1、1警力的分布问题摘要：为防止学校附近的突发事件，现在学校附近安排执勤点。为合理的安排警员，确保学生安全，建立以下模型： 针对问题一：求最少人员问题，根据图论思想，构造赋权图 ，再利,GVEW用 Floyd 算法，求得任意两点间的最短距离。对于距离所有类学校及第二类学校分别满足小于 200 米和 400 米条件的标志点，引进 01 变量，建立优化模型，并利用Lingo 软件求得最少人数为 20。针对问题二：在问题一的基础上，根据 Floyd 算法，获取任意两个标志点间的最短距离，并利用 01 变量建立优化模型，求得学校相应执勤点的位置为：。 2223,BISWYFKNSBDGINPRXBJP针对
2、问题三：执勤点可设在道路上任意一点，我们根据学校间的最短距离矩阵筛选出三类路径：（1）两学校间最短距离小于 400 米的路径（2）第一类学校与第二类学校间最短距离小于 600 米的路径（3）两个第二类学校间最短距离小于 800 米的路径，在满足题设条件下，得到最优人数仍为 20，但执勤点的位置相对灵活。关键字：警员配置，最短路径，图论, Floyd 算法21 问题的重述福建省南平市实验小学多名学生在校门口被犯罪分子砍杀，该恶性伤害事件引起了市委、市政府领导的高度重视，立即对市公安局、教育局、行政执法局等有关部门和单位召开加强校园周边特殊时段安全防范工作紧急会议，研究确定了在学校及其周边道路上设
3、执勤点。我们研究一下问题：（1） 如何配置警员，使总人数最少；（2） 再问题一的基础上如何合理的安排执勤点位置；（3） 若执勤点布置不限定在标志点，而是限定在道路上，重新配置警员并安排执勤点位置，使总人数最少。2 问题的分析在现实生活中，经常会遇到优化问题，即寻求最优方案，使人员配置最优。对于本题，我们依次针对具体问题进行分析。针对问题一：求最少警员的配置问题，属于优化问题，即从若干可能的安排或方案中寻求某种意义下的最优安排或方案。对于本问题，即寻求一种方案，当险情发生时，可以有警员在一分钟之内到达各类学校，对于第二类学校，可以在两分钟内有第二名警员到达，并且使警员总人数最少。为使目标最优化，
4、可以根据各标志点的坐标，计算各标志点间的距离，分别找出距离第一类学校不超过 200 米的标志点，距离第二类学校不超过 400 米的标志点，求出到各个学校最短路径的标志点，从而在满足条件的基础上得到最少配置人员。针对问题二：在问题一的基础上选择合适的标志点作为执勤位置，使在配置警员最小的情况下，可以对险情作出迅速反应，并及时处理。针对问题三：把执勤点扩展到道路上，并非限定在标志点上，增加了执勤地点的灵活性，在处理模型时减少执勤点必须安排在标志点的限制，在此基础上重新分配警员，使能及时应对险情的情况下达到总人数最少，使得模型进一步优化。3 条件的假设与符号的约定3.1 条件假设（1） 警员接到报警
5、后可以快速反应以预定速度赶到现场，无任何交通阻塞现象；（2） 各标志点的设置都十分合理，所给的坐标数据准确无误；（3） 题目中根据学校人数划分的两类学校的方法很合理；（4） 任意两种案件不可能在同一时间内发生。3.2 符号的约定： 到 的最短距离， ；ijaivj 1,95,ij ： 到 的距离， ；ijdij ：学校 到 的距离， ；ijeiuj,ij：表示第一类学校的标志点， ；if 13：表示第二类学校的标志点， ；ig,6i3：表示学校 到 的距离， ；ijpiuj,1,9ij:表示第一类学校 到第二类学校 的距离, ；ijqifjg1,3,6ij :表示第二类学校 到第二类学校 的距
6、离， ；ijri j :表示学校所在的标志点， ； iu1,9i：各标志点的位置， ； iv5： 到 的直达距离，若 到 不直达，则 为 ， 。ijwij ivj ijw,1,95ij4 模型的建立与求解4.1 数据的处理（1） 为保证建模的质量与系统分析的正确性，对原始数据必须进行预处理。根据两点间的距离公式:（1）2211()()dxy把标志点的坐标转化为各标志点间的距离，形成矩阵 。95ijDd（2） 根据人数对学校的分类：表 1 学校的分类 第一类 B S W Z K1 N1 U1 G2 N2 R2 X2 I3 P3第二类 J E1 G1 B2 I2 P24.2 模型的建立（1） 模型
7、一建立赋权图 ，其中 ，邻接矩阵,GVEW1295,Vv1(95)nmw 其中 表示标志点 到 的直达距离，若不直达则 为 。ijwivj ij利用 Floyd 算法，求得任意两标志点间的最短距离矩阵41195nmaA 其中 表示 到 的最短距离。根据最短距离矩阵分别找出距各类学校小,195ija ivj于 200 米的标志点和距第二类学校小于 400 米的标志点，列出表格如下：表 2 距各类学校距离小于 200 米的标志点学校 B J S W Z E1 G1 K1 N1 U1 B2 G2 I2 N2 P2 R2 X2 I3 P3标志点BCJIKSRTWVZYA1E1D1F1R1G1F1H1K
