1、1一元微积分学数学（1） 函数一、 填空题：1 函数 y=arcsin 定义域是:92x3103xx2.设 y= (x)的定义域是 0，1，则复合函数 (sinx)的定义域是:f f.zkxk,23函数 的值域是 0y + .3y4函数 的反函数是: .)1,(1axaxy15函数 在区间 内是单调增加的.在区间 内是单调减2y,()0，少.6设 ，（xo）,则 = .21)(xxf)(xfx217设 ,则 = , = x .f )(f1f8函数 的反函数 y=xy4,21.6,log,12x.二选择题：1 在同一直角坐标系中，函数 与它的反函数说代表的曲线具有的性质是（D）(A) 关于 y
2、轴对称; (B) 关于 x 轴对称; (C)重合； (D) 关于直线 y=x 对称.2.下列几对函数中， 与 相同的是（C）.)(fg（A） 与 （B） 与2lg)(xflxf)(2)(xg（C） 与 （D） 与2)(x13已知的定义域为则的定义域是（C）（A）-a,3a (B) a,3a (C) a (D) -a4如果 ，那么 的表达式是（B）1)(xg)(1xf(A) x-1 (B)1-x (C) (D) 都不是2三设函数 是线性函数，已知 求此函数.)(xfy ,3)1(,0(ff解：设 f(x)=ax+b,则有 0+b=1, a+b=-3,解得 a= -4,b=1.四证明函数 在它的整
3、个定义域内是有界.1)(2xf证明：f(x)的定义域为 R.xx12因为 21,2xx所 以所以： 函数 在它的整个定义域内是有界1)(2f五试讨论函数 的奇偶性.x解： 21)(xf21x21x1x2x1x2)(xf3所以 偶函数.21)(xf一元微积分学题库（2） 数列的极限一判断题：1如果数列 以 A 为极限，那么在数列 增加或去掉有限项之后，说nunu形成的新数列 仍以阿 A 为极限 ( T )n2如果 ，则有 或 ( F )0limvu0limnu0linv3如果 ，且存在自然数 N，当 nN 时恒有 ，则必有 a0）成立.Mxy1cos所以当 x 时，这函数不是无穷大一元微积分学题
4、库（4） 极限的求法一 判断题：下列运算是否正确：(F)0)(lim.12xn(F).1)53(li53li. 44xx（F）0lim2lilim21(li. 222 nnnn二计算下列极限： 从 而时 ，当 ,0,m40 xxarctgx 从 而时 ，当 ,1,21li0tx )(.lim,li 00 Txarctgarctgxx 不 存 在所 以 5 xx234lim0解： xli20= 314li0xx= 21 )214(limnn解： 1= 2)(linn=2 )1(lim31xx解：设 ，则3)f31)(xxf因为 =0，21311 limli)(limxxf 所以 )(li1fx即
5、： )3x xlim0解： x1li0= )(1li0xx6= )1(lim0xx= li0x= 21 xarctglim解：因为 所以 arctgx 为有界函数.2t而 =0，x1li由有界函数与无穷小的乘积是无穷小知.=0arctgxlim )(x解： lix= xxx )()(lim= x)(li= xxlim= xxx 11li= 2 )1()(lim2nn xx解： 1= xxnn)1()()(li27= xnn1lim2=三已知 axfxaxf 存 在 ， 求且 )(lim,3,)(3解： = =0，lim03fxli03x= =3+a,)()(存在，即： =li3fx (li03
6、xfxaxfx3)(li03所以. .a一元微积分学题库（5）极限存在准则 两个重要极限 无穷小的比较一、 判断题：1 因为 时，tgxx,sinxx, 所以 （F ）0x 0limsinl330xxtg2 (T)2)1(lim)(li exxx 3 (F)1sinlisinsinxtgtgt 二、计算下列极限1. xx5i2l0解： = = =snm)52sini(l0xxsilm0x5sinl022. ctgx0li解： = = = =1x)cosi(li0xx )si(cli0xcosli0xil03. sin2c1l0解： = = = =2xxilm0xsinl20sinlm0xsin
7、l204. x1snli8解： = = =1.xx1sinlmsilx1sinlm05. kx)(li解： = = =x1)(likxkxx)1(lie6. x)(lim解： = = =xx1lix12)(lix)12(lim12)(lix= = .)2()2(lim1xxx 2e二、 证明：当 x 0 时，下列各对无穷小量是等价的1.arctg证明：设 A=arctgx,则 x=tgA, 当 时， .0xA= =1xt0limtA0li2.1-cosx 2证明： = = = =1.2cos1lim0x2)sin(l20xx 20)(sinlmxx20)(sinlx四、证明： )143(lin
8、n用两边夹法则：（解法一）设 F(n)= 021则 )43()nnF 22)(143n1(122 )(7529设 g(n)=0, h(n)= , 则 g(n)=0 0n2143因为 （n 为自然数），12所以有 F(n)0 即： )(1xx nx1所以 为单调有界数列，由极限存在准则 II 知 有极限.n ， 则有 ，Axnlim)2(limli21nnnxxA=2A- ，解得： A=1 或 A=0（舍去，因为 为递增数列且 .）2 n01x所以 linx一元微积分学题库（6） 函数的连续性一 判断题1 （ T ）21)(2.5*31(limnn2.设 在 点连续，则 （ T ）)xf0 lim(li00xffx3如果函数 在 上有定义，在 上连续，且 0，则在)(f,ba,ba)(*bfa内至少存在一点 ，使得 = 0 （ T ）),(ba)(f4若 连续，则 必连续. （ T ）xf)(xf5若函数 在 上连续且恒为正，则 在 上必连续. （ T ）)(f,ba)(1xf,ba6若 ,且 ，则在 的某一邻域内恒有 . （ F ）xflim0 00x0)(f7 是函数 的振荡间断点.1sin)(（ F ）二 填空题：1 ( )xsinl1
