1、【一些结论】：以下皆是向量1 若 P 是 ABC 的重心 PA+PB+PC=02 若 P 是 ABC 的垂心 PAPB=PBPC=PAPC(内积）3 若 P 是 ABC 的内心 aPA+bPB+cPC=0(abc 是三边）4 若 P 是ABC 的外心 |PA|=|PB|=|PC|（AP 就表示 AP 向量 |AP|就是它的模）5 AP=（ AB/|AB|+AC/|AC|),0,+) 则直线 AP 经过ABC 内心 6 AP=（AB/|AB|cosB+AC/|AC|cosC),0,+) 经过垂心7 AP=（AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC),0,+ ）或 AP=(AB+AC), 0
2、,+ ) 经过重心8.若 aOA=bOB+cOC,则 0 为A 的旁心, A 及B,C 的外角平分线的交点【以下是一些结论的有关证明】1.O 是三角形内心的充要条件是 aOA 向量+bOB 向量+cOC 向量=0向量充分性：已知 aOA 向量+bOB 向量+cOC 向量=0 向量，延长CO 交 AB 于 D，根据向量加法得：OA=OD+DA,OB=OD+DB,代入已知得：a(OD+DA)+b(OD+DB) +cOC=0,因为 OD 与 OC 共线，所以可设 OD=kOC,上式可化为(ka+kb+c) OC+( aDA+bDB)=0 向量,向量DA 与 DB 共线，向量 OC 与向量 DA、DB
3、 不共线，所以只能有：ka+kb+c=0，aDA+bDB=0 向量,由 aDA+bDB=0 向量可知：DA 与DB 的长度之比为 b/a,所以 CD 为ACB 的平分线，同理可证其它的两条也是角平分线。必要性：已知 O 是三角形内心,设 BO 与 AC 相交于 E，CO 与 AB 相交于 F，O 是内心b/a=AF/BF，c/a=AE/CE过 A 作 CO 的平行线，与 BO 的延长线相交于 N，过 A 作 BO 的平行线，与 CO 的延长线相交于 M，所以四边形 OMAN 是平行四边形根据平行四边形法则，得向量 OA=向量 OM+向量 ON=(OM/CO)*向量 CO+(ON/BO)*向量
4、BO=(AE/CE)*向量 CO+(AF/BF)*向量 BO=(c/a)*向量 CO+(b/a)*向量 BOa*向量 OA=b*向量 BO+c*向量 COa* 向量 OA+b*向量 OB+c*向量 OC=向量 02.已知ABC 为斜三角形,且O 是ABC 所在平面上的一个定点,动点 P 满足向量 OP=OA+入(AB/|AB| 2*sin2B)+AC/(|AC|2*sin2C), 求 P 点轨迹过三角形的垂心 OP=OA+入(AB/|AB|2*sin2B)+AC/(|AC| 2*sin2C),OP-OA=入(AB/|AB| 2*sin2B)+AC/(|AC|2*sin2C),AP=入(AB /
5、|AB|2*sin2B)+AC /(|AC|2*sin2C),APBC=入(ABBC /|AB|2*sin2B)+ACBC /(|AC|2*sin2C),APBC=入|AB|BC|cos(180 -B) / (|AB|2*sin2B) +|AC|BC| cosC/(|AC| 2*sin2C),APBC=入-|AB| |BC| cos B/ (|AB|2*2sinB cos B) +|AC|BC| cosC/(|AC|2*2sinC cosC),APBC=入-|BC|/ (|AB|*2sinB ) +|BC|/(|AC|*2sinC ),根据正弦定理得： |AB|/sinC=|AC|/ sinB
6、,所以 |AB|*sinB=|AC|*sinC-|BC|/ (|AB|*2sinB ) +|BC|/(|AC|*2sinC )=0，即 APBC=0，P 点轨迹过三角形的垂心3.OP=OA+(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC) OP-OA= (AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC)AP=(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC)AP 与 AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC 共线根据正弦定理：|AB|/sinC=|AC|/sinB,所以|AB|sinB=|AC|sinC,所以 AP 与 AB+AC 共线AB+AC 过 BC 中点 D，
7、所以 P 点的轨迹也过中点 D，点 P 过三角形重心。4.OP=OA+ (ABcosC/|AB|+ACcosB/|AC|)OP=OA+ (ABcosC/|AB|+ACcosB/|AC|)AP=(ABcosC/|AB|+ACcosB/|AC|)APBC=(ABBC cosC/|AB|+ACBC cosB/|AC|)=(|AB|BC|cos(180 -B)cosC/|AB|+|AC|BC| cosC cosB/|AC|=-|BC|cosBcosC+|BC| cosC cosB=0，所以向量 AP 与向量 BC 垂直， P 点的轨迹过垂心。5.OP=OA+(AB/|AB|+AC/|AC|) OP=OA+ (AB/|AB|+AC/|AC|) OP-OA =(AB/|AB|+AC/|AC|)AP=(AB/|AB|+AC/|AC|)AB/|AB|、AC/|AC|各为 AB、AC 方向上的单位长度向量，向量 AB 与 AC 的单位向量的和向量，因为是单位向量，模长都相等，构成菱形，向量 AB 与 AC的单位向量的和向量为菱形对角线，易知是角平分线，所以 P 点的轨迹经过内心
