1、复数专题及答案（一）1.【2015 高考新课标 2，理 2】若 为实数且 ，则 （ a(2)4aiia）A B C D101【答案】B【解析】由已知得 ，所以 ，解得 ，故选24()4ai20,4a0aB【考点定位】复数的运算【名师点睛】本题考查复数的运算，要利用复数相等列方程求解，属于基础题2.【2015 高考四川，理 2】设 i 是虚数单位，则复数 ( )32i（A）-i （B）- 3i （C）i. （D）3i【答案】C【解析】，选 C.32ii i【考点定位】复数的基本运算.【名师点睛】复数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题.一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算
2、即可.3.【2015 高考广东，理 2】若复数 ( 是虚数单位 )，则 （ 32zii z）A B C 32ii23iD【答案】 【解析】因为 ，所以 ，故选 32ziiz23iD【考点定位】复数的基本运算，共轭复数的概念【名师点睛】本题主要考查复数的乘法运算，共轭复数的概念和运算求解能力，属于容易题；复数的乘法运算应该是简单易解，但学生容易忘记和混淆共轭复数的概念， 的共轭复数为 zabizabi4.【2015 高考新课标 1，理 1】设复数 z 满足 = ，则|z|=( )1zi（A）1 （B） （C） （D）223【答案】A【解析】由 得， = = ，故|z|=1，故选 A.zi1i()
3、1ii【考点定位】本题主要考查复数的运算和复数的模等.【名师点睛】本题将方程思想与复数的运算和复数的模结合起来考查，试题设计思路新颖，本题解题思路为利用方程思想和复数的运算法则求出复数 z，再利用复数的模公式求出|z|,本题属于基础题，注意运算的准确性.5.【2015 高考北京，理 1】复数 （ ）i2A B C D12i112i12i【答案】A考点定位：本题考查复数运算，运用复数的乘法运算方法进行计算，注意.21i【名师点睛】本题考查复数的乘法运算，本题属于基础题，数的概念的扩充部分主要知识点有：复数的概念、分类，复数的几何意义、复数的运算，特别是复数的乘法与除法运算，运算时注意 ，注意运算
4、的准确性,近几年高考主要考21i查复数的乘法、除法，求复数的模、复数的虚部、复数在复平面内对应的点的位置等.6.【2015 高考湖北，理 1】 i为虚数单位， 的共轭复数为（ ）607iA i B C1 D 1【答案】A【解析】 ii3154607,所以 的共轭复数为 ，选 A . 607ii【考点定位】共轭复数.【名师点睛】复数中， i是虚数单位,2414243411()nnnnii iZ； ， ， ，7.【2015 高考山东，理 2】若复数 满足 ，其中 为虚数为单位，则 =（ z1iiz）（A） （B） （C） （D） 1i1ii 1i【答案】A【解析】因为 ，所以， ，所以， 故选：A
5、.1zi1zii1zi【考点定位】复数的概念与运算.【名师点睛】本题考查复数的概念和运算，采用复数的乘法和共轭复数的概念进行化简求解.本题属于基础题，注意运算的准确性.8.【2015 高考安徽，理 1】设 i 是虚数单位，则复数 在复平面内所对应的点21i位于（ ）（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限【答案】B【解析】由题意 ，其对应的点坐标为 ，位2(1)21iiii (1,)于第二象限，故选 B.【考点定位】1.复数的运算；2. 复数的几何意义.【名师点睛】复数的四则运算问题主要是要熟记各种运算法则，尤其是除法运算，要将复数分母实数化（分母乘以自己的共轭复数） ，
6、这也历年考查的重点；另外，复数 在复平面内一一对应的点为 .zabi(,)Zab9.【2015 高考重庆，理 11】设复数 a+bi（a，b R）的模为 ，则（a+bi） （a -3bi）=_.【答案】3【解析】由 得 ，即 ，所以3abi23ab23ab.2()i【考点定位】复数的运算.【名师点晴】复数的考查核心是代数形式的四则运算，即使是概念的考查也需要相应的运算支持本题首先根据复数模的定义得 ，复数相乘可根2abi据平方差公式求得 ()abi2()abi，也可根据共轭复数的性质得 2ab )i210.【2015 高考天津，理 9】 是虚数单位，若复数 是纯虚数，则实i 1ai数 的值为
7、.【答案】 2【解析】 是纯虚数，所以 ，即 .121iaai20a2a【考点定位】复数相关概念与复数的运算.【名师点睛】本题主要考查复数相关概念与复数的运算.先进行复数的乘法运算，再利用纯虚数的概念可求结果，是容易题.11.【2015 江苏高考，3】设复数 z 满足 （i 是虚数单位） ，则 z 的模为234_.【答案】 5【解析】 22|34|5|ziz【考点定位】复数的模【名师点晴】在处理复数相等的问题时，一般将问题中涉及的两个复数均化成一般形式，利用复数相等的充要条件“实部相等，虚部相等”进行求解.本题涉及复数的模，利用复数模的性质求解就比较简便：211222|.zzz， ，12.【2
