1、第三章 工程结构地震反应分析 与抗震验算,3.1概述 3.1.1地震作用的性质 地震反应：地震振动使工程结构产生内力 和变形的动态反应即：结构由于地震激发引起的振动，在结构中产生随时间变化的位移、速度、加速度、内力和变形等,3.1.1地震作用的性质,地震作用：结构上的质量因加速度的存在而产生的惯性力 -可视为结构在地震中受到地震影响大小的“等效荷载” 地震反应（作用）的大小： （1）取决于地面运动的强弱程度 （2）取决于结构本身的动力特性（自振周期和阻尼等）,3.1.2地震作用的确定方法,结构抗震设计理论发展过程主要经历三个阶段,1.静力理论阶段-静力法,1920年，日本大森房吉提出。 假设建
2、筑物为绝对刚体。,地震作用：,-地震系数：反映震级、震中距、地基等的影响,将F作为静荷载，按静力计算方法计算结构的地震效应,3.1.2地震作用的确定方法,2.反应谱理论-振型分解反应谱法,1940年美国皮奥特教授提出,地震作用,目前，是世界上普遍采用的方法。,3.1.2地震作用的确定方法,3.直接动力分析理论-时程分析法1960年以后，计算机的应用推广,将实际地震加速度时程记录（简称地震记录 earth- quakerecord）作为动荷载输入，进行结构的地震响应分析。,-用于大震分析计算以及大型、复杂结构的地震反应计算,3.2单质点体系水平地震作用,3.2.1单质点体系计算简图集中质量法：把
3、结构的全部质量假想地集中到若干质点，结构杆件本身则看成无重弹性直杆,体系的自由度：确定一个体系弹性位移的独立参数的个数,3.2.1单质点体系计算简图,理解体系自由度的注意事项：(1)结构的自由度数不一定等于其质点数，而要根据质点的位移数来确定 （2）结构的自由度数和计算精度有关 （3）结构的自由度数和结构的超静定次数无关,当一个单质点体系只作单向振动时，形成一个单自由度体系。,3.2.2单自由度体系在地震作用下 的运动方程,：地面（基础）的水平位移,：质点对地面的的相对位移,质点位移：,质点加速度：,3.2.2单自由度体系在地震作用下 的运动方程,取质点为隔离体，由结构动力学可知，作用在质点上
4、的力：,惯性力：,弹性恢复力：,阻尼力（粘滞阻尼理论）：,运动方程：,3.2.2单自由度体系在地震作用下 的运动方程,将方程：,化简，方程左右两边同除以m，得：,式中：,：无阻尼自振圆频率，简称自振频率,：阻尼系数C与临界阻尼系数Cr的比值，简称阻尼比,3.2.3运动方程的解,单自由度弹性体系在地震作用下的运动方程：,是一常系数二阶非齐次微分方程 其通解由两部分组成： 1：齐次解，代表自由振动 2：特解，代表强迫振动,3.2.3运动方程的解,1：齐次方程的解 单质点弹性体系自由振动方程：,对一般结构（阻尼比较小），其齐次解为：,式中：,为t0时体系的初始位移,为t0时体系的初始速度,3.2.3
5、运动方程的解,式中：,有阻尼体系的自振频率,有阻尼体系的自振频率将随着阻尼系数c 的增大而减小，即阻尼越大，自振频率越慢,表示结构不再振动,3.2.3运动方程的解,实际工程中，一般不考虑阻尼影响，取：,此时，无阻尼体系的齐次解为：,建筑抗震设计中，阻尼比一般在0.010.1之间， 计算时混凝土结构通常取0.05,3.2.3运动方程的解,无阻尼自由振动：振幅始终不变 有阻尼自由振动：振幅随时间的增加而减小，体系的阻尼越大，其振幅的衰减就越快。,3.2.3运动方程的解,2、非齐次方程的解,运动方程：,将等号右端地面运动加速度视为随时间变化的单位质量的“扰力”，即：,冲量法：将荷载看成是连续作用的一
