1、2019 届高三第二次模拟考试卷理 科 数 学 （ 二 ）注 意 事 项 ：1 答 题 前 ， 先 将 自 己 的 姓 名 、 准 考 证 号 填 写 在 试 题 卷 和 答 题 卡 上 ， 并 将 准 考 证 号 条 形 码粘 贴 在 答 题 卡 上 的 指 定 位 置 。2 选 择 题 的 作 答 ： 每 小 题 选 出 答 案 后 ， 用 2B 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑 ，写 在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。3 非 选 择 题 的 作 答 ： 用 签 字 笔 直 接 答 在 答 题 卡
2、 上 对 应 的 答 题 区 域 内 。 写 在 试 题 卷 、 草 稿纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。4 考 试 结 束 后 ， 请 将 本 试 题 卷 和 答 题 卡 一 并 上 交 。一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 12 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一 项 是 符合 题 目 要 求 的 12019乐山调研若 iab,R与 21i互为共轭复数，则 ab的值为（ ）A 2B 2C 3D 322019济南外国语已知集合 2Ax， 20xB，则 AB（ ）A 2xB 1C 1D 2x3201
3、9九江一模 2lncosxf的部分图像大致为（ ）A BC D42019榆林一模已知向量 a， b满足 1， 2b， 6a，则 ab（ ）A2 B 2C 3D 552019湘潭一模以双曲线 145xy的焦点为顶点，且渐近线互相垂直的双曲线的标准方程为（ ）A 21xyB219xyC2193xyD219xy62019武邑中学在 AC 中，角 ， B， 的对边分别为 a， b， c，若 a， 2b，45B，则角 （ ）A 30B 60C 30或 15D 60或 172019新乡调研某医院今年 1 月份至 6 月份中，每个月为感冒来就诊的人数如下表所示：（ ）上图是统计该院这 6 个月因感冒来就诊人
4、数总数的程序框图，则图中判断框、执行框依次应填（ ）A i； isaB 6i； isaC 6i； i D i； 12ia82019优创名校联考袋子中有四个小球，分别写有 “美、丽、中、国”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“国” 两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率利用电脑随机产生 0 到 3 之间取整数值的随机数，分别用 0，1，2，3 代表“中、国、美、丽”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下 18 组随机数：232 321 230 023 123 021 132 220 001231 130 133 231 031
5、320 122 103 233由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为（ ）A 19B 318C 29D 51892019成都一诊在各棱长均相等的四面体 AB中，已知 M是棱 A的中点，则异面直线此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 BM与 AC所成角的余弦值为（ ）A 23B 25C 36D 26102019长沙一模已知 1,P是函数 sin0,fxAx图象的一个最高点， B，C是与 P相邻的两个最低点设 ，若 3ta24，则 fx的图象对称中心可以是（ ）A 0,B 1,0C ,0D 5,02112019湖北联考已知偶函数 fx满足 2ffx，现给出下列命题：函数 fx是以
6、2 为周期的周期函数；函数 f是以 4 为周期的周期函数；函数 1fx为奇函数；函数 3fx为偶函数，则其中真命题的个数是（ ）A1 B2 C3 D4122019宜昌调研已知椭圆 ： 210xyab上存在 A、 B两点恰好关于直线 l：0xy对称，且直线 A与直线 l的交点的横坐标为 2，则椭圆 C的离心率为（ ）A 13B 3C D 12二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 4 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 20 分 132019泉州质检若函数 lnfxa的图象在点 1,f处的切线过点 2,，则a_142019湖北联考设 x， y满足约束条件2301xy，则 34zxy的最大值为
