1、标准差与标准误郝拉娣 1 于化东 21 大连水产学院学报编辑部 1160232 数学研究与评论杂志编辑部 116024:辽宁大连摘 要 对容易引起混淆的统计量“标准差”和“标准误”从意义、特征、计算公式、符号表示等方面作了准确描述与区分并对统计学结果表示中“平均数标准差” “平均数标准误”的符号表示进行了统计分析指出了存在问题。通过原因分析提出了避免二者混淆和不规范的符号表示的一些应对措施。关键词 科技论文算术平均数标准差标准误中图分类号 G237.5StandarddeviationandstandarderrorofarithmeticmeanHaoLadiYuHuadongAbstrac
2、t The“standarddeviation”and“standarderrorofarithmeticmean”thatbeingeasytocauseconfusionareaccuratelydescribedanddistinguishedfromthemeaningcharacteristicformulaofcalculationandsymbolizationetc.Thesymbolizationof“meanstandarddeviation”and“meanstandarderrorofmean”intheexpressionofstatisticsresultarean
3、alyzed.Thensomecountermeasurestopreventthetwocasesfrombeingobscureandbeingexpressedwithabnormalsymbolsareputforward.Keywords sci2techpaperarithmeticmeanstandarddeviationstandarderrorofmeanFirst2authorsaddress EditorialOfficeofJournalofDalianFisheriesCollege116023DalianChina 在科学实验和工程实践中常遇到实验结果中包含的随机误
4、差一般都需要在假定系统误差得到消除的情况下计算出实验结果可能达到的准确范围因此在科技论文中常有“平均数标准差”与“平均数标准误”本文中“平均数”均指“算术平均数”的统计学结果表达。虽然“标准差”与“标准误”均用来反映随机误差但一字之差如果分不清它们的实质含义很容易混淆这 2 种表达。1 标准差与标准误 1.1 总体标准差与样本标准差 标准差 standarddeviation 作为随机误差或真差的代表是随机误差绝对值的统计均值。在国家计量技术规范中标准差的正式名称是标准偏差简称标准差 1 用符号 表示。标准差的名称有 10 余种如总体标准差、母体标准差、均方根误差、均方根偏差、均方误差、均方差
5、、单次测量标准差和理论标准差等 2。标准差的定义式为 1N Ni1xi- 21式中 xi 为一组样本变量从总体中抽取的一部分个体的集合。由于式 1 中含有的参数总体算术平均数 亦称数学期望或称真值和总体数 N 是不能进行实际计算的因此式 1 只有理论上的意义无法求出 而经常采用的方法是用样本参数来估计总体的参数即用样本标准差 s 的值作为总体标准差 的估计值。样本标准差的计算公式为 s1n-1ni1xi-x2 。2 式中:x 为样本算术平均数以下简称平均数 n 为观测样本数。s 反映了整个样本变量的分散程度。样本标准差小说明样本变量的分布比较密集在平均数附近否则表明样本的分布比较离散。当 n时
6、 s 趋向于 。在表达有随机误差的实验结果数据中我们常见到“平均数标准差”中的“标准差”实际上是指总体标准差的估计值 s 在以下的讨论中如无特别指明标准差均指样本标准差 s。 1.2 样本平均数的标准误及其估计 在抽样试验或重复的等精度测量中常用到样本平均数的标准差亦称样本平均数的标准误或简称标准误 standarderrorofmean3。因为样本标准差 s 不能直接反映样本平均数 x 与总体平均数 究竟误差多少所以平均数的误差实质上是样本平均数与总体平均数之间的相对误差 4。可推出样本平均数的标准误为 x1/n。3 与总体标准差 类似样本平均数的标准误 x 也无法求出只能估计。为了区别是用
7、样本标准差 s 的值来估计总体标准差 的值样本平均数的标准误 x 的估计值用 sx 表示也称平均数的标准偏差 5 即 sx1/ns。4sx 反映了样本平均数的离散程度。标准误越小说明样本平均数与总体平均数越接近否则表明样本平均数比较离散。当 n时 sx 趋向于 x。在表达有随机误差实验结果的数据中我们常见到“平均数标准误”中的“标准误”实际上是指样本平均数标准误的估计值 sx 在以下的讨论中如无特别指明标准误均指 sx。1.3 标准差与标准误的区别 标准差与标准误的意 2005 年 4 月第17 卷 第 2 期编 辑 学 报 ACTAEDITOLOGICAApr. 2005Vol.17 No.
