自动驾驶仪是否在同一直线上区分：如果二者 在同一直线上 ，飞行器 呈 “ +”型 ；如果二者不在同一直线上， 飞行器 呈 “ ”型（参见 图 2-2） 。“ ”型飞行器 多被应用于摄影摄像领域，因为 其 实用载荷 前方的视野更加开阔。 四旋翼飞行器 PID 控制器的设计 第 6 页 共 34 页 图 2-2 “ +”型四旋翼飞行器（左图），“ ”型四旋翼飞行器（右图） 2.1.2 控制原理 如图 2-3 所示为飞行器的一个旋翼。当旋翼旋转时，由于

24、旋翼剖面的非对称性，旋翼上表面的空气流速比下表面的快，根据流体力学的基本原理：流速越快的地方压强越小。故旋翼上表面的压强 1p 比下表面的压强 2p 小，从而形成上下表面压差，形成升力 F . 图 2-3 四旋翼飞行器升力产生的原理 四旋翼 飞行器在空间 中 的基本 运动状态有 下面 4 种 ： 1. 垂直运动 在 图 2-4 中 ，电机 1 和 电机 3 逆 时针旋转，电机 2 和 电机 4 顺时针旋转 （下 同），规定沿 x 轴 正方向的运动称为向前运动 。 飞行器每个电机产生的升力 iF 与电机转速 i 的平方成正比，即 2iiFb ，其中 b 为升力系数， i =1,2,3,4.当 旋

25、翼由电动机带动旋转时 ， 四旋翼飞行器 PID 控制器的设计 第 7 页 共 34 页 空气阻力会阻碍其旋转，这种阻碍作用表现为施加在旋翼上的反扭矩，再通过旋翼将这一反扭矩传递到飞行器机体上。反扭矩的大小 DiM 与 2i 成正比，即 2Di iMd ，其中 d 为反扭矩系数。 为了 不产生倾覆力矩 ， 必有 13FF ， 24FF ， 则 13 ， 24 。 为了 抵消各个旋翼产生的反扭矩，必有 1 3 2 4D D D DM M M M ，则 2 2 2 21 3 2 4 ， 结 合 13 ，24 得到 ： 1 2 3 4 ， 此即 实现 垂直运动的必要条件。 在 保证四个旋翼转速相同的前

26、提下， 同时 增加 它们的 转 速，当 41 ii F mg 时 ，飞行器垂直上 升；若 同时减小它们的 的转速，当 41 ii F mg 时 ，飞行器垂直下降；当 41 ii F mg 时 ，飞行器保持 空中悬停。 （ m 为 飞行器质量， g 为 重力加速度） 图 2-4 垂直运动飞行控制示意图 2. 俯仰 运动 如图 2-5 所示， 保持旋翼 4 和 2 的 转速不变，增 大 3 的 同时减小 1 ， 则产生倾覆力矩 31L F F ， 飞行器 前 倾；若增大 1 的 同时减小 3 ， 则产生倾覆力矩 13L F F ， 飞行器 后 倾 。 13 越 大 ， 俯仰角就越大。 （ L 为飞

27、行器质心到电机轴轴线的距离） 四旋翼飞行器 PID 控制器的设计 第 8 页 共 34 页 图 2-5 俯仰运动（前倾）飞行控制示意图 3. 横滚运动 横滚 运动的控制原理 类似于俯仰 运动 ，如图 2-6 所示 ，保持 1 和 3 不变，增大 4 的同时减小 2 ， 则产生倾覆力矩 42L F F ， 飞行器 右 倾；若增大 2 的 同时减小 4 ， 则产生倾覆力矩 24L F F ， 飞行器 左 倾 。 旋翼 4 和 2 的 转速差 42 越 大 ，横滚 角就越大。 图 2-6 横滚运动（右倾）飞行控制示意图 4. 偏航 运动 如图 2-7 所示 ， 同时 增大 1 和 3 ,则 升力 1

