1、KdV 方程的近似行波解数学与应用数学专业 学生：王芳 指导教师：高正晖摘 要：本文利用傅里叶级数法,吴消元法获得了 KdV 方程的多组近似行波解 .关键词：KdV 方程;傅里叶级数法 ;吴消元法;近似行波解1 引言随着应用科学的发展,使得描述实际现象的非线性偏微分方程越来越突现其重要性.最早用于描述浅水波现象的 KdV 方程.0xbat在经过长时间沉寂后,随着孤波理论的发展,方程本身和解的意义被人们重新认识,吸引了科学家的研究兴趣.人们发现各种不同形式的 KdV 方程可以描述很多领域中的不同现象.如: 弱非线性,弱色散的平面波系统运动,等离子体中的磁流体波.而方程的近似解能使物理现象得到进一
2、步的解释.因此,对数学家、物理学家、工程学家及应用科学工作者来说,寻找对应实用背景方程的近似解一直是大家关注的问题.由于非线性方程问题的复杂性和特殊性,非线性方程没有统一的求解办法,因而出现求解非线性方程的各种方法,如直接积分法,混合指数法,齐次平衡法,双曲函数展开法及 Baclund 变换法等.所有这些方法都有一定的局限性.本文采用傅里叶级数法和吴文俊消元法,获得了非线性方程 KdV 的多组近似行波解.2 KdV 方程的求解方程可表示为：KdV. 06xt（1） 现在用傅里叶级数法来求解上述 方程，为了求解（1）式.令：KdVwtx),(（2） 将（2）式代入方程（1）可得常微分方程：. （
3、3）06 w对（3）式积分一次， d cw23取积分常数 ，得：0c. 032（4）由傅里叶级数法,设方程（4）有如下形式的行波解. nbaAnsico)(1（5） 2.1 当 时：1n. sico)(11ba（6） 其中 为待定系数.1,baA将（6）式代入（4）式 即： )sinco()cossini2sinco2 2(3)co(3 1112111 baabAba Aawico63i in6()(12121abwA0（7） 令(7)式中的常数项以及各次项的系数为零，得到如下方程组： 0630121 12babbAwAaw解得： ;,111 kk .3wAba其中 为任意常数.1,k于是方程
4、（4）有如下形式的解： ;sinco)(k .12.2 当 时：2n2sincosinco)( 211 babaA（8） 其中 为待定系数.21,baA将（8）式代入（4）式即：2sin)6(2cos)6( sin)6(co33222 1111 bAwaAwa bAwa si3cs3sinco3 icini 222121 111b0（9） 令（9）中的常数项及各次项的系数为零，得到如下方程组： （10 03666 06643 21212121 212112211 22 bababba abaAwA） 利用吴消元法解上述关于 的方程组得：,21Aw ;2)7(035,34,)47(,02 211
5、 kkbaba ;2)71(035,34,)47(,02 21 kwkb kabaA ;2)71(035,)437(,02 211 kkbaba ;2)71(035,)437(,02 11 kwkbakbaA ;3,)347(,)47(,6)87(521 12Awkbakb kaA ;3,)347(,)47(,6)8(521 1kbakb k ;3,)437(,)47(,68521 1Awkbkab kaA .3,)437(,)47(,68)53(21 12kbkab ka其中 为任意常数.k于是方程（4）有如下形式的解： ;2sincosin)347(cos)347() kkk ;ii)()
6、() ;2sin)347(2cossinco)347() kkk ;i)(i)() ;6)87()53(2sincosin34cos42kk k ;6)87()53(2sincosin)34(cos42kk k ;6)87()53(2sin)347(2cossinco42kk k .6)87()53(2sin)347(2cossinco42kk k 3 结束语本文以 KdV 方程为例,介绍了用傅里叶级数法和吴消元法求解近似行波解的方法,从而揭示了求解非线性发展方程精确行波解理论与技巧.参考文献：1赵长海.KdV 方程的显示行解J. 海南师范大学学报（自然科学版），2010,23（3）:142-
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