1、4.2 方阵的特征值与特征向量,一、特征值与特征向量的概念 二、特征值与特征向量的求法 三、特征值与特征向量的性质,提示,定义设A是n阶矩阵 如果数和n维非零列向量x使成立Ax x 那么 数 称为方阵A的特征值 非零列向量x 称为方阵A的对应于特征值的特征向量,Axx AxEx (AE)x0 齐次方程(AE)x0有非零解|AE|0,一、特征值与特征向量的概念,注 (1) 特征向量x0, 特征值问题是针对方阵而言的.(2) 由Ax x 知, A作用非零向量 x 后x x,即 x 变为原来的 倍.,特征值的求法|AE|0的根，就是方阵A的特征值.,特征多项式与特征方程设A为n阶方阵 则称的n次多项
2、式f()|AE|为方阵A的特征多项式 称|AE|0为方阵A的特征方程,二、特征值与特征向量的求法,特征向量的求法齐次方程(AE)x0的非零解 x， 就是方阵A的对应于特征值的特征向量,提示,Axx(AE)x0 齐次方程(AE)x0有非零解|AE|0,特征值的求法|AE|0的根，就是方阵A的特征值.,特征值与特征向量的求解步骤设A为n阶方阵 (1) |AE|0 = A的特征值i .,二、特征值与特征向量的求法,特征向量的求法齐次方程(AE)x0的非零解 x， 就是方阵A的对应于特征值的特征向量,(2) (AiE)x0 = 非零解 x =pi 就是A的对应于特征值i的特征向量.,特征值的求法|AE
3、|0的根，就是方阵A的特征值.,二、特征值与特征向量的求法,特征向量的求法齐次方程(AE)x0的非零解 x， 就是方阵A的对应于特征值的特征向量,特征值的求法| E A|0的根，就是方阵A的特征值.,例2.1 求矩阵 的特征值和特征向量,解,A的特征多项式为,所以A的特征值为12 231,得基础解系p1(0 0 1)T,对于12 解方程(A2E)x0即,所以kp1(k0)是对应于12的全部特征向量,例2.1 求矩阵 的特征值和特征向量,解,A的特征多项式为,所以A的特征值为12 231,得基础解系p2(12 1)T,得基础解系p1(0 0 1)T,对于12 解方程(A2E)x0,所以k1 p1
4、(k1 0)是对应于12的全部特征向量,对于231 解方程(AE)x0,所以k2 p2(k2 0)是对应于231的全部特征向量,例2.2 求矩阵 的特征值和特征向量,解,A的特征多项式为,所以A的特征值为11 232,得基础解系,得基础解系p1(1 0 1)T,对于11 解方程(AE)x0,所以对应于11的全部特征向量为kp1(k0),对于232 解方程(A2E)x0,所以对应于232的全部特征向量为k2p2k3p3(k2,k3不同时为0),p2(0 1 1)T p3(1 0 4)T,性质2.1n阶矩阵A与它的转置矩阵AT 有相同的特征多项式， 自然有相同的特征值.,三、特征值与特征向量的性质
5、,性质2.2设n阶矩阵A(aij)的特征值为1 2 n 则(1)12 na11a22 ann (2)12 n|A|,证 |AT E|,= |A E|.,= | ( A E)T|,= |AT (E)T|,性质2.1设n阶矩阵A与它的转置矩阵AT 有相同的特征多项式， 自然有相同的特征值.证 |AT E|= |AT (E)T|= | ( A E)T|= |A E|.,三、特征值与特征向量的性质,性质2.2设n阶矩阵A(aij)的特征值为1 2 n 则(1)12 na11a22 ann (2)12 n|A|,注: A的所有特征值的和,称为A的迹,记作tr(A).,例2.3 方阵A是奇异矩阵方阵A至少
