1、直角三角形中成比例线段（二）一、教学目的和要求1. 使学生掌握直角三角形中成比例线段的性质。2. 使学生会解直角三角形中，已知两个条件（至少一边）的题。二、教学重点和难点掌握直角三角形中成比例线段的关系为难点，应用为重点。三、教学过程（一）复习、引入直角三角形有哪些性质？由学生回答再归纳。（1）两锐角互余（2）勾股定理（3）斜边中线等于斜边一半（4） 角所对的直角边等于斜边的一半0（5）斜边上高线分出的两个三角形与原三角形相似（6）根据面积关系，两直角边乘积等于斜边乘以斜边上的高。（二）新课今天我们进一步研究直角三角形中成比例线段的性质。我们知道 中， ， 于 D，这里可以得到三对相似三角形，
2、ABC90ABC分别写出它们对应边的比例式。 （见图 1）图 1CDABCADB,)3(2,)1(在上面提到的三对相似三角形中都有一条公共边，但它们不会是对应边，将含有公共边的比例式改写成等积式是(1)中：这三个关系式在以前的课本22)(中 B2)3(中上是以定理的形式出现，而现行的九年义务教育教材中此内容只是在例题中出现，考虑这个结论在以后“圆”中运用较多，而变成等积式后特点较突出对记忆有好处，建议老师仍将“射影定理”的名称及内容告诉学生，便于以后分析问题， （但注意不可直接使用）。这三个式子反映出一条线段是其余两条线段的比例中项，教师一定要将三条线段的位置关系分析清楚，只要明白是哪两个三角
3、形相似得来的，比例式自然就可写出。如图 2，CD 是 的斜边 AB 上的高，设 ，ABCRt hCDcABbaBC,，用 表示图中的关系。pDqA, qphcba、图 21. 勾股定理2222)3(1aphbqc2. 比例中项关系)()3(12qpcb3. 面积关系 ha4. 其它 2通过以上关系,我们可以分析出在 的六条线段 中知ABCRtqphcba、道任意两线段的长，可以求出其它线段的长。下面我们举出几种题型。例 1 如上图 CD 是 的斜边 AB 上的高。t（1）已知： hba求 ：,4,3解： ABCDA90512522cabh注意：求 要选择其它方法都比较麻烦，利用面积关系最简单。
4、（2）已知： c求 ：,3解：先求 利用勾股定理q)4259,49,(2542222 qpcqhphqbch或（3）已知： ab,3,求 ：分析：求 ，必先知 ； 与 有关，而 ，其中 是已知线段。hqcb、 qp解： )(2pb32)13(4321 ),( ),acpahqhq舍 去不 合 题 意 可 解只 要 含 有 一 个 未 知 数 就的 一 元 二 次 方 程得 到 关 于练习：条件如例 1（1）已知： )65,14(,60,5q求 ：（2）已知： .28.3hcpa求 ：（3）已知： )13,(,1,5pc求 ：（4）已知： 5,2,9,20bcqa求 ：请同学们充分讨论。目前解题
5、中可以直接使用射影定理，目的为了熟悉直角三角形中边的各种关系。例 2 已知： 中， 是直角，AD 是高， AB2AC，求证：5AD 2BCABC分析：求证中是研究 AD 与 BC 的关系，斜边 BC 与斜边上的高，AD 不会有比例关系，而 AD 与 DC，BD 有比例关系，且 BCCDDB，由于 ，所以可利用。12ACB来求 AD、BD、DC 间倍数关系。DDBAC图 3证明： 是直角，AD 是高BACBCADAD2551,2（三）小结直角三角形中的成比例线段很重要，在以后的学习中经常会遇到。其中要抓住两直角边、及斜边上的高是比例中项的情况（即 ） 。注意要使pcbqaph222,用这个关系时
6、，还要再利用相似三角形对应边成比例证明一下。因为它不是定理。由于直角三角形中的关系除了射影定理外，还有勾股定理，所以在求某一线段时，关系较多，方法并不唯一，请同学们认真分析题意。一般情况下，若勾股定理或射影定理都能使用时，往往利用射影定理，因为它的计算较勾股定理简单。（四）作业1. CD 是 的斜边 AB 上的高，设ABCRt， 。qADhCcABbaBC, p（1）已知： ；bhpc和求,4,29（2）已知： ；qa和求5（3）已知： ；和求,6,10（4）已知： 。bahp和求42. 已知： 中， 交 BC 于 D，且 AD 是 BD、DC 的比例中项。ABC求证： 是直角三角形。3. 中， ，AD 是高，且 BC5DC。90求证： 。225
