1、专训 三角形的三种重要线段的应用,三角形的角平分线、中线和高是三角形中三 种重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关 系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起到 了很大的作用，因此我们需要从不同的角度认识 这三种线段,1,应用,三角形的角平分线的应用,类型1,三角形角平分线定义的直接应用,1. (1)如图，在ABC中，D，E，F是边BC上的三点，且1234，以AE为角平分线的三角形有_； (2)如图，已知AE平分BAC，且 12415，计算 3的度数，并说明AE是DAF的角平分线,ABC和ADF,解：,(2)因为AE平分BAC，所以BAECAE. 又因为1215， 所以BAE12151530.
2、 所以CAEBAE30. 所以CAE4330. 又因为415，所以315. 所以2315. 所以AE是DAF的角平分线,2. 如图，在ABC中，BE， CD分别为其角平分线且 交于点O. (1)当A60时，求BOC的度数； (2)当A100时，求BOC的度数； (3)当A时，求BOC的度数,类型2,求三角形两内角平分线的夹角度数,解：,(1)因为A60， 所以ABCACB120. 因为BE，CD为ABC的角平分线， 所以EBC ABC，DCB ACB. 所以EBCDCB 12060. 所以BOC180(EBCDCB)18060120.,(2)因为A100， 所以ABCACB80. 因为BE，C
3、D为ABC的角平分线， 所以EBC ABC，DCB ACB. 所以EBCDCB 8040. 所以BOC180(EBCDCB)18040140.,(3)因为A， 所以ABCACB180. 因为BE，CD为ABC的角平分线， 所以EBC ABC，DCB ACB. 所以EBCDCB90 . 所以BOC180(EBCDCB) 180 90 .,第(1)(2)问很容易解决，第(3)问就是类比前面解决问题的方法用含的式子表示,2,应用,三角形的中线的应用,类型1,求与中线相关线段长的问题,3. 如图，已知AE是ABC的中线，EC4，DE2，则BD的长为( ) A2 B3 C4 D6,A,4. 如图，已知B
4、ECE，ED为EBC的中线，BD8，AEC的周长为24，则ABC的周长为( ) A40 B46 C50 D56,A,因为AEC的周长为24，所以AECEAC24. 又因为BECE， 所以AEBEACABAC24. 又因为ED为EBC的中线， 所以BC2BD2816. 所以ABC的周长为ABACBC241640. 故选A.,6. 如图，在ABC中，D为BC上一点，E，F分别为AD，BE的中点，且SABC8 cm2，则图中阴影部分的面积是_,类型2,求与中线相关的面积问题,2 cm2,3,应用,三角形的高的应用,8. 如图，已知ABBD于点B，ACCD于点C，AC与BD交于点E.ADE的边DE上的
5、高为_，边AE上的高为_,AB,类型1,找三角形的高,DC,9.【动手操作题】画出图中ABC的三条高(要标明字母，不写画法),类型2,作三角形的高,解：,如图,10. 如图，在ABC中，BC4，AC5，若BC边上的高AD4.求： (1)ABC的面积及AC边上的高BE的长； (2)ADBE的值,类型3,求与高相关线段的问题,解：,(1)SABC BCAD 448. 因为SABC ACBE 5BE8， 所以BE . (2)ADBE4 .,11. 如图，在ABC中，ABAC，D为BC边上一点，DEAB，DFAC，BGAC，垂足分别为点E，F，G. 试说明：DEDFBG.,类型4,证与高相关线段和的问
6、题,解：,如图，连接AD， 因为SABCSABDSADC， 所以 ACBG ABDE ACDF. 又因为ABAC，所以BGDEDF.,“等面积法”是数学中很重要的方法，而在涉及垂直的线段的关系时，常将线段的关系转化为面积的关系来解决,思考题 1.在等腰三角形ABC中，ABAC，一腰上的中线BD将这个三角形的周长分成15 cm和6 cm两部分，求这个等腰三角形的三边长,2. 如图，ABC的面积为16，点D是BC边上一点，且BD BC，点G是AB边上一点，点H在ABC内部，BDGH，且BDGH.则图中阴影部分的面积是( ) A3 B4 C5 D6,B,1解：,设ADCDx cm， 则AB2x cm，BC(1564x)cm. 依题意，有ABAD15 cm或ABAD6 cm， 则有2xx15或2xx6， 解得x5或x2. 当x5时，三边长为10 cm，10 cm，1 cm； 当x2时，三边长为4 cm，4 cm，13 cm， 而4413，故不能组成三角形 所以这个等腰三角形的三边长为10 cm，10 cm，1 cm.,2.设ABC的边BC上的高为h，AGH的边GH上的高为h1，CGH的边GH上的高为h2，则有hh1h2.SABC BCh16，S阴影SAGHSCGH GHh1 GHh2 GH(h1h2)GHh. GHBD BC.S阴影 4.故选B.,
