1、曲面样条函数在地图数字化中的应用浅析张佰慧 1 杨明强 2 1、平顶山工业职业技术学院 2、平顶山工学院 河南 平顶山 467001摘要：本文通过对曲面样条函数在进行曲面拟合的分析，总结了实际应用中参数的选取对曲面拟合结果的影响程度，提出了实际应用的步骤。关键词：样条函数 地图数字化 应用浅析1.引言在 ARC/INFO 中，通常采用 TIC 点来建立地图坐标与地理坐标之间的联系，特别是发生旋转变形后的地图坐标，如图1 所示。 地 理 坐 标 (Y,X) 344564， 4569234 地 图 坐 标 (X,Y) 20， 10 地 图 坐 标 (X,Y) 17.5， 11.3 图1 用 TIC
2、 点实现地图坐标与地理坐标的转换示意图地图坐标与地理坐标之间的转换通常有两种实现方式：一是投影公式正算与反算，二是通过实际控制点集（TIC） 。通过投影公式正算与反算，其应用有很大的局限性，因为它需要知道地理坐标与地图坐标的解析变换关系，而这种解析关系是多样的也是复杂的，在此不做讨论。而通过实际控制点集是一种简易快速的坐标变换方法，它不需要源坐标和目的坐标的解析关系，只要知道有限的地物特征点（实际控制点）即可。由于曲面样条函数在 2.5 维空间表面拟合有优良的表现，通常把它用来实现地理坐标与地图坐标转换。地图精度校正，以及不同比例尺、不同投影系的地图综合处理等等，这些涉及到的坐标变换问题也可以
3、通过曲面样条函数来解决。因此，曲面样条函数在“坐标换算”中有着重要的应用。曲面样条函数具有诸多优点，就用于曲面样条函数拟合的原始数据点而言，它们不必按规则排列，只要提供不少于三个的任意点（控制点或采样点） ，就可以得到任意阶可微的光滑曲面。显然，这将有利于得到光滑的曲面，不至于因噪声（数字化误差等）的不均匀分布产生的局部畸变，同时可以通过参数控制实现灵活的方式进行曲面拟合，以满足实际需要。2.应用原理曲面样条函数可看成是无限大平板在多个受力点的作用下发生的弯曲变形。作为平板来讲，有其物理特性，如挠度等。在不同的物理特性情况下，即便是相同的受力情况，也会产生不同的曲面变形。因此，通过不同拟合参数
4、模拟其物理特性可灵活地实现满足不同要求的曲面拟合。例如在数字化地图校正中，一般要求以平差的方式对图形进行校正，此时可以假定曲面为一刚性平板。曲面样条函数的表达式为：（1）niiirFyaxyxW12210 )l(),( 式中， 待定系数),.,210iFa22()(iiir调节曲面曲率大小的经验参数，它视实际情况适当选取。一般地，需要曲面减少畸变、曲面平滑，应使 ，对于畸变较大的曲面甚至取 。210 6510待定系数 可以通过下列方程组求得：),.(,210niFa（2）niiiini jiijijjjjFyx nFcryxW11 1220 ),.2(,)l(式中， ， 是关于 点的弹性系数，
5、 ， 0。jjkDc/6jjjkjc（2）式的矩阵形式为：（3）BAX其中 01111 )ln()ln()ln( )ln(1l)l( )()ln(121 2,22 12, 2221 1211 nn nnyyyy xxxx yxCrrr rCCr yxrrA TaFX),.(2021nwB这是一个对称方程组，为保证解的稳定性，可用对称方程组的 HOUSEHOLDER 变换法求解。如上所述，曲面样条函数在进行曲面拟合时，有两个可以调控参数 和 。jc为拟合曲面曲率调节的经验参数，在地图校正的实际应用中，当 越大时，插值点的取值受最近的控制点（已知点）的影响越大，这样可以表示一些“细节信息” ，同时
6、由于不能过多考虑周围的控制点（已知点） ，直接的后果是容易导致畸变，如不相交的图形发生相交等；当 越小时，由于能够较好地考虑周围控制点（已知点）对插值的影响，曲面的变化率较低，比较平缓光滑，但同时消弱了“高频信息” 。以下是规则的格网在不同 参数下的坐标变换的比较，如图2。浅 色 十 字 为 控 制 点 变 换 之 后 格 网 变 换 之 前 格 网 深 色 为 30 浅 色 为 1.0 (a) 变换之前格网 (b) 变换之后格网图2 不同 参数下的曲面样条函数的坐标变换示意图是一个关于弹性系数的参数，根据 的不同取值，可以将曲面拟合分为三种应用方jc jc式：a.柔性拟合（如生成 DEM、建
7、立地理坐标与地图坐标联系等） ；b.弹性拟合（如光滑表面） ；b.刚性拟合（如数字化地图的校正） ，三种拟合方式的曲面的一些性质如表1：表1 不同拟合方式的比较表拟合方式 柔性拟合 弹性拟合 刚性拟合曲面形状 弯曲 弯曲 近似平面通过控制点 通过 不通过 不通过在实际应用中，当 0 时称为柔性拟合曲面，其特点是曲面通过控制点（已知点） ，jc为弯曲变形性最大的曲面，如图3（a） ；当 时称为刚性拟合曲面，其特点是曲面jc为一（近似）平面，曲面不通过控制点（已知点） ，实际控制点的值到该曲面的距离平方和一般为最小，类似如最小二乘法的结果，如图3（b） ；介于两者之间的称为弹性拟合曲面，其特点是不
8、通过控制点（已知点） ，曲面类似如在力的作用下发生弹性形变。柔 性 拟 合 曲 面 变 换 刚 性 拟 合 曲 面 变 换 (a) 柔性拟和曲面变换 （b）刚性拟和曲面变换图3 不同弹性系数的变换示意图3.应用步骤以下是以数字化地图校正为例，应用曲面样条函数的几个主要步骤：采集控制点（即地图坐标与地理坐标对） ，控制点可以是地理网格的交叉点（如经纬网、公里网）也可以是实测水准控制点。如地图坐标为（x1，y1） 、 （x2，y2）（xn，yn） ，（n3） ，依次对应地理坐标为（w1 ，v1） 、 （w2 ，v2） （wn，vn） 。以（xi，yi，wi）和（xi，yi，vi ） （i 1，2，
9、n）两组数据为基础，分别计算地理横坐标和地理纵坐标的拟合曲面系数，分别建立地理横、纵坐标的曲面样条函数：Ww（x，y）和 Wv（ x，y） 。在数字化地图中依次将图形坐标用地理横、纵坐标的曲面样条函数插值获得新坐标，如（x new，y new）（W w（x，y） ，W v（x，y） ） 。参考文献：1何援军.计算机图形学 北京 机械工业出版社 2006 ；2唐荣锡.现代图形技术 济南 山东科学技术出版社 2001。作者简介：张佰慧，女，1964 年出生，河南平顶山人，讲师，长期从事计算机程序设计和应用的实践与教学。电话：13938662920e-mail：地址：河南平顶山市水库路 3 号院平顶山工业职业技术学院计算机系
