1、同济大学数学系 2009-3-22,工科研究生数学 -矩阵论 第 4 章 内积空间,吴 群,同济大学数学系,,4.1 实内积空间,定义.设V 是一个实线性空间，R为实数域，,2,若a, b V, 存在唯一的 rR与之对应，,记作(a, b ) = r, 并且满足,(1) (a, b ) = (b, a ),(2) (a +b, g ) = (a, g ) + (b, g ),(3) (ka, b ) = k(a, b ),(4) (a, a )0, (a, a ) = 0 a = 0,则称 (a, b ) 为a 与b 的内积，V 为实内积空间。,实内积空间也称欧几里得(Euclid)空间。,对
2、称性,非负性,3,定义内积,例. 线性空间,称为内积空间 的标准内积。,4,定义内积,A为 n 阶实正定矩阵，,例. 线性空间,5,定义内积,例. 线性空间Ca, b，f , gCa, b,6,由定义知,(5) (a , b +g ) = (a, b ) + (a, g ),(6) (a, kb ) = k(a, b ),向量长度, Cauchy-Schwarz不等式,定义. 设V 为实内积空间，称 为向量a 的长度，,记作 |a |。,定理. 设V 是实内积空间，a , b V , k R ，则,等号成立当且仅当a , b 线性相关；,Cauchy-Schwarz 不等式,三角不等式,正定性
3、,齐次性,8,例：利用Cauchy-Schwaz不等式证明,向量的夹角,由Cauchy-Schwaz不等式可知,向量的正交,定义. 设V 是实内积空间，a , b V ,若 (a , b ) = 0 , 则称 a 与b 正交，记作 a b 。,a 与b 正交,这就是实内积空间中的勾股定理。,11,向量a 与b 在该基下的坐标为,12,度量矩阵,矩阵 A 称为基的度量矩阵。,即 A 为实对称矩阵。,即 A 为实正定矩阵。,定理：设内积空间V 的两个基是：,它们的度量矩阵分别为A与B，则A与B是合同的，,即存在可逆矩阵P ，使得,其中可逆矩阵P 是由前组基到后组基的过渡矩阵。,4.2 标准正交基,
4、若它们两两正交，则称其为一个正交向量组。,定理：正交向量组必是线性无关的。,16,且其中每个向量的长度都是 1，,注意：(1) 标准正交基的度量矩阵是单位矩阵，即,(2) 向量在标准正交基下的坐标是该向量在对应的,基向量上的正投影，即,Gram-Schmidt 正交化过程,Gram-Schmidt 正交化过程：,Gram-Schmidt 正交化过程 图解,19,令,记,或,注意到K是可逆矩阵，因此,由归纳法假设可知,矩阵A的QR分解,推论1：n 维实内积空间V 必存在标准正交基。,推论2：n 维实内积空间V 中任一正交向量组都可扩充成,V 的一个正交基。,推论3: 设A为可逆阵，则存在正交阵Q
5、和可逆上三角阵R,使得 A = QR ，称为矩阵A的QR分解。,24,设A为 n 阶可逆阵，则利用Gram-Schmidt正交化过程，,25,26,例: 求矩阵A的QR分解，,4.3 正交子空间,定义: 设W, U是实内积空间V 的子空间，,(1) a V , 若b W, 都有(a, b ) = 0,则称a 与W 正交，记作a W ;,(2) 若a W, b U, 都有(a, b ) = 0,则称W 与U 正交，记作W U ;,(3) 若W U，并且W + U = V,则称U 为W 的正交补。,注意：若W U，则 W与U 的和必是直和。,正交补的存在唯一性,定理: 设W 是实内积空间V 的子空
6、间，则W 的正交补,存在且唯一，记该正交补为 ，并且,向量的正投影,定义: 设W 是实内积空间V 的子空间，,则称向量b 为向量a 在W上的正投影，,称向量长度|g |为向量a 到W 的距离。,垂线最短定理,定理: 设W 是实内积空间V 的子空间，aV , b 为a 在W,上的正投影，则 dW, 有,并且等号成立当且仅当 b = d。,4.4 正交变换,定义: 设T 是实内积空间V 的线性变换，若aV 有,则称T 为V 的正交变换。,正交变换的特征刻画,定理: 设T 是实内积空间V 的线性变换，a, b V ，,则下列命题等价，,33,推论：(1) 两个正交变换的积仍是正交变换；,(2) 正交
7、变换的逆变换仍是正交变换。,Householder 变换,构造 的正交变换,讨论正交变换H 的几何意义。,故H(a)是a关于子空间的反射，,矩阵H 称为Householder矩阵，,变换H 称为Householder变换，,变换H 也称初等反射变换。,36,求一个初等反射变换H，使H(a)=b。,只需求一个w 使得b 是a 关于子空间 的反射，,于是w 与a - b 平行，故可取,4.5 复内积空间,定义.设V 是一个复线性空间，C 为复数域，,37,若a, b V, 存在唯一的 cC与之对应，,记作(a, b ) = c, 并且满足,(2) (a +b, g ) = (a, g ) + (b
8、, g ),(3) (ka, b ) = k(a, b ),(4) (a, a )0, (a, a ) = 0 a = 0,则称 (a, b ) 为a 与b 的内积，V 为复内积空间。,复内积空间也称酉空间。,对称性,非负性,38,定义内积,例. 线性空间,称为复内积空间 的标准内积。,39,在复内积空间中还有,(5) (a , b +g ) = (a, b ) + (a, g ),(8) Cauchy-Schwaz不等式,且 (a , b ) = 0 a 与b 正交,(10) Schmidt正交化过程把线性无关的向量组变成正交组,40,向量a 与b 在该基下的坐标为,41,度量矩阵,矩阵 A
9、 称为基的度量矩阵。,，即 A 为复正定矩阵。,，则称 A 为Hermite矩阵。,，即A 为Hermite矩阵。,称 A 为复正定矩阵。,设T 是复内积空间V 的线性变换，若aV 有,则称T 为V 的酉变换。,定理: 设T 是复内积空间V 的线性变换，a, b V ，,则下列命题等价，,4.6 正规矩阵,例如，对角阵，酉矩阵，Hermite阵都是正规阵。,定义2：设 A, B是复方阵，若存在酉矩阵U，使,则称A与B酉相似。,定理1：任意复方阵必与上三角阵酉相似。,对复方阵的阶数用归纳法。,引理1：正规的三角阵必是对角阵。,定理2：复方阵A与对角阵酉相似的充分必要条件是,A是正规阵。,推论：实对称阵必与对角阵相似的。,
