1、周 长 最 小 问 题基本解题方法： 1.如图，已知抛物线 y ax 24x c 经过点 A（0，6）和 B（3，9） （1）求抛物线的解析式；（2）写出抛物线的对称轴方程及顶点坐标；（3）点 P（ m， m） 与 点 Q 均 在 抛 物 线 上 （ 其 中 m 0） ， 且 这 两 点 关 于 抛 物 线 的 对 称 轴 对 称 ， 求 m 的 值及 点 Q 的坐标；（4）在满足（3）的情况下，在抛物线的对称轴上寻找一点 M，使得QMA 的周长最小OABxy-6-93解：（1）依题意有即 2 分 4 分抛物线的解析式为：y x 24x 6 5 分（2）把 y x 24x 6 配方，得 y (
2、x2) 210对称轴方程为 x 2 7 分顶点坐标（2，10） 10 分（3）由点 P（ m， m） 在抛物线上得 m m 24m 6 12 分即 m 25m 60m 16 或 m21（舍去） 13 分P （ 6， 6）点 P、Q 均在抛物线上，且关于对称轴 x 2 对称Q （ 2， 6） 15 分（4）连接 AP、A Q，直线 AP 与对称轴 x 2 相交于点 M由于 P、Q 两点关于对称轴对称，由轴对称性质可知，此时的交点 M 能够使得QMA的周长最小 17 分设直线 AP 的解析式为 y kxb则 直线 AP 的解析式为：y 2x6 18 分设点 M（2，n ）则有 n 226 2 19
3、 分此时点 M（2，2）能够使得 QMA 的周长最小 20 分2.如图，在平面直角坐标系中，直线 y x 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 C，抛物线3y ax 2 xc（a0）经过点 A、C，与 x 轴交于另一点 B3OABxy-6-93PQM（1）求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标；（2）若 P 是抛物线上一点，且ABP 为直角三角形，求点 P 的坐标；（3）在直线 AC 上是否存在点 Q，使得QBD 的周长最小，若存在，求出 Q 点的坐标；若不存在，请说明理由（1）直线 y x 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于 C3A（1，0） ，C（0， ）点 A，C 都在抛物线上 解得抛物
4、线的解析式为 y x 2 x ( x1) 2 顶点 D 的坐标为（1， ）333434（2）令 x 2 x 0，解得 x11，x 23 B （3，0）3AB 2( 13) 216，AC 21 2( )24，BC 23 2( )212AC 2BC 2AB 2，ABC 是直角三角形P 1（0， ）由抛物线的对称性可知 P2 的纵坐标为 ，代入抛物线的解析式求得：P 2（2， ）3（3）存在延长 BC 到点 B，使 BCBC，连接 BD 交直线 AC 于点 Q，则 Q 点就是所求的点过点 B 作 BHx 轴于 H在 Rt BOC 中， BC ，123BC2OCOBC30B H BBBC ，BH BH
5、6，OH31B （3， ）设直线 BD 的解析式为 y kxb，则：3解得 联立 解得 Q（ ， ）故在直线 AC 上存在点 Q，使得QBD 的7310周长最小，Q 点的坐标为（ ， ）7310yBOACDxyBOACDxBQH3.在平面直角坐标系中，矩形 OACB 的顶点 O 在坐标原点，顶点 A、B 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上，OA3，OB 4，D 为边 OB 的中点（）若 E 为边 OA 上的一个动点，当 CDE 的周长最小时，求点 E 的坐标；（）若 E、F 为边 OA 上的两个动点，且 EF2，当四边形 CDEF 的周长最小时，求点 E、F 的坐标O ABxyCDO ABxyC
6、DED （备用图）解：（）如图 1，作点 D 关于 x 轴的对称点 D，连接 CD 与 x 轴交于点 E，连接 DE若在边 OA 上任取点 E（与点 E 不重合） ，连接 CE、DE 、D E由 DECE DECE CD D ECE DE CE可知CDE 的周长最小在矩形 OACB 中，OA3， OB4，D 为边 OB 的中点BC3，D ODO2，D B6OEBC，RtD OERtD BC， COEBOE BC 31B6点 E 的坐标为（1，0） 6 分（）如图 2，作点 D 关于 x 轴的对称点 D，在 CB 边上截取 CG2，连接 DG 与 x 轴交于点 E，在 EA 上截取 EF2，则四