7、_152019镇江期末若 2cosin4， ,2，则 sin2_162019遵义联考已知三棱锥 SABC中， S面 ABC，且 6S， 4AB， 23C，30ABC，则该三棱锥的外接球的表面积为_三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 大 题 ， 共 70 分 ， 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 17 （12 分）2019潍坊期末 已知数列 na的前 项和为 nS，且 2， na， S成等差数列（1）求数列 na的通项公式；（2）数列 nb满足 2122logllogn naa，求数列的 1nb前 项和 nT18 （12 分）2019开封一模 大
8、学先修课程，是在高中开设的具有大学水平的课程，旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练，为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备某高中成功开设大学先修课程已有两年，共有 250 人参与学习先修课程，这两年学习先修课程的学生都参加了高校的自主招生考试（满分 100 分） ，结果如下表所示：分数 a9510a859a758a6075a60a人数 25 50 100 50 25参加自主招生获得通过的概率0.90.80.60.40.3（1）这两年学校共培养出优等生 150 人，根据下图等高条形图，填写相应列联表，并根据列联表检验能否在犯错的概率不超过 0.1的前提下认为学习先修课程与优等生
9、有关系？优等生 非优等生 总计学习大学先修课程 250没有学习大学先修课程总计 150（2）已知今年全校有 150 名学生报名学习大学选项课程，并都参加了高校的自主招生考试，以前两年参加大学先修课程学习成绩的频率作为今年参加大学先修课程学习成绩的概率（i）在今年参与大学先修课程学习的学生中任取一人，求他获得高校自主招生通过的概率；（ii）某班有 4 名学生参加了大学先修课程的学习，设获得高校自主招生通过的人数为 X，求 的分布列，试估计今年全校参加大学先修课程学习的学生获得高校自主招生通过的人数参考数据： 20PKk.150.10.50.250.10.502.72.763.841.46.357
10、.89参考公式： 2nadbcKd，其中 nabcd19 （12 分）2019湖北联考 如图，在四棱锥 PABCD中， P， ADBC ， ，且22PCBADC， 2A（1）证明： 平面 B；（2）在线段 上，是否存在一点 M，使得二面角 AC的大小为 60？如果存在，求PMD的值；如果不存在，请说明理由20 （12 分）2019河北联考 在直角坐标系 xOy中，直线 4yx与抛物线 2:0Cxpy交于A， B两点，且 OAB（1）求 C的方程；（2）试问：在 x轴的正半轴上是否存在一点 D，使得 AB 的外心在 C上？若存在，求 D的坐标；若不存在，请说明理由21 （12 分）2019泉州质
11、检 已知函数 2exaf（1）讨论 fx的单调性；（2）当 1时， 210afx，求 a的取值范围请 考 生 在 22、 23 两 题 中 任 选 一 题 作 答 ， 如 果 多 做 ， 则 按 所 做 的 第 一 题 记 分 22 （10 分） 【选修 4-4：坐标系与参数方程 】2019九江一模在直角坐标系 xOy中，曲线 1C的参数方程为 1cosinxy（ 为参数） ，以坐标原点 O为极点，以 x轴正半轴为极轴，建立极坐标系（ 0， ,2） ，点 A为曲线 1C上的动点，点 B在线段 A的延长线上，且满足 8AB，点 的轨迹为 2C（1）求 1C， 2的极坐标方程；（2）设点 的极坐标
12、为 ,2，求 C 面积的最小值23 （10 分） 【选修 4-5：不等式选讲 】2019湘潭一模设函数 1fxxa（1）当 a时，求关于 的不等式 3f的解集；（2）若 4fx在 0,2上恒成立，求 a的取值范围2019 届 高 三 第 二 次 模 拟 考 试 卷理 科 数 学 （ 二 ） 答 案一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 12 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一 项是 符 合 题 目 要 求 的 1 【答案】A【解析】 2ii iaba， 21ii，又 iab与 21i互为共轭复数， 0b， ，则 2ab故选 A2
13、【答案】C【解析】集合 2Ax， 2xB， 2x， 1或 ， 21AxB故选 C3 【答案】B【解析】 fxf，则函数 fx是偶函数，图象关于 y轴对称，排除 A，D ，lncosln10f，排除 C，故选 B4 【答案】A【解析】根据题意得， 22abab，又 22146ab， 1， 14， ab故选 A5 【答案】D【解析】由题可知，所求双曲线的顶点坐标为 3,0，又双曲线的渐近线互相垂直， 3ab，则该双曲线的方程为219xy故选 D6 【答案】A【解析】 1a， 2b， 45B，由正弦定理可得21siniaBAb， 12ab，由大边对大角可得 045A，解得 30A故选 A7 【答案】
