1、一、填空题1、物理规律反映同一类物理现象的共同规律，称为_普遍性（共性）_。2、若函数 f(x)是周期性的，则可展开为_傅里叶_级数。3、周期性函数 f(x)为奇函数，则可展为_正弦_傅里叶级数。4、在给定条件下求解数学物理方程，叫作_数学物理定解问题_。5、方程 称为_波动_方程20txua6、方程 称为_输运_方程t7、静电场的电场强度 是无旋的，可用数学表示为_P119_。E8、方程 称为_恒定电流_的连续性方程。0j9、第二类边界条件，就是_P127_。10、第一类边界条件，就是_P127_。11、 称为所研究物理量 的 _衔接条件_。00(,)(,)xxututu12、 称为所研究物
2、理量 的_衔接条件_。13、对于两个自变量的偏微分方程，可分为双曲型、_抛物型_和椭圆型。14、对于两个自变量的偏微分方程，可分为双曲型、抛物线型和_椭圆型_。15、分离变数过程中所引入的常数 不能为：负数或零甚至也不能是任意的的正数。16、方程中，特定的数值 叫作本征值，相应的解叫作_本征函数_。17、傅里叶级数法适用于_非齐次_方程和齐次边界条件的定解问题。18、分离变数法的关键是_把分离变数形式的试探解_代入微分方程。19、非齐次振动方程可采用_傅里叶级数_和冲量定理法求解。20、处理非齐次边界条件时，可利用叠加原理，把非齐次边界条件问题转化另一_未知函数_的齐次边界条件问题。21、处理
3、非齐次边界条件时，可利用叠加原理，把非齐次边界条件问题转化另一_未知函数_的齐次边界条件问题。22、对于边界是圆柱型的定解问题，常采用_柱坐标_系求解。23、对于边界是球型的定解问题，常采用_球坐标_系求解。24、方程 称为_L+1/2 阶的贝塞尔方程_。2221()0dRxxlR25、方程 称为_m 阶贝塞尔方程 _。22()m26、方程 ，其中 ，则其解可()(0yxpyxq0()xpqx是 和 的 常 点写成_P191_形式。27、连带勒让德函数的微分表达式为，_P243_。28、勒让德多项式的微分达式为_P225_。29、拉普拉斯方程在球形区域的定解问题，如果是非轴对称的，问题与_P2
4、53_有关，其解往往用一般的球函数表示。30、贝塞尔函数 ，当 时， _0_。()Jx0()vJx二、单选题1、已知函数 f(x)=x，定义在 (-,)，则其傅里叶级数在 x= 的数值 f()=_C_。 10ABCD、 、 、 、 不 存 在2、非周期函数 的傅里叶变换式是（ B ）()fx 02 1cos()()cos()()in in2cos()()cos()()infdAfdABfdCDfxAxd 3、下列方程中，属于输运方程的是（ B ）2200txtxAuaBuaCDE、 、 、4、下列方程中，属于稳定场方程的是（ C ）2200txtxAuaBuaCDE、 、 、5、方程 属于双曲
5、型类型，则有（ 112212xxyyxybcufB ） 2 2121200AaBaCDbc、 、 、6、方程 属于椭圆型类型，则有（ 112212xxyyxyuuufC ） 2 2121200AaBaDbc、 、 、7、边界条件属于第一类边界条件是（ A ）0000xxl lxtxl luuCD、 、 、8、边界条件属于第二类边界条件是（ C ）0000xxl lxtxl luuABCD、 、 、9、属于初始条件的表达式是（ B ）00(,)xtAuux、 、 、10、属于初始条件的表达式是（ B ）00(,)xtuBuxCD、 、 、11、方程 在 的解为（ B ）2(1)dRrrlR0r1
6、0()()l ll llARrCDBRrCr、 、 、12、方程 在 的解为（ C ）2(1)0drrlR0r10()()l ll llARCDBCrrRr、 、 、13、 ，其解为（ C ）0 2xxy在 邻 域 求 解 微 分 方 程 ：1 100010() ()ln()kk kkkkkAyabBaxCxAaxbDyb 、 、 （ ）、14、 ，其解为（ C ）0xxy在 邻 域 求 解 微 分 方 程 ：1 100010() ()ln()kk kkkkkAyaxbBaxCAaxbDyxb 、 、 （ ）、15、以勒让德多项式为基，在区间-1,1， 的展开式是（ A ）43()2fx012
7、34602341 5648()()()()575()48()()()()57561()APxPxPBxCxxDPPPx、16、以勒让德多项式为基，在区间-1,1， 的展开式是（ A 324f） 013260313444()()()5()()()57548APxPxBCxxDPP、17、 的值是（ B ）01()xdACD、 、 2、 、 218、 的值是（ D ）1()PxB、 、 、 1、 019、方程 称为（ B ）22()dRrrklR12ACl Dl、 欧 拉 方 程 、 贝 塞 尔 方 程、 阶 的 勒 让 德 方 程 、 （ ） 阶 球 贝 塞 尔 方 程20、方程 称为（ D ）
8、22()0dRrrklRABCl Dl、 欧 拉 方 程 、 贝 塞 尔 方 程、 阶 的 勒 让 德 方 程 、 阶 球 贝 塞 尔 方 程21、勒让德多项式中， 的数值为（ C ）2(0)nP21!()!01-()nAB、 、 、 、22、勒让德多项式的母函数为（ D ）/2 2220 2()!()!(1)!1coslk lk nl nkkxBxlCDrr、 、 、三、计算题1、把函数 展开为傅里叶级数。4()sinfx422 241cos11sini()cos()s()44(3cos) c8831()sincs(2)os(4)8xxxxf x解 ：所 以 有 ：2、在区间 上定义函数 ，