6、系列冲量，求出每个冲量引起的位移后将这些位移相加即为动荷载引起的位移。,3.2.3运动方程的解,1）瞬时冲量的概念 冲量：一荷载P作用于单自由度体系，作用时间为t，两者的乘积Pt 瞬时冲量：当作用时间很短，为瞬时dt时，Pdt,3.2.3运动方程的解,瞬时冲量的反应动量定律：冲量等于动量的改变量,a.t=0 时,即在体系静止状态下作用瞬时冲量,无阻尼,3.2.3运动方程的解,b. 时刻作用瞬时冲量,荷载P(t)作用下的位移反应 冲量法,-杜哈美积分,3.2.3运动方程的解,计阻尼：,无阻尼：,杜哈美积分，即为非齐次方程的特解由于体系在地震波作用之前处于静止状态，齐次解为0 上式即为处于静止状态
7、的单自由度体系地震位移反应计算公式,注意：杜哈美积分只能用于弹性计算,3.2.4水平地震作用基本公式,运动方程：,地震作用下，质点在任一时刻的相对位移与该时刻的瞬时惯性力成正比 通常把惯性力看作一种反映地震对结构体系影响的等效力， 可以用它的最大值来对结构进行抗震验算。,阻尼力很小，略去不计：,水平地震作用：,3.2.4水平地震作用基本公式,杜哈美积分，零初始条件下质点相对于地面的位移为：,质点相对于地面的速度为：,3.2.4水平地震作用基本公式,质点的绝对加速度为,3.2.4水平地震作用基本公式,质点相对于地面的最大速度反应为,质点相对于地面的最大加速度反应为,质点相对于地面的最大位移为：,
8、最大反应之间的关系,3.2.4水平地震作用基本公式,由此式可知：Sa取决于地面运动加速度、结构自振频率或 自振周期，并与阻尼比有关。 在阻尼比、地面运动确定后，最大反应只是结构周期的函数 Sa通过反应谱理论确定,反应谱：单自由度体系在给定的地震作用下某个最大反应与体系自振周期的关系曲线称为该反应的地震反应谱。,3.2.4水平地震作用基本公式,地震波记录,3.2.4水平地震作用基本公式,相对位移反应谱,3.2.4水平地震作用基本公式,相对速度反应谱,3.2.4水平地震作用基本公式,绝对加速度反应谱,3.2.4水平地震作用基本公式,地震加速度反应谱的特点,1.阻尼比增大， 反应谱峰值降低,2.当结
9、构周期小于某个值时幅值随周期急剧增大， 大于某个值时，快速下降。 T0，体系为绝对刚体，地面运动最大加速度 T很大，质点始终处于静止状态，绝对加速度趋于0,结构的阻尼比和场地条件 对反应谱有很大影响。,3.2.4水平地震作用基本公式,3、不同场地条件对反应谱的影响,场地土质松软，长周期结构反应较大，加速度谱曲线峰值右移 场地土质坚硬，短周期结构反应较大，加速度谱曲线峰值左移,3.2.4水平地震作用基本公式,4、震级和震中距对反应谱的影响 烈度相同的条件下震中距较远时，反应谱曲线峰值右移 震中距较近时，反应谱曲线峰值左移,地震反应谱是现阶段计算地震作用的基础，通过反 应谱 把随时程变化的地震作用
10、转化为最大的等效侧向力。,3.2.5地震系数与动力系数,结构在地震持续过程中经受的最大地震作用为,-集中于质点处的重力荷载代表值；,-重力加速度,-动力系数,-地震系数,-水平地震影响系数,3.2.5地震系数与动力系数,(1)地震系数,-地面运动最大加速度与重力加速度的比值,A、反映了地面运动的强弱程度 B、一般而言，地面加速度越大，地面烈度越高据统计：烈度每增加一度，K值大致增加一倍,3.2.5地震系数与动力系数,(2)动力系数,-单自由度体与系在地震作用下最大反应 加速度与地面运动加速度的比值,A、反映了由于动力效应，质点最大绝对加速度比地面最大加速度的放大倍数,B、对每一个给定的地面运动