14、C【解析】要计算 1 月份至 6 月份的 6 个月的因感冒来就诊的人数，该程序框图要算出 2saa 所得到的和，当 1i时， 1，没有算出 6 个月的人数之和，需要继续计算，因此 i变成 2，进入下一步；当 2i时，用前一个 s加上 2a，得 12sa，仍然没有算出 6 个月的人数之和而需要继续计算，因此 变成 3，进入下一步；i当 3i时，用前一个 s加上 3，得 123s，仍然没有算出 6 个月的人数之和而需要继续计算，因此 变成 4，进入下一步；i当 4i时，用前一个 s加上 4a，得 1234sa，仍然没有算出 6 个月的人数之和而需要继续计算，因此 变成 5，进入下一步；i当 5i时
15、，用前一个 s加上 5，得 1234sa，仍然没有算出 6 个月的人数之和而需要继续计算，因此 变成 6，进入下一步；i当 i时，用前一个 s加上 6a，得 12345sa，刚好算出 6 个月的人数之和，因此结束循环体，并输出最后的 s值，由以上的分析，可得图中判断框应填“ i”，执行框应填“ ia”故选 C8 【答案】C【解析】随机模拟产生 18 组随机数，由随机产生的随机数可知，恰好第三次就停止的有 021， ， 031， 共 4 个基本事件，根据古典概型概率公式可得，恰好第三次就停止的概率为 489，故选 C9 【答案】C【解析】设各棱长均相等的四面体 ABCD中棱长为 2，取 D中点
16、N，连结 M， BN， M是棱 AD的中点， MNAC ， BN是异面直线 B与 所成角（或所成角的补角） ，413， 1，223cos 6NBM，异面直线 与 AC所成角的余弦值为 ，故选 C10 【答案】D【解析】结合题意，绘图又132tan4BC， 6，周期 26T，解得 3， si， 23kk，令 0k，得到 6， sin6yx，令 3xm， Z，得对称中心 1,02m，令 1，得到对称中心坐标为 5,0，故选 D11 【答案】B【解析】偶函数 fx满足 20ffx，即有 fff，即为 2fxfx， 42ffxf，可得 f的最小正周期为 4，故错误；正确；由 2fxfx，可得 1fxf
17、x，又 1ff，即有 1ff，故 1fx为奇函数，故正确；由 3fxf，若 3fx为偶函数，即有 3ff，可得 ffx，即 6ffx，可得 6 为 fx的周期，这与 4 为最小正周期矛盾，故错误故选 B12 【答案】C【解析】由题意可得直线 AB与直线 l的交点 2,1P， 1ABK，设 1,Axy， 2,xy，则 124x， 12y， 、 B是椭圆 2ab上的点， 2xab，21xyab，得： 112110xxyy， 122y，212AByKxa， 2ab，2ca，故选 C二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 4 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 20 分 13 【答案】1【解析】函
18、数 lnfxa，可得 ln1fx， 1f，又 1fa，切线方程为 1y，切线经过 2,， 2a，解得 1故答案为 114 【答案】5【解析】作出 x， y满足约束条件2301xy，所示的平面区域，如图：作直线 340xy，然后把直线 L向可行域平移，结合图形可知，平移到点 A时 z最大，由 21可得 1,2A，此时 5z故答案为 515 【答案】 78【解析】由 2cosin4得 2sinsin4，即 4sini，又 i0，解得 1cos4， 27sin2cos 816 【答案】 5【解析】取 SB的中点 O，连结 A、 C， SA平面 BC， A平面 BC， ，可得 RtS 中，中线 12O
19、AS，由 4， 23， 30，可知 BC，又 SABC， 、 A是平面 SB内的相交直线， BC平面 SA，可得 BCS，因此 Rt 中，中线 12O， 是三棱锥 S的外接球心， tS 中， 4， 6S， 213，可得外接球半径 132rS，因此，外接球的表面积 25r，故答案为 52三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 大 题 ， 共 70 分 ， 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步骤 17 【答案】 （1） 2na；（2） 1【解析】 （1） ， n， S成等差数列， 2naS，当 n时， 12a， 1a，当 时， nS， 12nS，两式相减得 1
20、2a， 1na，数列 n是首项为 ，公比为 2的等比数列， 2a（2） 2122 1logllog12n nnbaa， 1nn， 1211112223nn nTbbn 18 【答案】 （1）见解析；（2）见解析【解析】 （1）列联表如下：优等生 非优等生 总计学习大学先修课程 50 200 250没有学习大学先修课 100 900 1000程总计 150 1100 1250由列联表可得 212509018.936.55k，因此在犯错误的概率不超过 .的前提下认为学习先修课程与优等生有关系（2） （i）由题意得所求概率为 25010253.9.8.6.40.2P（ii）设获得高校自主招生通过的人