8、1J1N1M1O1U1S1T1V1B2C2G2H2I2J2 N2 P2R2Q2X2V2W2Y2I3S3P3G3表 3 距第二类学校小于 400 米的标志点第二类学校 J E1 G1 B2 I2 P2 标志点 J I K F G H L X Y E1 U V D1 F1 G1 Q1 R1 S1 T1 G1 V Y D1 E1 F1 H1 I1 B2 P1 Q1 R1 C2 D2 I2 D2 E2 J2 P2 B3 根据表 2，引进 01 变量 ,ijijb第 个 标 志 点 与 第 个 学 校 的 距 离 小 于 20米第 个 标 志 点 与 第 个 学 校 的 距 离 大 于 米，建立矩阵 。
9、1,95,1ij 951ijBb根据表 3，引进 01 变量 , 40ini nc第 类 学 校 到 第 二 类 学 校 的 距 离 小 于 米第 类 学 校 到 第 二 类 学 校 的 距 离 大 于 米，建立矩阵 。1,95,6ij 956ijCc设在第 个标志点上安排 个警员，iix1,建立目标函数： 951minix951,9.2,1,60,ijinibjstcx 且 为 整 数5注： 约束条件一：警员可以在一分钟内到达各类学校；约束条件二：警员在两分钟内有第二个警员到达第二类学校。（2） 模型二首先根据公式（1） 2211dxy计算出各学校间的距离，形成矩阵 ， 表示学校 到 的距离
10、。根据学校9ijEeijiuj间的距离分为三种情形：情形一：距离小于 400 米的学校，建立邻接矩阵 11jiijpP ，其中 表示 到 的距离。在距离小于 400 米的两学校间设置1,9,1ij ijpiuj执勤点，即满足警员在一分钟之内可以到达各学校。若没有与该学校间距小于 400 米的学校，则可以在学校及其附近小于 200 米的道路上设置执勤点。情形二：距离小于 600 米的学校，建立邻接矩阵 11Q=jiijqa ，其中 表示第一类学校 到第二类学校 的距离。在距离小于1,3,6ij ijqifig600 米的两学校间设置执勤点，其位置设立在距离第二类学校 400 米的道路上。情形三：
11、距离小于 800 米的学校，建立邻接矩阵 11jiijrR ，其中 表示第二类学校 到第二类学校 的距离。在距离小于1,6,ij ijrigjg800 米的两学校间设置执勤点，其位置设在两学校中间道路上。4.3 模型的求解（1） 对模型一的求解：运用 Lingo 求解得到最少人员数为 20，共 20 个执勤点，每个执勤点的人数为 1，执勤点及相应学校如下表所示：6表 4 执勤点及其相应学校相应学校B J S W Z E1 G1 K1 N1 U1 B2 G2 I2 N2 P2 R2 X2 I3 P3执勤点B IY S W Y F1S1 F1Y K1 N1 S1 B2D2 G2 I2D2 N2 P
12、2B3 R2 X2 I3 P3（2） 对模型二的求解：经分析不管警卫点设置在哪里，其均要满足两个条件：（1）所有学校要在一分钟以内有警察能赶到；（2）第二类学校要在两分钟以内有第二名警察赶到。求解时我们首先满足第一个条件，然后满足第二个条件，要满足第一个条件至多需要 19 名警察，然而由于两条蓝线的存在， （蓝线连接的两学校间距离小于 400 米，可在两学校道路间设执勤点就可以兼顾两所学校） ，则满足第一个条件仅需 17 名警察，并且 N1，U1，K1三点在满足第一个条件时，要将保护自己的警卫设在 N1B2，U1E1，K1H1 三段路径的 1/3 处使此警察同时能保护 B2，E1，H1 三个第
13、二类学校，故在满足第二个条件时，只需考虑除 N1，U1，K1 三点外的三个第二类学校即可，又因剩余的三个学校相互之间的最短距离大于 800 米，故还需要三名警察。则总共需 20 名警察。对于情形一，只有学校 与 、 与 之间的距离小于 400 米，可以在中间设置WZ1EG执勤点，其他执勤点设在其余 15 个学校或其附近 200 米之内，共设 17 个执勤点。对于情形二，在情形一的基础上，找出第一类与第二类小于 600 米的学校： 与1K, 与 ， 与 ,故在求解情形一时，第一类学校 、 、 的执勤点仍满足1GN2B1UE1KN1U7第二类学校 、 、 在两分钟内有第二名警员到达的条件。1G2B