8、015 高考湖南，理 1】已知 （ 为虚数单位） ，则复数 =（ 21iizz）A. B. C. D.1iiii【答案】D.【考点定位】复数的计算.【名师点睛】本题主要考查了复数的概念与基本运算，属于容易题，意在考查学生对复数代数形式四则运算的掌握情况，基本思路就是复数的除法运算按“分母实数化”原则，结合复数的乘法进行计算，而复数的乘法则是按多项式的乘法法则进行处理.13.【2015 高考上海，理 2】若复数 满足 ，其中 为虚数单位，则 z31ziiz【答案】 14i【解析】设 ，则(,)zabiR 13()14242abiiabzi且【考点定位】复数相等，共轭复数【名师点睛】研究复数问题一
9、般将其设为 形式，利用复数相等充(,)zbiR要条件：实部与实部，虚部与虚部分别对应相等，将复数相等问题转化为实数问题：解对应方程组问题.复数问题实数化转化过程中，需明确概念，如的共轭复数为 ，复数加法为实部与实部，虚部与(,)zabiR(,)zabiR虚部分别对应相加.【2015 高考上海，理 15】设 ， ，则“ 、 中至少有一个数是虚数”是1z2C1z2“ 是虚数”的（ ）12zA充分非必要条件 B必要非充分条件C充要条件 D既非充分又非必要条件【答案】B【解析】若 、 皆是实数，则 一定不是虚数，因此当 是虚数时，1z212z12z则“ 、 中至少有一个数是虚数 ”成立，即必要性成立；
10、当 、 中至少有一个数是虚数， 不一定是虚数，如 ，即充分性不成立，选 B.12z12zi【考点定位】复数概念，充要关系【名师点睛】形如 abi(a，bR) 的数叫复数，其中 a，b 分别是它的实部和虚部若 b0，则 ab i 为实数；若 b0，则 ab i 为虚数；若 a0 且 b0，则abi 为纯虚数判断概念必须从其定义出发，不可想当然.复数专题及答案（二）一、选择题1(2010全国 理)复数 ( )3 2i2 3iAi B iC12 13i D1213i答案 A解析 i.3 2i2 3i (3 2i)(2 3i)(2 3i)(2 3i) 6 9i 4i 6132(2010北京文 )在复平
11、面内，复数 65i，2 3i 对应的点分别为 A，B .若 C 为线段 AB 的中点，则点 C 对应的复数是( )A48i B8 2iC2 4i D4i答案 C解析 由题意知 A(6,5)，B(2,3)，AB 中点 C(x，y)，则 x 2，y 6 224，5 32点 C 对应的复数为 24i，故选 C.3若复数(m 23m4) (m 25m6)i 表示的点在虚轴上，则实数 m 的值是( )A1 B4C 1 和 4 D1 和 6答案 C解析 由 m23m40 得 m4 或1，故选 C.点评 复数 zabi( a、bR)对应点在虚轴上和 z 为纯虚数应加以区别虚轴上包括原点(参见教材 104 页
12、的定义)，切勿错误的以为虚轴不包括原点4(文 )已知复数 z ，则 i 在复平面内对应的点位于( )11 i z A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案 B解析 z ， ， i i.实数 ，虚部 ，对应点1 i2 z 12 i2 z 12 12 12 12在第二象限，故选 B.( 12，12)(理)复数 z 在复平面上对应的点在单位圆上，则复数 ( )z2 1zA是纯虚数 B是虚数但不是纯虚数C是实数 D只能是零答案 C解析 解法 1：z 的对应点 P 在单位圆上，可设 P(cos，sin)，zcosisin.则 z2 1z cos2 isin2 1cos isin 2cos2 2i
13、sincoscos isin2cos 为实数解法 2：设 zabi(a、bR)，z 的对应点在单位圆上，a 2b 21，(a bi)(abi)a 2b 2 1， z (abi)(abi)2aR.z2 1z 1z5(2010广州市 )复数(3i1)i 的共轭复数是( )A3i B 3iC3 i D3i答案 A解析 (3i1)i3i，其共轭复数为3i .6(2010湖南衡阳一中 )已知 x，yR，i 是虚数单位，且( x1)i y 2i ，则(1 i)xy 的值为( )A4 B4C 1 D1答案 A解析 由(x 1) iy2i 得，x2，y 2，所以(1i) xy (1i )4(2i)24，故选
14、A.7(文 )(2010吉林市质检 )复数 z13i，z 21i，则 zz 1z2 在复平面内对应的点位于( )A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案 D解析 z z 1z2(3i)(1i)42i，选 D.(理)现定义： eicosisin，其中 i 是虚数单位， e 为自然对数的底，R，且实数指数幂的运算性质对 ei都适用，若aC 50cos5 C52cos3sin2C 54cossin4，bC 51cos4sinC 53cos2sin3C 55sin5，那么复数 abi 等于( )Acos5 isin5 Bcos5isin5Csin5icos5 Dsin5icos5答案 A解析
