1、基于 Hopfield 神经网络的数字识别原理简介：Hopfield 网络是有反馈的全互联型网络，其形式如图 2 所示，N 为神经元的数目，V表示神经元的输入向量，U 表示输出向量， W 为神经元之间的权值。离散 Hopfield 网络中每个神经元的输出只能取“1”或“-1”两种状态，各神经元的状态可用向量 V 表示：V=v1， v2 ， vn。网络中各神经元彼此互相连接，即每个神经元将自己的输出通过连接权传给其它神经元，同时每个神经元接受其它神经元传来的信息。图 2 有反馈的全互联型网络Hopfield 网络的稳定性是由能量函数来描述的，即对网络的每个状态发生变化时，能量函数 E 随网络状态
2、变化而严格单调递减，这样 Hopfield 模型的稳定与能量函数 E 在状态空间的局部极小点将一一对应。设有 N 个神经元构成的 Hopfield 网络，其中第 i 个和第 j 个神经元节点状态分别记为vi 和 vj；w 是神经元 i 和 j 的连接权， 为神经元 i 的阈值。节点的能量可表示为：Ei=-( )viinijjvw则整个 Hopfield 网络整体能量函数定义为：E=- inijiniji v112设有 N 个神经元构成的 Hopfield 神经网络，第 i 个神经元在 t 时刻所接收的来自其它N-1 个神经元输入信号的总和记为 ui（t ） ，t+1 时刻第 i 个神经元的输出
3、值 vi（t+1）是符号函数作用于 ui（t）的某个阈值 时，该神经元将触发成兴奋状态。据此可知 Hopfield 网络的运行规则为：（1） 在网络中随机地选择一个神经元；（2） 求所选神经元 i（1 i N）的输入总和ui(t)= ；iinijjvw（3） 根据 ui(t)的值大小，更新神经元的状态if （u i(t)） 0then vi（ t+1）=1else vi（t+1 ）=0；（4） 神经元 i 以外的神经元 j 的状态不变化；（5） 转向（1） ，直到网络达到稳定。Hopfield 网络作为记忆的学习时，稳定状态是给定的，通过网络的学习求适合的权矩阵 W（对称阵） ，学习完成后以计
4、算的方式进行联想。对给定的 M 个模式，Hopfield 网络可按 Hebb 规则来进行学习。Mkjiij jiv1),(,0按上述规则求出权矩阵后，可认为网络已经将这 M 个模式存入到网络的连接权中。问题描述：设计一个 Hopfield 网络，使其具有联想记忆功能，能正确识别阿拉伯数字，当数字被噪声污染后仍可以正确地识别。程序流程：先设计好标准的数字点阵（本文采用 10*10 矩阵表示） ，根据这些标准的数字点阵创建并训练网络，使网络达到稳定状态，用带噪声的数字测试训练的网络。噪声有两种形式：一种是固定噪声；另一种是随机噪声，本文对两种噪声都做讨论。设计数字点阵（0-9 ）创建 Hopfie
5、ld 网络产生带噪声的数字点阵数字识别测试结果分析程序：%数字 0-9 的标准点阵zero=load(zero.txt);one=load(one.txt);two=load(two.txt);three=load(three.txt);four=load(four.txt);five=load(five.txt);six=load(six.txt);seven=load(seven.txt);eight=load(eight.txt);nine=load(nine.txt);%训练样本（目标向量）T=zero(:),one(:),two(:),three(:),four(:),five(:)
6、,six(:),seven(:),eight(:),nine(:);%输出数字 0-9figurefor ii=0:9,subplot(2,5,ii+1);imshow(reshape(T(:,ii+1),10,10);title( 当前数字： num2str(ii)end%数字带噪声数字点阵（固定法）noise_matrix=load(noise_matrix.txt);%数字带噪声数字点阵（随机法）%noise_matrix=zero;%for i=1:100% a=rand;% if a0.1% noise_matrix(i)=-zero(i);%end%endfiguresubplot
7、(2,3,1)imshow(noise_matrix);title(带噪声的样本);%关于 hopfield 网络的创建和仿真，参数形式参见 Matlab 的帮助net=newhop(T);%创建 hopfield 网络，根据标准样本开始训练学习No22=sim(net,1,5,noise_matrix(:);%仿真 5 次，只有一个样本 noise_matrixfor ii=1:5subplot(2,3,1+ii)imshow(reshape(No22ii,10,10);title(第 num2str(ii) 仿真结果)end实验结果：标准数字点阵仿仿仿仿仿 0 仿仿仿仿仿 1 仿仿仿仿仿
8、2 仿仿仿仿仿 3 仿仿仿仿仿 4仿仿仿仿仿 5 仿仿仿仿仿 6 仿仿仿仿仿 7 仿仿仿仿仿 8 仿仿仿仿仿 9随机噪声的数字识别：（以带随机噪声的 0 为例）仿仿仿仿仿仿 仿 1仿仿仿仿 仿 2仿仿仿仿仿 3仿仿仿仿 仿 4仿仿仿仿 仿 5仿仿仿仿固定噪声的数字识别：（以被污染的 2 为例）仿仿仿仿仿仿 仿 1仿仿仿仿 仿 2仿仿仿仿仿 3仿仿仿仿 仿 4仿仿仿仿 仿 5仿仿仿仿结果分析：本文对被污染的数字 0-9 都进行了实验，无论是带随机噪声还是固定噪声，训练过的Hopfield 网络在仿真 3 次后都能被识别出来。由于用来训练网络的各个样本并不是严格地正交，不符合 Hopfield 网络联想记忆的条件，当数字在噪声的污染下失真很严重时，Hopfield 网络识别会出现偏差。改进方法：当输入的训练样本不满足相互正交的条件时，可以在网络训练时，通过修改连接权值，使网络达到稳定状态，这样的话，Hopfield 网络可以训练样本不是相互正交时也可以达到稳定状态，训练后的网络可以很好地识别带噪声的数字。
