1、1.1.1 导数,1.1.2 导数的运算,1.1.3 单变量函数的微分,1.1.4 积分,附录 1.1 微积分简介, 积分,例 物体作匀速直线运动，路程速度时间，即sv t 。在 v-t 图中，路程 s 为阴影的面积。,例 若物体作变速直线运动，速度vv(t ) , 可 以把 t 分成许多均等小段t ，只要t 充分小，每段时间中的速率近似看成是不变的，把各小 段时间内走过的路程相加，即近似为总路程， 曲折的梯形曲线下的面积即近似为总路程。,当 时 , 右 边的极限值就是所求总路程：,上式可用积分形式表达：,定积分的上、下限、被积函数、积分变量,即定积分形式。定积分的一般形式：,几何意义: 从
2、0 到 t 这段时间中v (t ) 曲线下的面积。,二、基本定理,如果被积函数 f (x) 是某一个函数 (x) 的导数， f (x) (x)，则在 xa 到 xb 区间内 f (x) 对 x 的定积分等于 (x) 在这区间内的增量。, (x) 称为原函数 积分是导数的逆运算,求,解,例,找 的原函数：因为 故:,三、不定积分,不定积分是不定出上、下限的积分，可写成,式中C 为常量，可根据具体问题所给的条件 定出此常量,已知曲线的切线斜率为,若曲线经过点 求此曲线方程 。,例,(1) 求曲线方程 ；,解,(1) 设曲线方程为 已知,故,不同的C 对应不同的曲线。,曲线经过点 把 代入 曲线方程
3、，,则曲线方程为:,四、基本积分公式,一、矢量定义,二、矢量的合成,附录 1.2 矢量,一、矢量定义, 物理量可以按其是否具有空间方向性来分类。, 矢量的大小 矢量的模, 模等于 1 的矢量 单位矢量, 需要以大小和方向表示的物理量 矢量，如：速度、加速度、力。, 只有大小而无方向的量 标量，如：温度、质量、体积。,用图表示矢量 用有向线段表示： 长度表示其大小，箭头表示其方向。,矢量平移时大小和方向不变。,二、矢量的合成,1. 三角形法则：,余弦定理 ,几何关系 ,若两个以上的矢量相加 所有的矢量首尾相连,2. 解析法,将矢量沿直角坐标轴分解，各分矢量叫分量 只需用带正号或负号的代数值表示
4、,三、矢量的标积(点乘),两矢量相乘得到一个标量 标积。其定义为：,投影,根据标积定义 推论：,(3) 若 两矢量垂直 ,(4) 直角坐标系的单位矢量 具有正交性,四、矢量的矢积(叉乘),两矢量相乘得到一个矢量 矢积。写成：,若 则,根据矢积定义 推论：, 规定：,若 则,五、矢量的导数,设矢量 为时间t 的函数，规定其对时间的导数为：,在直角坐标中， 为常矢量 ,一般情况下有以下性质：,六、矢量的积分,一般采用直角坐标分量式计算。, 矢量的线积分：,矢量的面积分,就是计算矢量通过曲面的通量N :,在正法线方向的分量,一、函数,有两个互相联系的变量 x 和y ，每当x 取了某一 数值后，按照一
5、定的规律就可以确定 y 的值，就 称 y 是 x 的函数，记作 yf（x）或 yy（x）， x 为自变量， y 叫因变量。,自由落体运动: 物体从离地面为 h0 高度处开始下落，则物体与地面的距离依赖于时间 t 的规律是：,1.1.1 导数,这里t 为自变量，h 为因变量，也可记为：,二、极限,当自变量 x 无限趋于某一数值 x0 ( 记作x x0 ) 时，函数 f (x) 的数值无限趋于某一确定的数值a ， 则 a 叫做 x x0 时函数 f (x) 的极限值，记作：,在三角函数中， 当 x 无限向正向增大时， arctan x 无限接近 ，用极限表示：,类似有：,三、导数,当自变量 x 由
6、一个数值 x0 变到另一个数值 x1 时，后者减去前者叫作该自变量的增量，记作 函数 xx1x0 .,增量可正可负，y 与自变量的增量 x 密切 相关，两者之比：,称增量比。,与此对应，因变量 y 的数值由 y0 f ( x0 ) 变到 y1 f ( x1 ) ，增量为：,存在，则该极限就称为函数 f ( x ) 在 x 点的导数，记为 ，f ( x ) 或 y 。,定义：如果极限,四、导数的意义,(1)导数是函数在一点(而不是一个区间里)的变化率，物理中的瞬时速度和瞬时加速度即导数的例子。,(2) 几何意义：函数的曲线上任意一点的切线的斜率，就是函数在这一点的导数值。,设函数 y f (x)
7、 ，在曲线上取一点A， A是曲线上另一点，割线AA 和 x 轴的夹角记为。当A点沿着曲线趋近于A时，割线AA趋近于某一极限位置 AT，显然，直线 AT 就是曲线在A点的切线，AT与 x 轴所成的夹角即为变角 的极限。,导数的几何意义, 曲线上横坐标为x0 的一点A处的切线斜率就 是函数 f ( x ) 在 x0 处的导数值 f ( x0 ) 。,一、基本函数的导数运算举例,1.1.2 导数的运算,求,解,求 及,解,当 时，,二、常用初等函数的导数公式,三、导数运算法则,以下设 u,v 为x 的函数，且导数 u,v 存在,(1) 和（差）的导数，由极限的加法法则：,(2) 积的导数：,(3)
8、商的导数：,(4) 复合函数的导数法则，设 yf (v )，v (x) 均有导数，则,或,求,解,例1,求,解,例2,求,解,例3,求双曲线 在任意点的切线斜率。,解,例4,切线斜率为 ，在方程中逐项对 x 求导,于是 ，此即曲线在坐标为( x , y ) 的点的切线斜率。,一、微分概念,定义：若 f (x) 在x 处有导数，则称 f (x) dx 为 f (x) 在 x 处的微分，记为dy f (x) dx 。,P，C 是曲线上两点，,1.1.3 单变量函数的微分,二、微分的几何意义,函数微分,自变量微分,导数 微商,根据微分定义，可直接由导数公式求微分，相应 地，微分运算法则与导数运算法则相同，如：,三、微分运算法则,(2),(1),函数在 x 处的微分 dy 就是曲线在 x 点的切线的纵坐标的增量。,(5) 若 ，则,(4),(3),四、微分在近似计算中的应用,当x 很小时，,当取 时，即有近似公式,或,改为,x 应限于较小的值，这样可得到一系列的近似公式：,例如,