6、有一个特征值是0.,方阵A是可逆矩阵方阵A没有0 特征值.,0|A|,|A 0E |,性质2.1设n阶矩阵A与它的转置矩阵AT 有相同的特征多项式， 自然有相同的特征值.证 |AT E|= |AT (E)T|= | ( A E)T|= |A E|.,三、特征值与特征向量的性质,性质2.2设n阶矩阵A(aij)的特征值为1 2 n 则(1)12 na11a22 ann (2)12 n|A|,(2008,数学2） 设3阶矩阵A的特征值为 , 2 , 3, 若|2A|= 48，则 =_.,1,例2.4 设是方阵A的特征值 证明(1)2是A2的特征值 (2) k + l 是 k A+l E的特征值,
7、其中k ,l为实数 (3)若A可逆,则 1是 A1的特征值,证,因为是A的特征值,故有p0,使App,于是,(1)A2p,2p,(Ap),A(p),A(Ap),所以2是A2的特征值,且p是A2的对应于特征值2的特征向量,因为p0 知0,有pA1p,由App,(3)当A可逆时,(2) (k A+l E) p, k A p +l E p,所以k + l 是 k A+l E的特征值, 且p是k A+l E的对应于特征值k + l的特征向量, k p +l p, (k +l)p,有A1p 1p ,所以1是 A1的特征值.,且p是A1的对应于特征值1的特征向量,例2.4 设是方阵A的特征值 证明(1)2
8、是A2的特征值 (2) k + l 是 k A+l E的特征值, 其中k ,l为实数 (3)若A可逆,则 1是 A1的特征值,按上面的结果类推 不难证明 若是方阵A的特征值 则 k 是 Ak 的特征值 ()是(A)的特征值; 其中 (A)a0Ea1A amAm是方阵A的多项式()a0 a1 amm是 的多项式 ,例2.5 设3阶矩阵A的特征值为1 1 2 求|3A2E|,解,记(A) =3A2E,故(A)的特征值为,有() =32,(1)312=1, 20,1 (5)4,于是 |3A2E|,若是A的特征值 则k是Ak的特征值 ()是(A)的特征值(其中()是的多项式 (A)是方阵A的多项式),
9、(2) 322=4,(1) 3(1)2= 5,性质2.4 设1 2 m是方阵A的m个不同特征值 p1 p2 pm依次是与之对应的特征向量 则p1 p2 pm线性无关,即 方阵A的对应于不同特征值的特征向量线性无关,三、特征值与特征向量的性质,例2.6 设1和2是矩阵A的两个不同的特征值 对应的特征向量依次为a1和a2 证明a1 a2不是A的特征向量,用反证法 假设a1 a2是A的特征向量 则应存在数 使 A(a1 a2)(a1a2) 于是,证,按题设 有Aa11a1 Aa22a2 故,Aa1Aa21a12a2,即(1) a1(2) a20,(a1a2) 1a12a2 ,因此a1 a2不是A的特
10、征向量,与题设矛盾,即12,120,故由上式得,则 a1 a2线性无关,因为12,注: 可以证明k1a1k2a2 (k1k20 )不是A的特征向量.,A(a1a2),特征值与特征向量的定义设A是n阶矩阵 如果数和n维非零列向量x使成立Ax x 那么 数 称为方阵A的特征值 非零向量x 称为方阵A的对应于特征值的特征向量,小结,特征值与特征向量的求法设A为n阶方阵 (1) |AE|0 = A的特征值i .,(2) (AiE)x0 = 非零解 x =pi 就是A的对应于特征值i的特征向量.,性质2.1 设n阶矩阵A与AT 有相同的特征值.,性质2.2 设n阶矩阵A(aij)的特征值为1 2 n 则(1)12 na11a22 ann (2)12 n|A|,特征值与特征向量的性质,小结,性质2.3 设是方阵A的特征值 则(1)2是A2的特征值 (2) k + l 是 k A+l E的特征值, 其中k ,l为实数 (3)若A可逆,则 1是 A1的特征值,(4)()= a0 a1 amm 是 (A)a0Ea1A amAm的 特征值;,性质2.4,方阵A的对应于不同特征值的特征向量线性无关,作业 P145 : 5(1), 6,14,
