1、素数定理随笔 SCIbird 本文献给数学大师高斯 本文试图介绍猜测素数定理的一种思路，以及简单的 解析证明。尽管看起来有些事后诸葛亮的感觉，但确实是一种认识素数定理的途径，希望本文能够给读者以启迪。 约定 p始终代表素数， ,zs表示复数。记 ()x 表示不超过 x 的素数的个数，所谓素数定理，指下面极限表达式 ()lim 1/lnxxxx= 本文主要围绕这个表达式来谈谈自己的一些心得体会。 应该指出，上述结论已经有严格的数学证明（包括初等证明） ，但本文重点是给出一条探索素数的途径，文章中主要以近似和形式推导 为主，大胆猜测，严格证明。 通过原始的数值计算来观察 ()x 的分布规律是常见的
2、思维方法，见下表： 表格出自华罗庚的数论导引 其中，函数2Lilnxdtxt=（这是一个非初等积分）由高斯所发现，是 ()x 的另一个渐进表达式。由洛比达法则可知 Lilim 1/lnxxxx= 函数 lix 按如下方式定义 10 01li limlnxdtxt +=+ 显然 Li li li 2xx=. 从上表可以看出，利用 lix 作为 ()x 的渐进函数，效果比 /lnxx要好一些，不过本文的主角其实是函数 Lix . 素数作为整数的基础，自古以来备受数学家们的重视 。首先，素数有无穷多个。其次，素数又非常少，即 ()/ 0xx . 第三，素数的分布似乎毫无规律，总的来看很稀疏，偶尔有集
3、聚现象。 所以当人们证明 ()x 的极限情况有很简单的渐进表达式 /lnxx时，还是感到很神奇。据称，素数定理、费马大定理和哥德巴赫猜想是 20 世纪初数论中的三大著名猜想，而且素数定理当时的名气最大。 我们主要沿着高斯的发现途径 Lix 来找到突破口，这里面也包含很多后来人的工作。与前人思路不同高斯不是简单研究 ()x 的数值分布特点，而是考察比值 ()/xx 的分布特点，猜测是否有简单函数 ()x 来近似代替。 按数学家迪厄多内的说法，高斯考虑 ( , 1000)xx+ 内的所有素数，通过大量的计算，高斯从数值表中观察到，当 x 很大时，有下面的近似性质： ( 1000) ( )1000x
4、x+正比于1lnx数值计算表明，用 Lix 来近似表示 ()x ，效果不错。 这一深刻的发现一方面包含高斯辛勤的计算劳动，同 时体现了高斯的敏锐直觉。另一方面，直观上也不难理解高斯的发现，笔者当初第一感觉是高斯似乎在寻找素数分布的某种概率分布 （笔者下意识想到了正态分布） ，正确地说，高斯是在寻找素数的某种密度函数分布（近似表达式） 。 同一时期，法国数学家勒让德（此人数学上经常与高 斯撞车）也发现了素数分布近似关系 () /(ln )xx xB ，其中 B 是一个常数。数学史上一般认为，勒让德和高斯是素数定理的“发现者” （他们没有给出数学证明） 。 有没有比数值计算更纯数学一些，更有逻辑一
5、些，来 猜测出素数定理的表达式呢？数学家柯朗在数学是什么一书中，给出一种从统计方法角度来猜测素数定理的途径。 总的方向是寻找一种简单连续函数 ()x ， 使得对较大的数 a与 b 有近似关系 () () ()baba xdx 当然，如果对较大的数 x 有近似表达式 2() ()xxtdt就更好了！严格说，满足上述要求的简单函数 ()x 未必存在，至少不能预先知道。不过从数学和谐角度看，可以假设这样的 ()x 存在，下面通过形式推导来猜一猜 ()x 的表达式。 数论中有一个关于阶乘 !n 的定理，即素数 p是 !n 的一个素因子，则 p作为因子的次数“约为” （当整数 n 很大时） 231pn
6、n n nnn np p p ppp p = + + + + + += 这里 x 表示不超过 x 的最大整数。 可以证明，满足 pn 的所有素数皆为阶乘 !n 的因子，反之亦然。于是 1!pnppn pnnp=根据斯特林公式 ln !n 近似等于 lnnn，故 lnln1pnpnp用 x 代替 n ，得到近似表达式 lnln1pxpxp因而对上述等式右侧进行近似是突破口。 考虑区间 2 , )x ，其内的素数按照从小到大顺序排列为 122mpp p= 可以将 ()s 函数解析延拓到整个复平面，其只在 1s = 处有一个单极点。不过人们似乎对 ()s 的零点兴趣更大，大名鼎鼎的黎曼假设（悬赏 1
