1、GCT 数学 2003-2013 年真题与答案解析 Page 1 of 91GCT 数学 2003 年-2011 年真题与答案解析2003 年 GCT 入学资格考试数学基础能力试题（25 题，每题 4 分，满分 100 分，考试时间 45 分钟）1 （ ） 。2345678910A10 B11 C12 D132记不超过 10 的素数的算术平均数为 M，则与 M 最接近的整数是（ ）A2 B3 C4 D53 1 000 m 的 大 道 两 侧 从 起 点 开 始 每 隔 10 m 各 种 一 棵 树 ， 相 邻 两 棵 树 之 间 放 一 盆 花 ，这 样 需 要 （ ） 。A树 200 棵，花
2、 200 盆 B树 202 棵，花 200 盆C树 202 棵，花 202 盆 D树 200 棵，花 202 盆4已知 ， ， ，则（ ） 。201a023b4cAa b c Bb c a Cc a b Dc b a5某工厂月产值 3 月份比 2 月份增加 10%，4 月份比 3 月份减少 10%，那么（ ） 。A4 月份与 2 月份产值相等 B4 月份比 2 月份产值增加 19C4 月份比 2 月份产值减少 D4 月份比 2 月份产值减少19 06函数 y=ax2+bx+c（a0）在0，+ ）上单调增的充分必要条件是（ ） 。Aa 0 且 b0 Ba 0 且 b0 Ca 0 且 b0 Da
3、0 且 b07函数 （a0）与 的图像关于（ ） 。1fx（ ） 2yfx（ ）A直线 xa=0 对称 B直线 x+a=0 对称Cx 轴对称 Dy 轴对称8已知实数 x 和 y 满足条件 = 1 和 =1，则 x101+y101 的值是（ ） 。9xy（ ） 10（ ）A1 B0 C1 D29一批产品的次品率为 0.1，逐件检测后放回，在连续三次检测中至少有一件是次品的概率为（ ） 。A0.271 B0.243 C0.1 D0.08110A、B 、C 、D、E 五支篮球队相互进行循环赛，现已知 A 队已赛过 4 场，B 队已赛GCT 数学 2003-2011 年真题与答案解析 第 2 页 共
4、91 页过 3 场，C 队已赛过 2 场，D 队已赛过 1 场，则此时 E 队已赛过（ ） 。A1 场 B2 场 C3 场 D4 场11过点 P（0，2）作圆 x2+y2=1 的切线 PA、PB ，A、B 是两个切点，则 AB 所在直线的方程为（ ） 。A B C Dx112x12y12如图，正方形 ABCD 的面积为 1，E 和 F 分别是 AB 和 BC 的中心，则图中阴影部分面积为（ ） 。 AEB F CDA B C D1234233513已知两平行平面 ， 之间的距离为 d（d 0） ，l 是平面 内的一条直线，则在平面 内与直线 l 平行且距离为 2d 的直线的有（ ） 。A0 条
5、 B1 条 C2 条 D4 条14正圆锥的全面积是侧面积的 倍，则该圆锥侧面展开后的扇形所对的圆心角为（ 54） 。A B C D15设点（x 0，y 0）在圆 C： 的内部，则直线 x0 x + y0 y=1 和圆 C（ ） 。21xyA不相交B有一个交点C有两个交点，且两交点间的距离小于 2D有两个交点，且两交点间的距离等于 216设 ，则 的极值点的个数是（ ） 。201dxftt（ ） （ ） fx（ ）A0 B1 C2 D317如果函数 在 x0 处可导， = x） ，则极限f（ ） 0f（ ） f（ 0f（ ）（ ） 。00dlimxfx（ ） （ ）A等于 f （x 0） B等于
6、 1 C等于 0 D不存在18甲、乙两人百米赛跑的成绩一样，那么（ ） 。GCT 数学 2003-2013 年真题与答案解析 Page 3 of 91A甲、乙两人每时刻的瞬时速度必定一样B甲、乙两人每时刻的瞬时速度都不一样C甲、乙两人至少在某时刻的瞬时速度一样D甲、乙两人到达终点时的瞬时速度必定一样19方程 的实数根的个数是（ ） 。2sincoxxA1 个 B2 个 C3 个 D4 个20设 ，则（ ） 。0idI（ ）AI=0 BI 0 C0 I 1 DI=021行列式 展开式中 x4 的系数是（ ） 。210xA2 B 2 C1 D 122设 ， ，则必有（ ） 。103=103=AAB
7、=BA BAB=B TAT C = 8 D =0BAB23设 A 为 4 阶非零方阵，其伴随矩阵 A*的秩 r（A*） =0，则秩 r（A）等于（ ） 。A1 或 2 B1 或 3 C2 或 3 D3 或 424设 A 为 mn 的非零矩阵，方程组 Ax=0 只有零解的充分必要条件是（ ） 。AA 的列向量线性无关 BA 的列向量线性相关CA 的行向量线性无关 DA 的行向量线性相关25已知三阶矩阵 M 的特征值为 1= 1， 2=0， 3=1，它们所对应的特征向量为 1=（1，0，0 ） T， 2=（0， 2， ， 3=（0，0， ，则矩阵 M 是（ ） 。T） T）A B C D11011
8、0GCT 数学 2003-2011 年真题与答案解析 第 4 页 共 91 页2003 年 GCT 入学资格考试数学基础能力试题参考答案与解析1 【答案】B【解析】等差数列求和公式 12nnaS（ ）分子= 162（ ）分母=5+11=6原式= 62 【答案】C【解析】不超过 10 的素数为 2，3，5，7；M= ，故与 M 最接近的整23574.2数为 4。3 【答案】B【解析】 ，则一侧树的棵数为 100+1=101，花的盆数为 10 010 110 2 10 10 100，故两侧乘以 2，故选 B。4 【答案】D【解析】 ， ，102a1032b03142c由 1234得 1020故 a
