1、1自相关函数与偏自相关函数上一节介绍了随机过程的几种模型。实际中单凭对时间序列的观察很难确定其属于哪一种模型，而自相关函数和偏自相关函数是分析随机过程和识别模型的有力工具。1、自相关函数定义在给出自相关函数定义之前先介绍自协方差函数概念。由第一节知随机过程 中的tx每一个元素 ，t = 1, 2, 都是随机变量。对于平稳的随机过程，其期望为常数，用 表x 示，即， ()tE1,2t随机过程的取值将以 为中心上下变动。平稳随机过程的方差也是一个常量，2()txVar1,t用来度量随机过程取值对其均值 的离散程度。2x相隔 k 期的两个随机变量 与 的协方差即滞后 k 期的自协方差，定义为：txt
2、k(,)()ktkttCovxE自协方差序列： ，k0,12称为随机过程 的自协方差函数。当 k = 0 时， 。tx 20()txVar自相关系数定义： (,)tkktCovxVar因为对于一个平稳过程有： 2()()ttkxr所以 ，当 k = 0 时，有 。220(,)tkkkxxov01以滞后期 k 为变量的自相关系数列 （ ）称为自相关函数。因为k,2，即 = ，自相关函数是零对称的，所以实际研究中只k(,)tktCovx(,)tovx给出自相关函数的正半部分即可。22、自回归过程的自相关函数（1）平稳 AR(1)过程的自相关函数AR(1) 过程： ， 1。1tttxu已知 （why
3、?） 。用 同乘上式两侧()0tEtkxtxk1tktkxu上式两侧同取期望： k1其中 （why?） （由于 xt = ut + 1 ut-1 + 12 ut-2 + ，所以 xt-k = ut-k + 1 ut-k-1 ()0tkEux+ 12 ut-k-2 +，而 ut 是白噪音与其 t - k 期及以前各项都不相关） 。两侧同除 0 得： 21110kkk因为 o = 1，所以有 （ ）k10对于平稳序列有 。所以当 1 为正时，自相关函数按指数衰减至零；当 1 为负时，自相关函数正负交错地指数衰减至零。见下图。因为对于经济时间序列， 1 一般为正，所以第一种情形常见。指数衰减至零的表
4、现形式说明随着时间间隔的加长，变量之间的关系变得越来越弱。-.2.0.2.4.6.846810214-.8-.4.0.42468102141 0 -1情形即非平稳和强非平稳过程的自相关函数如下图。3-4-3-2-1012342 4 6 8101214 -1.5-1.0-0.50.0.51.01.52 4 6 8101214 = 1.1（强非平稳过程） = 1（随机游走过程）（2）AR(p) 过程的自相关函数用 (k 同乘平稳的 p 阶自回归过程 tx 12tttpttxxxu的两侧，得： 12tktktkptktkx u对上式两侧分别求期望得： ，k 0 k12kp用 0 分别除上式的两侧得
5、Yule-Walker 方程：k = 1 k -1 + 2 k -2 + + p k -p ， k 0 令 ，其中 L 为 k 的滞后算子，这里121() ( )piiLLG, i = 1, 2, , p 是特征方程 的根。为保证随机过程的平稳性，要求 。1G ()01iG则：，也即 。 12piiiG 12kkkkpiii iG可证： （*）12kkkk pAA其中 Ai, i = 1, ，p 为待定常数。 （提示：可把（*）式代入到 Yule-Walker 方程中证明）由（*）式知道会遇到如下几种情形。 当 为实数时， （* ）式中的 将随着 k 的增加而几何衰减至零，称为指数衰iGkiA
6、G减。 当 和 表示一对共轭复数时，设 ， ， = R，则ij iabijabi2, 的极座标形式是：ij4(cosin)iGRj若 AR(p) 过程平稳，则 ，所以必有 R 2。2214、 ARMA (1, 1) 过程的自相关函数6ARMA (1, 1) 过程的自相关函数 k 从 1 开始指数衰减。 1 的大小取决于 1 和 1, 1 的符号取决于 (1 -1 )。若 1 0，指数衰减是平滑的，或正或负。若 1 1 时， 。所以ttu 0kAR(1)过程的偏自相关函数特征是在 k = 1 出现峰值（ 11 = 1）然后截尾。-0.86-.402.0.46.82468101214-0.86-.
7、402.0.46.8246810121411 0 11 2 时， 。偏自相关函数在滞后期0kk92 以后有截尾特性。对于 AR(p)过程，当 k p 时， ；当 k p 时， 。偏自相关函数在滞后期0k0kp 以后有截尾特性，因此可用此特征识别 AR(p)过程的阶数。对于 MA(1)过程 = + 1 ut-1，有 1/ (1+ 1 L) = ，txtxu(1- 1 L + 12 L2 - ) = ，t= 1 x t-1 - 12 x t-2 +13 x t-3 - +t t当 1 0 时，自回归系数的符号是正负交替的；当 1 0 1 ，则拒绝 H0。其中 表示检验水平；p，q 分别表示时间序列模型中自回归和移动平均滞后项的个数。实际检验中，K 取 15 左右即可。