28、F 、 3F 和 反扭矩 1DM 、 3DM 增大 ，与此同时，减小 2 和 4 ，则 升力 2F 、 4F 和 反扭矩 2DM 、 4DM 减小 ，保持总升力 41 ii F mg ， 四旋翼飞行器 PID 控制器的设计 第 9 页 共 34 页 从上往下 看，净反扭矩 1 3 2 4D D D DM M M M 使得 飞行器 绕 Oz 轴 顺时针 转动 ，实现偏航运动。 同理 ，逆时针偏航运动可通过 同时增大 2 和 4 ， 减小 1 和 3 实现 。 图 2-7 偏航运动（顺时针）飞行控制示意图 2.2 坐标系定义及方向余弦矩阵 描述任何物体的运动都需要指明参考坐标系（本文中参考坐标系即

29、下文中的 E ），在飞行器的动力学建模中，由于飞行器的几何形状和尺寸大小不能被忽略，所以飞行器不能被视为质点。描述空间中物体，不仅需要描述其位置信息（也即物体质心在坐标系中的坐标），还需要描述物体的姿态。而姿态无法在一个坐标系中确定，必须有两个坐标系相互参照。为此我们定义 机体坐标系 B ，借助这两个坐标系，飞行器在空间中的位置和姿态得以确定。 1.地面坐标系 E E E EO X Y Z （简称坐标系 E ） 地面坐标系原点固定在地面上一点。飞行器质心在空间中的位置由地面坐标系中一个 3 1 的位置矢量唯一确定。 EEOX 轴指向飞行器指定的飞行方向， EEOZ 轴垂直于E E EOXY 面

30、向上， EEOY轴垂直于 E E EOXZ 平面。 2.机体坐标系 O xyz （简称坐标系 B ） 四旋翼飞行器 PID 控制器的设计 第 10 页 共 34 页 机体坐标系固定在飞行器 上，其原点 O 在飞行器重心位置上， Ox 轴与 EEOX 轴平行且指向前方， Oy 轴与 EEOY轴平行且指向左方， Oz 轴与 EEOZ 轴平行且向上。 图 2-8 地面坐标系 E 和机体坐标系 B 飞行器的姿 态信息是由三个欧拉角 （ 俯 仰角 ， 横滚角 和偏航角 ） 来 确定的 ，如图 2-8 所示， 欧拉角的定义如下： 俯仰角 ： Ox 轴与 E E EOXY 平面间的夹角，若机体 Ox 轴指向

31、水平 面上方（上仰），则 角为正；反之为负。 横滚角 ： Oy 轴与 E E EOXY 平面间的夹角，若机体向右倾斜（右滚），则 角为正；反之为负。 偏航角 ： Ox 轴在 E E EOXY 平面内的投影与 EEOX轴的夹角，右偏航时 角为正；反之为负。 三维空间中一矢量 P （这里的矢量指的是广义矢量，即可以是位置矢量，线速度矢量或力矢量）在机体坐标系中的描述 ,P x y z 和在地面坐标系下的描述 ,E E EP x y z 之间的关系将通过下面的推导得到。基于机体坐标系原点（即飞行器质心）在地面坐标系中的位置坐标对结果的影响仅仅是加上或减去该位置坐标分量而已，故不妨将机体坐标系与地面坐

32、标系的原点重合。将地面坐标系 E 经过三次转动后得到机体坐标系 B 。 四旋翼飞行器 PID 控制器的设计 第 11 页 共 34 页 （ 1） 首先 绕 EEOZ 轴 转过一角度 ，得到坐标系 1 1 1O xyz 。 图 2-9 第一次转动后的坐标转换示意图 设三维空间中一矢量 P 在坐标系 1 1 1O xyz 的表示为： 1 1 1,P x y z 。 由图 2-9 可知： 111c o s s in 0s in c o s 00 0 1EEExxyyzz (2-1) （ 2） 坐标系 1 1 1O xyz 绕 1Oy 轴向上转动一角度 ,得到坐标系 2 2 2O x yz 。 图 2