11、加速度记录和结构阻尼比，动力系数是结构自振周期的函数,T曲线（谱曲线）实质就是加速度反应谱曲线,3.2.6设计用反应谱,是单质点弹性体系在地震时的最大绝对加速度和重力加速度的比值 规范把与T的关系作为设计反应谱。谱的实质亦为加速度反应谱,3.2.6设计用反应谱,谱曲线由四部分组成 0T0.1区段，为向上倾斜的直线 0.1TTg区段，为水平线 TgT5Tg区段，为下降的曲线 5TgT6s区段，为下降直线,3.2.6设计用反应谱,-地震影响系数；,-地震影响系数最大值；,3.2.6设计用反应谱,-特征周期；,-结构周期；,3.2.6设计用反应谱,-曲线下降段的衰减指数；,-直线下降段的斜率调整系数
12、；,-阻尼调整系数，小于0.55时，应取0.55。,3.3多质点体系水平地震作用,3.3.1多质点体系计算简图,3.3多质点体系水平地震作用,3.3.2多自由度体系在地震作用下的运动方程作用在质点i 上的力,惯性力：,阻尼力：,弹性恢复力：,第r质点产生单位速度，其余点速度为零，在i质点产生的阻尼力,第r质点产生单位位移，其余质点不动， 在i质点上产生的弹性反力,3.3.2多自由度体系在地震作用下 的运动方程,根据达朗贝尔原理，得第i质点动力平衡方程,推广到n个质点，得多自由度弹性体系在地震作用下的运动方程：,简写成矩阵形式：,3.3.2多自由度体系在地震作用下 的运动方程,运动方程：,3.3
13、.3多自由度体系的自由振动,（1）自振频率 以两个自由度体系的无阻尼自由振动为例,运动方程,设方程的特解为,代入：,-振幅方程,3.3.3多自由度体系的自由振动,振幅方程,为使振幅方程有非零解，其系数行列式应为零,-频率方程,可得频率的两个正号实根 1第一自振频率（基本自振频率；数值较小者） 2第二自振频率（数值较大者）,矩阵型式：,3.3.3多自由度体系的自由振动,（2）主振型将1、2代入振幅方程，可得质点1和质点2的位移幅值。,A、振幅的比值与时间无关，为一常数，即在体系振动的任一时刻，两个质点的位移比始终保持不变 B、对应于某一个自振频率就有一个振幅比，振动时振动形状保持不变，只改变振动
14、的大小和方向，这种振动形式称为主振型，简称振型,3.3.3多自由度体系的自由振动,C、 一般，体系有多少个自由度就有多少个频率，相应就有多少个主振型 D、在一般初始条件下，体系的振动曲线将包含全部振型，任一质点的振动可视作由各主振型的简谐振动叠加而成的复合振动。 E、因主振型只取决于质点位移之间的相对值，为对不同频率的振型进行形状上的对比特定坐标规格化：将其中某一个质点的位移值定为1，其他元素按比例确定。,3.3.3多自由度体系的自由振动,（3）主振型的正交性,结构振动过程中， 任一时刻的位移 等于惯性力所产 生的静力位移,主振型的变形曲线， 可视为体系按某一 频率振动时，其上 相应质点的惯性
15、力 引起的静力变形曲线,3.3.3多自由度体系的自由振动,3.3.3多自由度体系的自由振动,根据功的互等定理：,整理：,-振型的正交性,3.3.3多自由度体系的自由振动,对于两个以上的多自由度体系，任意两个振型J和k之间也具有上述正交性：,表示为矩阵型式：,式中：,多自由度体系任意两个振型对质量矩阵的正交性,3.3.3多自由度体系的自由振动,物理意义： a、某一振型在振动过程中所引起的惯性力在其他振型上所做的功为零 b、某一振型的动能不会转移到其他振型上去 C、体系按某一振型作自由振动不会激起该体系其他振型的振动,3.3.3多自由度体系的自由振动,由振幅方程：,可知：,对第k个振型：,多自由度