7、00 万美元）被认为是数学中的第一难题： ()s 函数在 0Re()1s 时 () 0s ，而证明素数定理的一个关键结论是：当 Re( ) 1s = 时， () 0s （阿达玛和普桑） 。 ()x 的函数是数学家切比雪夫引进的，可以估计 () ()xOx = . 而 ()s 引入的妙处在于与后面的“ Tauber 型”定理相结合，巧妙地证明 ()xx （文章的精华部分） 。 大致思路如下：利用 ()s 的无穷乘积表达式得到关系式 () ln()() ( 1)pssspsp=+利用 ()s 的零点性质，以及在 1s = 处有一个单极点的结论可以证明函数 () 1/( 1)ss 在 Re( ) 1
8、s 上是解析的 。 为证明 ()xx ，先证明 广义积分12()xxdxx收敛 。 方法是利用所谓的“ Tauber 型定理” ，这方面内容可参考 Rudin 的泛函分析第 9 章 Tauber 理论。下面的想法是： 通过研究 ()f t 在某个线性变换 ()Lft下的渐进性质，来研究函数 ()f t 的无穷远处的渐进性质 ，这里选择的线性变换是传说中的 Lapalce 变换。 首先，先证明有如下 Laplace 变换（ Re( ) 1s ） 0()()tstsee dts+=注意到 ()x 是素数点处的分段线性函数，在素数点处断开讨论积分，再求和即可证明上述变换。 其次，令 () ( ) 1
9、ttf tee=及 () (1)/(1)1/gz z z z=+ +，则 0() () (Re() 0)ztgz fte dt z+=做变换txe= ，当 0z = 时就得到我们所需证明的广义积分，即 102()()xxdx f t dtx+=注意到 ()gz是 Re( ) 0z 上的解析函数，因此讨论极限关系 0 00lim ( ) ( )tzzf te dt ftdt+ +=是否存在就很关键了，这方面有一个重要定理： 设 0t ， ()f t 是有界的局部可积函数，定义函数 0() () (Re() 0)ztgz fte dt z+=若函数 ()gz可以解析延拓到 Re( ) 0z ，则广
10、义积分收敛且满足 0 00(0) lim () ()zztg f t e dt f t dt+ += 这个结论看起来很自然，但证明需要一定技巧。通过 巧妙选择被积函数和积分围道，然后利用柯西积分定理可以证明上述积分号下求极限定理成立，证明细节可参考上面提到的美国数学月刊那篇文章。 接下来利用反证法和广义积分收敛的柯西准则可证明 ()xx . 假设存在常数 1 ，对某个充分大的 x 有 ()xx 成立。注意到 函数是不减的，于是 2221()0xxtt xt udt dt du=与广义积分的柯西收敛准则矛盾！ 类似地， 存在正的常数 1； 存在无数多个 x ， 使得 () li 0xx 成立的
11、x是一个天文数字。这个例子表明数学证明的优越性，你不可能通过数值计算验证所有的情况，当可以给出一个否定形式的证明。 出乎意料，黎曼假设等价于 () Li ( ln )xxOxx =+ ，如果该表达式成立，则可认为这是素数定理误差估计的 最佳形式了（几乎难以改进） 。 当初很多数学家认为素数定理不太可能有初等 证明，是因为阿达玛等人的证明之中利用了黎曼 ()s 函数零点的性质，不少人觉得证明之中难以规避 ()s函数，因此不太肯能有初等证明。后来，塞尔伯格等给出了素数定理的一个初等证明（不用微积分） ，涉及一大堆繁琐的不等式估计，思路晦涩，启发性不大，华老等不太推荐。 最后指出，本文是笔者即兴随笔之作，写的比 较仓促，错误难免，读者需细心才行。