33、-10 第二次转动后的坐标转换示意图 设矢量 P 在坐标系 2 2 2O x yz 的表示为： 2 2 2,P x y z 。 由图 2-10 可知： 四旋翼飞行器 PID 控制器的设计 第 12 页 共 34 页 12c o s 0 sin0 1 0sin 0 c o sxxyyzz (2-2) （ 3） 最后将 坐标 系 2 2 2O x yz 绕 2Ox 轴 向右转动一角度 ,得到机体坐标系 O xyz 。 图 2-11 第三次转动后的坐标转换示意图 由图 2-11 可知： 2221 0 00 c o s sin0 sin c o sxxyyzz (2-3) 按照上面方式得到的角度 ，

34、， 是相互独立的，即先得到的角度不影响后得到的角度，后一次旋转也不改变先前几次旋转得到角度的值。所以得到的角度 ， ， 分别为飞行器的偏航角，俯仰角，横滚角。联立式 （ 2-1) (2-3)得到： EEExxy T T T yzz (2-4) 其中 ： c o s sin 0sin c o s 00 0 1T， c o s 0 sin0 1 0sin 0 c o sT， 1 0 00 c o s sin0 sin c o sT 定义 EBL 为 机体坐标系 到 地面 坐标系 的 方向余弦矩阵 四旋翼飞行器 PID 控制器的设计 第 13 页 共 34 页 c o s s in 0 c o s

35、0 s in 1 0 0s in c o s 0 0 1 0 0 c o s s in0 0 1 s in 0 c o s 0 s in c o sEBL T T T c o s c o s s in c o s c o s s in s in s in s in c o s s in c o ss in c o s c o s c o s s in s in s in s in s in c o s c o s s ins in s in c o s c o s (2-5) 2.3 系统模型建立 2.3.1 直流电机的数学模型 四旋翼 飞行器的旋翼是由 无刷 直流电机驱动的。 无刷 直流电机

36、 有 磁场控制式和 电枢控制式 两种 。本文 以 电枢控制式为例，建立其数学模型。 图 2-12 电枢控制式直流电机原理图 如图 2-12 所示，输入电压 avt作用于电枢两端，当励磁磁场非饱和时 ，气隙磁通 与励磁电流 fit成正比，即 ffK i t (2-6) 再假设电机扭矩 mT 与 和电枢电流 ait之间有如下的线性关系 11m a f f aT K i t K K i t i t (2-7) 由式 (2-7)知 ，必须 使 一个 电流 保持恒定 ， 才能保持扭矩与电流间的线性关系，这样 ，另一个电流便成了输入电流。 电枢 控制式直流电机以电枢电流 ait作为 控制变量， 励磁电流

37、fit保持 恒定，通过励磁线圈和电路建立电枢的定子磁场。 对 式 (2-7)进行 拉氏变换，有： 四旋翼飞行器 PID 控制器的设计 第 14 页 共 34 页 1m f f a m aT s K K I I s K I s(2-8) 其中， ffi t I 为恒定的励磁电流 ， mK 定义为电机常数。 电枢电流与作用在电枢上的输入电压之间的关 系为 a a a a bV s R L s I s V s (2-9) 其中 ， bVs是与电机转速成正比的反相感应电压，即有 bbV s K s (2-10) 其中， s s s 为角速度的拉普拉斯变换。 由式 (2-9)和 (2-10)得 电枢 电

38、流 aba aaV s K sIs R L s (2-11) 电机扭矩 mTs等于 传送给负载的扭矩，即有关系式 m L dT s T s T s (2-12) 其中， LTs为 负载扭矩 ， dTs为 扰动扭矩。 图 2-12 所示 的 惯性 负载所需要 的扭矩为 2LT s J s s b s s J s b s (2-13) 其中， J 为 电机轴上的等效转动惯量 ， b 为 摩擦系数。 图 2-13 电枢控制式直流电机方框图 根据图 2-13 所示的方框图，可以得到 0dTs 时的传递函数为 四旋翼飞行器 PID 控制器的设计 第 15 页 共 34 页 1111ma a mma a

39、a b mbaaKs R L s J s b KGsKV s s s R L s J s b K KKR L s J s b (2-14) 2.3.2 运动学方程 首先来分析飞行器质心的线运动， 定义地面 坐标系 中 飞行器 质心 的位置矢量 为 ,TEr x y z ， 则地面坐标系中飞行器 线 速度在三个坐标轴上的分量分别为 x ， y ， z 。 设 Er 沿机体坐标 系 Ox ， Oy ， Oz 轴的分量分别为 u ， v ， w 。则根据坐标转换矩阵 EBL 即可得到关系式： c os c os c os sin sin sin c ossin sin c os sin c ossi