21、数为 X，则 34,，4432C5kkPXk， 0，1，2 ，3，4 ， 的分布列为0 1 2 3 4P16259625165216581625估计今年全校参加大学先修课程的学生获得大学自主招生通过的人数为 30919 【答案】 （1）见证明；（2）见解析【解析】 （1）在底面 ABCD中， B ， ADC，且 22BADC， 2ABC， 2， ，又 P， ， 平面 P， 平面 P， 平面 PA，又 平面 ， AB， 2AC， 2， C，又 PB， ， 平面 ABD， 平面 ABCD， 平面 D（2）方法一：在线段 A上取点 N，使 2，则 MNP ，又由（1）得 PA平面 BCD， MN平面
22、 ABCD，又 C平面 ， ，作 O于 ，又 MNO， 平面 ， 平面 N， A平面 MNO，又 平面 ， AC，又 AC， N是二面角 MD的一个平面角，设 PxD，则 12xPx， 2ONAx，这样，二面角 MD的大小为 60，即 tantan3ONx，即 423PxD，满足要求的点 存在，且 42P方法二：取 BC的中点 E，则 A、 、 三条直线两两垂直可以分别以直线 、 D、 为 x、 y、 z轴建立空间直角坐标系，且由（1）知 0,2AP是平面 ACD的一个法向量，设 ,1MxD，则 12NxPx， 2ANDx， 0,2x， ,0，设 ,AQabc是平面 ACM的一个法向量，则 2
23、0AQMxbcCa， 2abxc，令 bx，则 2,x，它背向二面角，又平面 AD的法向量 0,P，它指向二面角，这样，二面角 MC的大小为 6，即 2221cos cos6022,QxP x ，即 423x，满足要求的点 M存在，且 423PD20 【答案】 （1） 24xy；（2）在 x轴的正半轴上存在一点 42,0D，使得 ABD 的外心在 C上【解析】 （1）联立24xpy，得 280xp，则 12xp， 128xp，从而 12212126y OAB， 1240Oxyxx ，即 1680p，解得 2p，故 C的方程为 y（2）设线段 的中点为 0,Nxy，由（1）知， 120x， 46
24、，则线段 AB的中垂线方程为 2yx，即 8yx联立248xy，得 2430x，解得 或 4，从而 ABC 的外心 P的坐标为 ,或 8,16假设存在点 ,0Dm，设 的坐标为 4,， 22114610xx， 2243PAN，则 24163DPm 0m， 若 的坐标为 8,16，则 22415AN，245DP，则 P的坐标不可能为 8,6故在 x轴的正半轴上存在一点 42,0D，使得 ABD 的外心在 C上21 【答案】 （1）见解析；（2） ,1【解析】解法一：（1） 1xxfeaea ，当 0a时， x,111,f0fx 极小值 f在 ,1上单调递减，在 1,单调递增当 0a时， 0fx的
25、根为 lnxa或 若 ln1，即 e，x,11,lnalln,af0 0fx 极大值 极小值 f在 ,1， ln,a上单调递增，在 1,lna上单调递减若 lna，即 e，0fx在 ,上恒成立， fx在 ,上单调递增，无减区间若 ln1a，即 1ea，x,lnalnaln,1a1,f0 0fx 极大值 极小值 f在 ,lna， 1,上单调递增，在 ln,1a上单调递减综上：当 0时， fx在 ,上单调递减，在 ,单调递增；当 1ea时， 在 ,lna， 1,上单调递增，在 ln,1a上单调递减；当 时， fx在 ,上单调递增，无减区间；当 1ea时， f在 ,1， ln,a上单调递增，在 1,
26、lna上单调递减（2） 0xa， e1x当 1时， 1e恒成立当 x时，xa令 e1xg， 2e1xg，设 2xh， e10x 在 1,x上恒成立，即 2xh在 ,上单调递增又 0， e1xg在 ,0上单调递减，在 0,上单调递增，则 mingx， a综上， a的取值范围为 ,1解法二：（1）同解法一；（2）令 2e1xagxfxa， ee1xxgaa ，当 0a时， 0，则 g在 ,上单调递增， 10egx，满足题意当 0a时，令 xha， 2e0xh，即 ex在 1,上单调递增又 1a， 10ha， e0xh在 ,上有唯一的解，记为 0x，01,x00,xgx0 极小值 0 000000m
27、ine1eee1xxxxxgxa0 0213e4x x，满足题意当 a时， ga，不满足题意综上， 的取值范围为 ,1请 考 生 在 22、 23 两 题 中 任 选 一 题 作 答 ， 如 果 多 做 ， 则 按 所 做 的 第 一 题 记 分 22 【答案】 （1） 1:cosC； 2co4:sC；（2）2【解析】 （1）曲线 1的参数方程为 1sinxy（ 为参数） ，曲线 1C的普通方程为 20x，曲线 1C的极坐标方程为 2cos，设点 B的极坐标为 ,，点 A的极坐标为 0,，则 O， 0， 02cos， ， 8A， 8， ， cos4， 2C的极坐标方程为 cos4（2）由题设知 2OC， 212coss4cosABCOACBASS ，当 0时， ABS 取得最小值为 223 【答案】 （1） 3,；（2） 13a【解析】 （1） ,12,1xfx， 3fx的解集为 3,（2） 0,2， 14xa，即 3xa，则 32ax， 13a