7、边形 GEFC 为平行四边形，得 GECF又 DC、EF 的长为定值，此时得到的点 E、F 使四边形 CDEF 的周长最小OEBC，RtD OERtD BG， BGOOE BG (BCCG) 1BO623OFOE EF 2317点 E 的坐标为（ ，0） ，点 F 的坐标为（ ，0） 10 分373.如图，抛物线 y ax 2bx4 与 x 轴的两个交点分别为 A（4，0） 、B（2，0） ，与 y 轴交于点C，顶点为 DE（1，2）为线段 BC 的中点，BC 的垂直平分线与 x 轴、y 轴分别交于 F、G（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点 D 的坐标；（2）在直线 EF 上求一点 H，使
8、CDH 的周长最小，并求出最小周长；（3）若点 K 在 x 轴上方的抛物线上运动，当 K 运动到什么位置时， EFK 的面积最大？并求出最大面积CBA OEF xyDGO ABxyCDED图 1EO ABxyCDED图 2FG解：（1）由题意，得 解得 a ，b 12抛物线的函数解析式为 y x 2x 4 ，顶点 D 的坐标为（1， ）294 分（2）设抛物线的对称轴与 x 轴交于点 M因为 EF 垂直平分 BC，即 C 关于直线 EG 的对称点为 B，连结 BD 交 EF 于一点，则这一点为所求点 H，使 DHCH 最小，即最小为：DHCHDHHBBD 2DB 13而 CD 22491)(
9、5CDH 的周长最小值为 CDDRCH 6 分2135设直线 BD 的解析式为 y k1xb 1，则 解得 k1 ，b 132直线 BD 的解析式为 y x32由于 BC ，CE BC ，Rt CEGRtCOB55得 CE : COCG : CB，CG ，GO ，G（0， ）223同理可求得直 EF 的解析式为 y x13联立 解得故使CDH 的周长最小的点 H 坐标为（ ， ）43815（3）设 K（t， t 2t4 ） ，x Ft x E过 K 作 x 轴的垂线交 EF 于 N1CBA OEF xyDG HCBA OEF xyDG HKN则 KNy K y N t 2t4( t ) t 2
10、 t113135S EFK S KFN S KNE KN(t3) + KN(1t) 2KN22t 23t5(t ) 2 10 分349当 t 时，EFK 的面积最大，最大面积为 ，此时 K（ ， ）429238514 分4.如图，在平面直角坐标系中放置一矩形 ABCO，其顶点为 A（0，1） 、B（ ，1） 、3C（ ，0） 、O（0，0） 将此矩形沿着过 E（ ，1） 、F（ ，0）的直线 EF 向右下方3 34翻折，B、C 的对应点分别为 B、C （1）求折痕所在直线 EF 的解析式；（2）一抛物线经过 B、E、B 三点，求此二次函数解析式；（3）能否在直线 EF 上求一点 P，使得 PB
11、C 周长最小？如能，求出点 P 的坐标；若不能，说明理由xyOBCEFA解：（1）由于折痕所在直线 EF 过 E（ ，1） 、F（ ，0）334tanEFO ，直线 EF 的倾斜角为 603直线 EF 的解析式为：y tan60x( )化简得：y x4 3 分（2）设矩形沿直线 EF 向右下方翻折后，B、C 的对应点为 B（x 1，y 1） ，C （x 2，y 2）过 B 作 BA AE 交 AE 所在直线于 A 点B EBE ，B EFBEF6032B EA60 ，A E ，B A3A 与 A 重合，B 在 y 轴上，x 10，y 12，即 B（0，2）【此时需说明 B（x 1，y 1）在
12、y 轴上】 6 分设二次函数的解析式为：y ax 2bx c抛物线经过 B（ ，1） 、E（ ，1） 、B （0，2）33 解得 234 cba该二次函数解析式为：y x 2 x 29 分314（3）能，可以在直线 EF 上找到 P 点，连接 BC 交 EF 于 P 点，再连接 BP由于 BPBP，此时点 P 与 C、B 在一条直线上，故 BPPCB PPC 的和最小由于为 BC 定长所以满足PBC 周长最小 10 分设直线 BC 的解析式为： y kxb则 解得bk 302293 kxyOBCEFAABCP直线 BC 的解析式为： y x 29312 分又点 P 为直线 BC 与直线 EF 的交点 解得43 29 xy10 38 yx点 P 的坐标为（ ， ） 14 分318