16、体系任意两个振型对刚度矩阵也有正交性,体系按某一振型振动时，它的位能不会转移到其他振型上去,3.3.3多自由度体系的自由振动,3.3.4振型分解法 多自由度体系在地震作用下的运动方程：,1：振型矩阵对n个自由度的振型体系，可求得n个主振型向量， 将这些振型向量从左向右依次排列可成一个n阶方阵， 方阵中每列的主振型向量是彼此正交的-振型矩阵,3.3.3多自由度体系的自由振动,将振型矩阵转置，可得：,将振型矩阵与质量矩阵两边相乘，得,3.3.3多自由度体系的自由振动,Mj为第j振型的广义质量,3.3.3多自由度体系的自由振动,同理：,Kj为第j振型的广义刚度,振型矩阵的特点：与质量矩阵和刚度矩阵两
17、边相乘后，可化为对角阵,3.3.3多自由度体系的自由振动,（2）振型分解地震作用下任一时刻各质点的位移向量可表示为各主振型向量的线性组合,3.3.3多自由度体系的自由振动,写成矩阵形式：,第i质点任一时刻的位移为：,（3）阻尼矩阵,假定阻尼矩阵为质量矩阵和刚度矩阵的线性组合，取：,3.3.3多自由度体系的自由振动,（4）方程解藕,将,代入运动方程：,可得：,3.3.3多自由度体系的自由振动,将上式展开便得以qi为未知量的n个独立方程,以广义质量Mj除各项，得：,3.3.3多自由度体系的自由振动,令：,振型参与系数,3.3.3多自由度体系的自由振动,（5）方程的解,单自由度体系运动方程：,解：,
18、或表达为：,J振型的振子,第i质点的位移：,3.3.3多自由度体系的自由振动,（6）振型参与系数j j:体系在地震反应中第j振型的振型参与系数可看作是多质点体系各质点均发生单位位移时的广义坐标qj值设一多自由度体系，各质点均发生单位位移，位移向量为单位位移1,任一位移向量均可以表示成各主振型的线型组合,对i质点：,对整个体系：,3.3.3多自由度体系的自由振动,由于主振型正交性：,3.3.5计算多质点体系水平地震作用 的振型分解反应谱法,（1）第i质点水平地震作用基本公式,多自由度弹性体系在地震时质点所受到的惯性力 就是质点的地震作用。第i质点上的地震作用为：,因：,3.3.5计算多质点体系水
19、平地震作用 的振型分解反应谱法,（2）振型最大地震作用,j振型i质点上的地震作用绝对最大值为：,3.3.5计算多质点体系水平地震作用 的振型分解反应谱法,（3）地震作用效应-振型组合,“平方和开方”的方法,一般，各个振型在地震总反应中的贡献随其频率的增加 而迅速减少，频率最低的几个振型控制着结构的最大地震 反应。实际计算中，一般采用前23个振型即可。,3.3.6计算水平地震作用的底部剪力法,底部剪力法适用条件： 1、高度不超过40m 2、剪切变形为主 3、质量和刚度沿高度分布比较均匀的结构 计算假定： 1、地震作用下的振动以基本振型为主 2、基本振型近似为一条斜直线,3.3.6计算水平地震作用
20、的底部剪力法,（1）结构底部剪力 j振型i质点水平地震作用为：,j振型结构底部剪力:,G结构的总重力荷载代表值,Gi质点i的重力荷载代表值,3.3.6计算水平地震作用的底部剪力法,结构总的底部剪力振型组合,C-等效总重力荷载换算系数,Geq结构等效总重力荷载代表值，0.85G,-相应于结构基本周期的水平地震影响系数,3.3.6计算水平地震作用的底部剪力法,（2）质点的地震作用,3.3.6计算水平地震作用的底部剪力法,适用于基本周期: T11.4Tg,当T11.4Tg时，需考虑高振型的影响， 否则计算所得的结构顶部地震作用偏小,3.3.6计算水平地震作用的底部剪力法,（3）顶部附加地震作用,3.3.6计算水平地震作用的底部剪力法,结构顶部的水平地震作用为FnFn,3.3.6计算水平地震作用的底部剪力法,（4）突出屋面地震作用放大 震害表明：地震作用下突出建筑物屋面的附属小建筑物，破坏严重 原因：由于小建筑物重量和刚度的突变，高振型的影响，地震反应会加大, 鞭端效应 处理措施：应对计算出的突出屋面小建筑物的地震作用效应乘以放大系数3，但此放大作用不往下传,作业,