8、2 义、作用和使用范围均不同。标准差亦称单数标准差 4 一般用 s 表示是表示个体间变异大小的指标反映了整个样本对样本平均数的离散程度是数据精密度的衡量指标而标准误一般用 sx 表示反映样本平均数对总体平均数的变异程度从而反映抽样误差的大小 6 是量度结果精密度的指标。随着样本数或测量次数 n 的增大标准差趋向某个稳定值即样本标准差 s 越接近总体标准差 而标准误则随着样本数或测量次数 n 的增大逐渐减小即样本平均数越接近总体平均数 故在实验中也经常采用适当增加样本数或测量次数 n 减小 sx 的方法来减小实验误差但样本数太大意义也不大。标准差是最常用的统计量一般用于表示一组样本变量的分散程度
9、标准误一般用于统计推断中主要包括假设检验和参数估计如样本平均数的假设检验、参数的区间估计与点估计等 3。标准差与标准误既有明显区别又密切相关:标准误是标准差的 1/n 二者都是衡量样本变量观测值随机性的指标只是从不同角度来反映误差二者在统计推断和误差分析中都有重要的应用7。2 标准差与标准误的表达现状 2.1 各种字母符号的表示 目前各期刊对“平均数标准差”和“平均数标准误”的符号表示在不区分大小写、正斜体等的情况下共有 30 种之多表 1 比较混乱有些表示也不确切。同一期刊对同一种误差的符号表示也有多种不同的形式基本上按照作者所写的给出没有再加工统一成标准的或约定俗成的符号表示。从表 1 可
10、以看出“平均数标准差”和“平均数标准误”基本上各形成 2 大类表示方式一类是用统计量的变量符号表示另一类是用统计量的英文词缩写表示。如 x、s、sx 分别是平均数、标准差、标准误的符号而 M、S.D.、S.E. 分别是平均数 mean、标准差 standarddeviation、标准误 standarderror 的英文缩写。一个统计学结果表达式中如果全用变量符号或全用中、英文名称表示都可但不能用变量符号与量名称中、英文名称相加减。此外作者利用中国期刊网进一步对主要的几种表示统计量及统计学结果列表示出者的符号的使用频率进行了统计均不区分大小写不区分 x 或 x 不区分正斜体及上下标结果如下:1
11、 对于“标准差”2003 年有 34984 篇文章用“s ”表示有 1448 篇用“SD”或S.D.而对于“平均数标准差”有 29792 篇文章用“xs”表示 763 篇用“xSD”或 xS.D.。表 1 平均数标准差、平均数标准误的常见符号表示 2003 年序号表示方式杂志名称卷期:页平均数标准差 1234567891011121314xsxsMeansMs 变量名sxSDxSDmeanSDmeanS.D.MSD 平均数SD 变量名SDmeanSEmeanSEM 暨南大学学报医学版现代农业右江民族医学院学报福建医药杂志沈阳药科大学学报上海水产大学学报中国野生植物资源植物遗传资源学报应用生态学
12、报中国农业科学色谱淡水渔业动物学报中国医学运动杂志244:3421:22254:497254:147204:300123:240226:5244:327147:10983612:1556213:298332:55492:174225:455 平均数标准误12345678910111213141516xsxxsxxsxxsxXSxmeanSxMsxxSExSEmeanSEmeanS.E.MSE 平均数SE 变量名SEmeanSDmeanSEM 中国危重病急救医学中国媒介生物学及控制杂志中国矫形外科杂志癌症中华医学丛刊食品科学华夏医学南京农业大学学报动物学研究植物营养与肥料学报水生生物学报生态学报
13、植物生理学通讯南京林业大学学报作物学报畜牧兽医学报1512:723142:891113:905223:31535:38247:122162:235264:128245:39393:382274:4352311:2495396:617276:61294:612346:6062 对于“ 标准误”2003 年有 120 篇文章用“sx”表示有 218 篇用“SE”或S.E.而对于 “平均数标准误”有91 篇用“xsx”表示 55 篇用“xSE”或 xS.E.。3 对于“平均数”绝大部分用“x”表示也有部分用“x” “mean”“M”“均值” “均数”等表示。GB335882统计学名词及符号的规定已对