14、1E对于情形三，只有学校 与 满足要求，但学校 与 已经满足条件，故只要在1G1EG学校 、 、 附近 400 米分别设置一个执勤点就可以满足条件，共 3 个。J2IP综上可知，共需执勤点 20 个，警员 20 人。5 方案的评价综合运用 matlab 和 lingo 两个软件，求解准确，得到相对较理想的执勤点，从总体来看是令人满意的。由于可行方案并不唯一，而根据 lingo 所求得结果只是其中一种最优解，结果并不十分全面。模型的优点：（1） 本模型的计算步骤清晰，充分利用了软件资源。（2） 从问题出发，分析了应该考虑的各种情况，建立了一般的数学模型，较好的解决了实际问题。（3） 此模型具有广
15、泛的应用性，针对最短路径问题对每一个具体的情况，都可以通过此模型求解。参考文献：1 赫孝良，戴永红，周义仓，数学建模竞赛赛题简析与论文点评，西安：西安交通大学出版社，2002。2刘承平，数学建模方法，北京：高等教育出版社，2002。附录：*模型一的求解：*求标志点见的距离矩阵：clc,clearload Ta.txt; %提取原题给出的坐标数据B=zeros(95,95); %先建立一个 95*95 的零矩阵A=Ta.*250;for i=1:95for j=1:95B(i,j)=sqrt(A(i,1)-A(j,1)2+(A(i,2)-A(j,2)2);endenddisp(B);*clc,c
16、learb1=zeros(95);c1=zeros(95);8b2=zeros(95);c2=zeros(95);a=xlsread(sj.xls);%将邻接矩阵导入 Matlab M 文件中a(find(a=1)=inf;%不能直达的两标志点间坐标设为无穷for k=1:95for i=1:95for j=1:95if a(i,j)a(i,k)+a(k,j)a(i,j)=a(i,k)+a(k,j);%求取标志点 i，j 之间的最短距离endendendendfor i=1:95for j=1:95if a(i,j)1);!学校至少需要 1 名警员;for(school2(j):sum(num
17、ber(i):c(i,j)*x)2);!第二类学校需要 2 名警员;End*模型二的求解：*各学校间的距离：clc,clearb1=zeros(19);c1=zeros(6);b2=zeros(19);c2=zeros(6);d1=zeros(13,6);d2=zeros(13,6);a=xlsread(sj.xls);a(find(a=1)=inf;for k=1:95for i=1:95for j=1:95if a(i,j)a(i,k)+a(k,j)a(i,j)=a(i,k)+a(k,j);endendendendb3=a(:,1) a(:,9) a(:,18) a(:,22) a(:,2
18、5) a(:,30) a(:,32) a(:,36) a(:,39) a(:,46) a(:,53) a(:,58) a(:,60) a(:,65) a(:,67) a(:,69) a(:,75) a(:,86) a(:,93);b4=b3(1,:);b3(9,:);b3(18,:);b3(22,:);b3(25,:);b3(30,:);b3(32,:);b3(36,:);b3(39,:);b3(46,:);b3(53,:);b3(58,:);b3(60,:);b3(65,:);b3(67,:);b3(69,:);b3(75,:);b3(86,:);b3(93,:);%获得 19 所学校之间的
19、最短距离矩阵c3=a(:,9) a(:,30) a(:,32) a(:,53) a(:,60) a(:,67);c4=c3(9,:);c3(30,:);c3(32,:);c3(53,:);c3(60,:);c3(67,:);%获得 6 所第二类学校之间的最短距离矩阵d3=a(1,:);a(18,:);a(22,:);a(25,:);a(36,:);a(39,:);a(46,:);a(58,:);a(65,:);a(69,:);a(75,:);a(86,:);a(93,:);d4=d3(:,9) d3(:,30) d3(:,32) d3(:,53) d3(:,60) d3(:,67);10%获得 6 所第二类学校与 13 所第一类学校之间的最短距离矩阵for i=1:19for j=1:19if b4(i,j)400b2(i,j)=1;b1(i,j)=b4(i,j);endendendfor i=1:6for j=1:6if c4(i,j)800c2(i,j)=1;c1(i,j)=c4(i,j);endendendfor i=1:13for j=1:6if d4(i,j)600d2(i,j)=1;d1(i,j)=d4(i,j);endendendsave myd a