40、n c os c os c os sin sin sinsin sin c os c os sinsin sin c os c os c osx u vwy u vwz u v w (2-15) 再来分析飞行器 绕质心转动的角运动， 设飞行器绕机体 轴 Ox ， Oy ， Oz 转动 的角速度分别为 p ， q ， r 。三个 欧拉角的角速度分别为 ， ， 。 线运动只改变 飞行器 在 空间中 的位置 而 不改变其姿态（ 即欧拉角 ， ， ）， 所以不妨将机体坐标系原点和 地 面坐标系原点重合。 由旋转理论可得 p ， q ， r 与 欧拉角的角速度 数字 ， ， 之间 关系为： sinc o

41、 s sin c o ssin c o s c o spqr (2-16) 对式 （ 2-16） 等价变形，得到： c o s s in s in c o s s in c o sc o s s ins in c o s c o sp q rqrqr (2-17) 2.3.3 动力学方程 四旋翼飞行器 PID 控制器的设计 第 16 页 共 34 页 由于四旋翼飞行器本身是一个复杂的动力学系统，对其进行精确建模极其困难而且于本文而言这根本没有必要。为了对问题进行必要的简化，作出如下假设： 1） 四旋翼飞行器为均匀对称的刚体且质量是常数； 2） 坐标系 E 为惯性坐标系 ， 将地球表面视为平面；

42、 3） 坐标系 E 的 原点与飞行器的 质 心重合； 4）忽略由于旋翼旋转 导致的转子陀螺效应； 在 B 中 ，飞行器受到的旋翼升力 向量 为： 4100xByziiFFFF F(2-18) 其中 xF ， yF ， zF 为 飞行器 受到的 旋翼升力沿 B 三个 坐标轴方向的分量 。 则 地面坐标系 E 中 飞行器 受到的旋翼 升力 向量 为： 4 21sin sin c o s sin c o ssin sin c o s c o s sinc o s c o sEEEXEE Y B B iiZFF F L F bF (2-19) 定义 四旋翼飞行器在地面 坐标系下沿 EX 、 EY 、

43、EZ 三个 轴向上 受到的阻力系数 分别为 1K 、2K 、 3K ，则在地面 坐标系下，飞行器所受到的空气阻力和重力为： 12300EEEXEYZTEf Kxf f K yKzfG m g (2-20) 在 地面坐标系下， 根据 牛顿第二定律可 得 飞行器沿 EX 、 EY 、 EZ 三个 轴 的 线运动方程： 四旋翼飞行器 PID 控制器的设计 第 17 页 共 34 页 421142214231sin sin c o s sin c o ssin sin c o s c o s sinc o s c o siiiiiix b K x my b K y mz b K z m g (2-21

44、) 前面 已经假设飞行器的结构 对称， 质量均匀 ， 所以 相对于 机体坐标系 ，惯性张量 BI为对角阵 ： 000000xxByyzzIIII(2-22) 式中， xxI ， yyI ， zzI 分别为飞行器对机体坐标轴 x ， y ， z 的转动惯量。 在 机体 坐标系 下， 飞行器绕机体 轴 Ox ， Oy ， Oz 转动 的角速度 向量和角加 速度 分别 为 Bpqr(2-23) Bpqr(2-24) 则 由欧拉方程， 得出作用 在飞行器上 的 合 力矩在 机体坐标轴 x ， y ， z 上 的 分量分别为 x BBy B B BzMM I IM (2-25) 上式 右边第一项 即为 x x x xBB y y y yz z z zI p I pI I q I qI r I r (2-26) 上式 右边的第二项可写为 四旋翼飞行器 PID 控制器的设计 第 18 页 共 34 页 z z y yBB B x x z zx x y y z z y y x xrq I Ii j kI p q r rp I II p I q I r p q I I (2-27) 又 42131 3 2 4xyz D D D DM L F FM L F FM M M M M (2-28) 则 42131 3 2 4x x y y