14、一些常用统计学符号作了明确规定:统计学符号一般用斜体但有大小写之分如 n 样本大小、 x 样本的算术平均数、s 标准差、sx 标准误、xs 平均数标准差、xsx 平均数标准误等。因此正确的表示是:“平均数标准差”为“xs” “平均数标准误”为“xsx” 。而英文“MeanS.D.” “MeanS.E.”和用中文“平均数标准差” “平均数标准误”都属于用量名称表示除此之外均属于不正确的表示。2.2 多符号表示以及意义混淆的原因分析 由表 1 可见标准差与标准误的符号表示混乱甚至有些作者将标准差与标准误混淆造成这种情况的原因有多种。1 统计量的名称混乱。标准差、标准误、平均数等9 971199 第
15、 2 期郝拉娣等:标准差与标准误统计术语的名称多则十几个少也有几个另外还有简称非常混乱。如总体标准差的名称就有十几种而总体平均数也有几种如称为数学期望、真值等。2 同一种统计量的多符号表示。如有的用 代表总体平均数期望也有的用 x0 代表真值而真值也就是总体平均数只是使用场合不同而已样本标准差 s 也有用 表示的 8:因此免不了对 x、s、x、sx、 等常见符号所代表变量的意义不清楚。3 标准差、标准误差的称呼混乱。有的根据统计量的计算中是用误差还是用偏差把式 14 分别称为测量列的标准误差 、测量列的标准偏差 s、平均数的标准误差 x、平均数的标准偏差 sx 计算公式 5 也有的不分误差、偏
16、差统一简称为标准差将式 14 分别称为单次测量标准差、实验标准差、算术平均数标准差及其估计 9。4 各种数理统计参考书对统计量的称呼及字母表示不尽相同对一些基本统计量如误差、偏差、标准误差、标准差等基本概念没有统一详尽的解释。5 使用统计分析软件对实验数据作统计分析后所得各统计量均用英文或字母缩写表示。如平均数、标准差、标准误分别用 Mean、Std.Dev 或SD、S.E.Mean 表示 10 因此有很多作者也用英文名称的缩写作为变量符号但忽视了不能用变量符号与英文名称的缩写混在一起作表达式。6 有些作者使用变量符号很随意甚至误用而同一学科期刊的读者、编者互相参照不免以讹传讹。3 结束语 目
17、前对实验结果用计量数据表示是科技论文写作中的一大进步 11 但不少期刊对统计学结果的符号表达非常混乱有的仅有统计学数据文中却没有任何文字或符号解释也有的甚至将标准差与标准误混为一谈。为了避免这些问题可采取如下相应的措施。首先编辑应明确一些基本统计量的意义及特征对统计学结果表达式有一个准确的理解尤其对一些统计量的简称如统计学结果表达式“平均数标准差”和“平均数标准误”中的简称“标准差”和“标准误”实际上是指“样本标准差”和“平均数标准误”它们的英文表达为“meanS.D.”“meanS.E.”变量符号为 xs、xsx。第二可在稿约中约定一些常用统计学变量的符号表示尤其统计学数据表达式的意义及变量
18、符号。第三凡是包含有统计学方法的文章中均应当在“材料与方法”中给出所用的统计学方法并标明统计学数据的变量名称及符号表达式同时在列表图中也应当给出统计学数据的变量表达式及其样本数 n。4 参考文献 1 李谦.纵谈标准差 J.广东电力 2001142:76782 朱洪海.随机误差的标准差及其应用 J.机械设计与制造工程 2001306:34493 李春喜王志和王文林.生物统计学 M.北京:科学出版社2002:13404 邬实光.昆虫生态学的常用数学分析方法 M.北京:农业出版社1985:1075 张敏袁辉.关于标准差应用问题的讨论 J.郑州工业大学学报1996173:951006 刘钢.撰写医学期
19、刊稿件的统计学参考 J.白求恩医科大学学报20011:1081107 凌树森.试验数据的统计处理和误差分析 :第 6 讲误差分析续 J.理化检验:物理分册 2001379:4104148 凌树森.试验数据的统计处理和误差分析:第 3 讲参数估计和假设检验 J.理化检验:物理分册 2001373:1331379 李谦.试验数据的统计处理方法:总体均值和总体标准差的估计 J.西北电力技术20002:626410 卢纹岱朱一力沙捷等.SPSSforWindows 从入门到精通 M.北京:电子工业出版社 199811 孙长生何扬举.“xs”使用中应注意的问题 J.编辑学报2003152:9220040816 收稿 20041020 修回中文论著中外国人名内的圆点用哪一种问:在中文论著中外国人名内的圆点用中圆点还是下圆点答 :GB/T158341995标点符号用法明确指出:“外国人和某些少数民族人名内各部分的分界用间隔号标示。 ”这里的间隔号就是人们常说的中圆点。 例如:赫伯特99 乔治99 韦尔斯 赫9 9 乔99 韦尔斯 赫99G99 韦尔斯 H9 9G99 韦尔斯。 但也有人认为国家标准说“用间隔号”是针对人名全译成中文而言的如果名字采用外文缩写则应在缩写字母后采用下圆点。例如:赫99G. 韦尔斯 H.G.韦尔斯。全间隔号也好用下圆点也成重要的是全刊或全书用法应保持一致