9、试根据边界条件 和 ，把函(0,)l()fx(0)f()0fl数 展开为傅里叶级数。fx1 101()()-,()sin22()()()sin(0)kl kkkkffxlxfxbldlxfx ll解 ； 由 边 界 条 件 可 知 ， 必 须 把 作 奇 延 拓 。 使 在 区 间 上 成 为 奇函 数 。 于 是 有其 中则 有3、在 的邻域上求解微分方程 （ 是常数） 。0x 2y2 20301202222301 23()(),+()n kkkypxqxaaayaxxxk 解 ： 对 于 方 程 ， 有 ， 所 以 ， 是 常 点 。微 分 方 程 的 解 可 设 为 ： 比 较 方 程
10、的 各 幂 的 系 数 ， 则 有 ：2224222 02221110(1)(1)(3()1,2()!(),()(!kk knnnnnnnaaakkkaaay 即 有 ：当 为 偶 数 时 ， 令 ， 则 : 当 为 奇 数 时 ， 令 ， 则 ：于 是 ， 微 分 方 程 的 解 为 ： （ 级 数 是 收 敛 的 ， 收 敛 半 径 为 ）24 234 21101 1()()()()!()cosin(1,23/kkkkxxxaxxka) 这 里4、在圆域 上求04uu， 边 界 条 件 。222 201 10(,) ()+()4(,)(,)ln(cosin)(cosin),),mmmmmv
11、xyvxyxyuwxyCDABCD 解 ： 设 。 则 有 ：设 ， 则 有 :。 将 其 在 极 坐 标 系 中 求 解 ， 解 的 形 式 为 ：由 于 ， 时 ，所 以 ： 122200120 ()cosin,(,)(,)()i(cosin)0mmmwuvwvCABu于 是 有 ：其 中 ： -由 边 界 条 件 得 ：比 较 各 三 角 函 数 的 系 数 ， 于 是 有 ： ，该 定 解 问 题 的 解 为 ：5、长为 的弦，两端固定。弦中张力为 T，在距一端为 的一点以力 F0 把弦拉l 0x开，然后突然撤除这力，求解弦的振动。解：泛定方程为： 20(1)txua边界条件、初始条件
12、为： 0 0(,),(),), (3)(),(,)4tutltFxxTlxlu令 ()1xXTt代 入 泛 定 方 程 （ ） ， 得 ：222+0(0)aXlX 于 是 方 程 （ ） 变 为 ：边 界 条 件 为 ：01(,)(cossin)inuxt atatxCDtDlll可 写 成 ：由初始条件可简为： 1(,)intuxtCll20002sinsinFFlxlClTlTl 解为： 00002 21 1(,)sicosinsincosinnlxFlxatxatxuxtlllTlll 6、利用分离变数法求解泛定方程的定解。其中 A 为常数。20()(,),sin(,0)()txtuax
13、lltAuxl1(,)(,)sinnuxtuxtTtl解 ： 根 据 边 界 条 件 ， 展 开 为 傅 里 叶 正 弦 级 数111coi(,)(ssin)isinsi00(1)(,)cosinnnnnnaatABllttxuxtlllxAllaBtxuxtAll而所 以 ， 解 为 ：由 初 始 条 件 得 ：所 以 ， ， ，7、用一层不导电的物质把半径为 的导体球壳分隔为两个半球壳，使半球壳各0r自充电到电势为 和 。试计算球壳内的电场分布。1v20 11012- +()(01)2r xyvzurvx解 ： 以 球 心 为 坐 标 原 点 ， 平 面 为 其 分 隔 层 ， 其 中 电
14、 势 为 的 球 壳 在 方 向 。对 于 球 壳 内 部 ， 有 ： 或 或10 0()ll muCrPx该 方 程 的 解 为 ： （ 属 于 对 称 ， ）0 1102(01)()lrl vxx 利 用 边 界 条 件 得 ：01112 21000()()()()l ll l ll lCvPxdvxvPxdvxr r所 以 ， 有 ： 01112 210002()()()()l l l l ll l进一步简化为： 11200()()ll llCvPxdr012120110 02221212120()()3344()!()1,2334()!()(nnnn nvdxrPvrCvrr ruvv
15、 210nn 8、均匀介质球，半径为 ，介电常数为 ，把介质球放在点电荷 的电场0r04q中，球心与点电荷相距为 ，求解这个静电场的电势。()d1210222(1)010120()(cos)()ll ll ruuurqvxdrxvBPuCrxu解 ： 以 介 质 球 的 球 心 为 原 点 ， 设 点 电 荷 放 在 北 极 位 置 ， 则 该 问 题 为 轴 对 称 问 题 。设 介 质 球 内 的 电 势 为 ， 球 外 电 势 为 ， 则 有 ：其 中同 样 ， 有 ， 该 方 程 的 解 为 ：球 内 电 势 的 解 为 ：在 介 质 球 表 面 ， 有 ： ，002 01220 ,(
16、)rll drqqrPxddrx 对 于 点 电 荷 产 生 的 电 势 ， 由 于 是 在 介 质 球 表 面 分 析 其 衔 接 问 题 ， 则 有 ：利 用 勒 让 德 的 生 成 函 数 ， 于 是 ， 有 ： (1)000111(2)0000(1)001()()+()l l lll ll lllllllllllCPBrxqrxPrPxdqBdCrr 代 入 边 界 条 件 ， 得 ：对 比 的 系 数 ， 得 ： (2)00(1)(1)001120121() 000001()()l lllll llllll llllll lrqBrdrBdqrqCrrdd得 ：则 有 ： (1)111110 2102 120 2()()()()()()lll l l llll l llll llqqd dqurPxPxdrdrx 所 求 电 势 为 ：
