1、高斯二次互反律主講：李宗儒在正式介紹高斯二次互反律之前，我們先簡單的介紹一下同餘方程式同餘方程式給定正整數 m 及 n 次整系數多項式110().nnfxaxax我們討論這樣的問題：求出所有的整數 x，使同餘式(mod m) (1)0f成立，這就是所謂的解同餘方程式。而上式稱為模 m 的同餘方程式。若(1)式在x=c 時同餘式成立，稱 c 是(1) 式的解。顯然，這時剩餘類 c (mod m) 中的任意整數也都是解，我們把這些解看作是相同的，並說剩餘類 c (mod m) 是(1)中的一個解，我們把它記為(mod m)x當 均為(1)式的解，且模 m 不同餘，我們就稱它是同餘方程式(1)的不同
2、解，12,c所有模 m 兩兩不同餘的解的個數，稱為是同餘方程式 (1)的解數。模為質數的二次同餘方程在此節，由於 的情形是顯然的，所以下面我們假定 p 是奇質數。假設 p 不2p整除 a，二次同餘方程的一般形式是(mod p) (2)20axbc但是因為 p 不整除 a，所以 p 不整除 4a，所以(2)的解跟(mod p) (3)24的解相同，上式可以改為(mod p) (4)24axbac透過變數變換，我們可以得到下列式子(mod p) (5)2y(4)與(5)是等價的，也就是說，兩者同時無解或有解。若有解，對於(5)的每個解(mod p)，通過變數變換 (因為這是 x 的一次同餘方程，0
3、yaxb，所以解數為 1)，我們可以解出一個 (mod p)，由以上的討論可,21a 0知，我們只要討論形如(mod p) (6)2xd的同餘方程式，很容易的，當 p 整除 d 時，(6)僅有一解 (mod p)。所以，0x我們只討論 p 不整除 d 的情形。定義 1設質數 ，d 是整數，且 p 不整除 d，如果同餘方程式(6)有解，則稱 d2是模 p 的二次剩餘，若無解，則稱 d 是模 p 的二次非剩餘。定理 1在模 p 的一個完全剩餘系中，恰有 個模 p 的二次剩餘， 個模 p1212的二次非剩餘，此外，若 d 是模 p 的二次剩餘，則同餘方程式(6)的解數為二。定理 2設質數 且 p 不
4、整除 d，其中 d 是整數。那麼 d 是模 p 的二次剩餘的充要條件是 (mod p)；d 是模 p 的二次非剩餘的充要條件是 (1)2d(mod p)(1)2p為了接下來的討論方便，我們引進一個表示模 p 的二次剩餘、二次非剩餘的符號 Legendre 符號定義 2設質數 ，定義整數變數 d 的函數p引理 1(1) dp(2) (mod p)(1)2(3) dcp(4) 若 p 不整除 d21(5) ，1p(1)2p(6) 同餘方程式 (mod p)的解數是2xddp引理 2設質數 且 p 不整除 d，再設 ， ， ，以 n 表示12jjtd0jtp這 個 中大於 的 的個數，那麼有(1)pjt2jt(1)np定理 3我們有 2(1)82p定理 4設質數 且 p 不整除 d，且當 ，有2(,2)1p，其中 (1)Td()1jd定理 5在定理四中，若 d 也是奇質數，則有 (1)2()pqqp這就是有名的高斯二次互反律