15、abi C 50cos5iC 51cos4sini 2C52cos3sin2i 3C53cos2sin3i 4C54cossin4i5C55sin5(cos isin )5(e i)5e i(5)cos5isin5 ，选 A.8(文 )(2010安徽合肥市质检 )已知复数 a32i，b4xi(其中 i 为虚数单位)，若复数 R，则实数 x 的值为( )abA6 B6C. 83D83答案 C解析 ab 3 2i4 xi (3 2i)(4 xi)16 x2 iR， 0，x .12 2x16 x2 (8 3x16 x2) 8 3x16 x2 83(理)(2010山东邹平一中月考 )设 z1i(i 是
16、虚数单位)，则 z2 ( )2zA1i B 1iC1 i D1i答案 C解析 z 1i，z 22i， 1i，2z 21 iz 2 1i，选 C.2z9(2010山东聊城市模拟)在复平面内，复数 对应的点到直线 yx1 的21 i距离是( )A. 22B. 2C2 D2 2答案 A解析 1i 对应点为(1,1)，它到直线 xy10 距21 i 2(1 i)(1 i)(1 i)离 d ，故选 A.12 2210(文 )(2010山东临沂质检 )设复数 z 满足关系式 z| |2i，则 z 等于( )z A i 34B. i34C. i 34D i34答案 C解析 由 z2| |i 知 z 的虚部为
17、 1，设 zai (aR)，则由条件知z a2 ，a ，故选 C.a2 134(理)(2010马鞍山市质检)若复数 z (aR，i 是虚数单位)是纯虚数，则a i1 2i|a2i |等于( )A2 B2 2C4 D8答案 B解析 z i 是纯虚数，a i1 2i (a i)(1 2i)5 a 25 2a 15Error! ， a2，|a2i|22i|2 .2二、填空题11规定运算 ad bc，若 12i，设 i 为虚数单位，则复数|a bc d| | z i i 2|z_.答案 1i解析 由已知可得 2zi 22z112i ，z1i .|z i i 2|12(2010南京市调研 )若复数 z1
18、ai，z 21i(i 为虚数单位)，且 z1z2 为纯虚数，则实数 a 的值为_答案 1解析 因为 z1z2( ai)(1 i)a1(a1)i 为纯虚数，所以 a1.13(文 )若 a 是复数 z1 的实部，b 是复数 z2 (1i) 3 的虚部，则 ab 等1 i2 i于_答案 25解析 z 1 i，1 i2 i (1 i)(2 i)(2 i)(2 i) 15 35a .15又 z2(1i) 313i3i 2i 322i，b2.于是，ab .25(理)如果复数 (i 是虚数单位) 的实数与虚部互为相反数，那么实数 b 等于2 bi1 2i_答案 23解析 i，2 bi1 2i 2 bi1 2
19、i1 2i1 2i 2 2b5 b 45由复数的实数与虚数互为相反数得， ，2 2b5 b 45解得 b .2314(文 )若复数 zsini(1cos)是纯虚数，则 _.答案 (2k 1) ( kZ)解析 依题意， Error!，即Error!，所以 (2k 1) (k Z)点评 新课标教材把 复数这一章进行了精简，不再要求复数的三角形式以及复杂的几何形式和性质；对于复数的模的要求很低，了解概念就行主要考查复数的代数形式以及复数的四则运算，这是我们复习的重点，不要超过范围(理)(2010上海大同中学模考 )设 i 为虚数单位，复数 z(125i )(cosisin)，若 zR ，则 tan
20、的值为_ 答案 512解析 z (12cos 5sin )(12sin5cos )iR，12sin 5cos 0，tan .512三、解答题15(2010江苏通州市调研)已知复数 z (a 25a6)i(aR)a2 7a 6a 1试求实数 a 分别为什么值时，z 分别为：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数解析 (1)当 z 为实数时， Error!，a6，当 a6 时，z 为实数(2)当 z 为虚数时， Error!，a1 且 a6，故当 aR，a1 且 a6 时，z 为虚数(3)当 z 为纯虚数时，Error!a1，故 a1 时，z 为纯虚数16(2010上海徐汇区模拟)求满足 1 且 z R 的复数 z.|z 1z 1| 2z解析 设 zabi( a、bR)，由 1|z1|z 1|，|z 1z 1|由|( a 1)bi|(a1)bi|，(a 1)2b 2(a1) 2 b2，得 a0，zbi ，又由 bi R 得，2bib 0b ，z i.2b 2 2