9、 b c5 【答案】D【解析】设 2 月份产量为 1，则 3 月份产量为 1.1，4 月份产量为 0.99，故 4 月份比 2 月份产量减少 。106 【答案】C【解析】根据二次函数图像性质知，函数 y=ax2+bx+c 在0，+ ）上是单调增函数的充分必要条件必须满足 ，故选 C。002aab7 【答案】DGCT 数学 2003-2013 年真题与答案解析 Page 5 of 91【解析】令 f（x ）=x，有+fxaa（ ） 和 （ ） 。得图像如下：所以图像关于 y 轴对称。故选 D。8 【答案】A【解析】由已知可得： 101xyxy或所以 x101+y101=19 【答案】A【解析】抽
10、三次正品的概率为 0.93=0.729，故至少有一件是次品的概率为10.729=0.271。10 【答案】B【解析】由于 A 队赛 4 场，故 A 必须与其他四队都赛；D 队已赛 1 场，D 队只与 A 队赛；B 队已赛 3 场，B 队与 A、C、E 分别赛；C 队已赛 2 场，C 队与 A、B 分别赛。所以 E 队已赛 2 场11 【答案】D【解析】如右图所示， =1， =2， AOP=60，OP= = 。OF12A所以 AB 所在直线的方程为 y= 1212 【答案】C【解析】因 E、F 分别为 AB、BC 的中点，所以 DE 和 DF 交 AC 于 M，N 等分 AC，故SAMD =SD
11、MN =SDNC （等底等高） ，S AMD +SDNC = 13SBEF +S 梯形 MNEF= 12234S 阴影 = 313 【答案】C【解析】如右图可知，满足条件的有 2 条直线。14 【答案】B【解析】设正圆锥的底面半径以 R，母线长为 L，o xyf（ x+a） f（ x+a）f（ x）（ ）（ ） （ ）（ ）（ ）（ ）OBAF xP（ 0， 2）y（ ， ）ld 2d2d3030GCT 数学 2003-2011 年真题与答案解析 第 6 页 共 91 页则圆锥侧面积= RL圆锥全面积= R2+ RL因此 45L故所求圆心角= ，选 B。2l15 【答案】A【解析】令 在圆内，
12、01=xy（ ， ） （ ， ），可代为 x 2，故选 A。0+x16 【答案】B【解析】由 f（x ）= 243430 011dxxtttx（ ）f (x)=x3 x2= x2(x1)，令 f (x)=0 得 x=0，x=1。显然 x=1 是 f (x)的极值点；在 x=0 的邻域内 f (x) 0，不变号，则 x=0 不是 f (x)的极值点，故选 B。17 【答案】C【解析】df（x 0） =f（x 0+x） f（x 0） 0000dlimlimfxfxf （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ）18 【答案】C【解析】甲、乙两人每时刻的瞬时速度可能一样，故 A、B 均错。甲、乙两
13、人每时刻的瞬时速度有可能一样，有可能不一样，故 D 错。故选 C。19 【答案】B【解析】令 y1=x2y2=xsinx+cosx= 1sinarctx由数形（如图）结合可知交点个数为 2 个。20 【答案】D【解析】 。=,cos(+)=sin2txxt令 -则 2dIsin()dsin)dxtt（ y1=xy21 GCT 数学 2003-2013 年真题与答案解析 Page 7 of 91因为被积函数 f (t)=-sin(sint)在 上是奇函数。所以 I=0，故选 D。,21 【答案】A【解析】要使行列式 展开式中含 x4，则在行列式中，各不同的行、列21200x都有 x，即（2 x、
14、x 、x、x）=2x 4（即对角线上都为 x） ，故选 A。22 【答案】D【解析】AB=1121310102 23 （ ） （ ） （ ）12056BA=112031013203 3 （ ）（ ）|AB|=12012124056（ ） （ ）|BA|= 381BTAT=2121201321253 601 0 （ ）（ ）（ ）23 【答案】AGCT 数学 2003-2011 年真题与答案解析 第 8 页 共 91 页【解析】r（A ）= 1102nrn（ ） 为 满 秩（ ）（ ） A因 r（A ）=0，r （A ）42=2，故选 A。24 【答案】A解 由 AX=0，得121312123n
15、mmnaax0即 a11x1+a12x2+a1nxn=0因此，A 的列向量线性无关，即 x1=x2=xn=025 【答案】D【解析】M= 11 2 33= 01故选 D。GCT 数学 2003-2013 年真题与答案解析 Page 9 of 91GCT 数学 2003-2011 年真题与答案解析 第 10 页 共 91 页2004 年 GCT 入学资格考试数学基础能力试题（25 题，每题 4 分，满分 100 分，考试时间 45 分钟）1在一条长 3 600 m 的公路一边，从一端开始等距竖立电线杆，每隔 40 m 原已挖好一个坑。现改为每隔 60 m 立一根电线杆，则需要重新挖坑和填坑的个数
16、分别是（ ） 。A50 和 40 B40 和 50 C60 和 30 D30 和 602某校有若干女生住校，若每间房住 4 人，则还剩 20 人未住下，若每间住 8 人，则仅有一间未满，那么该校有女生宿舍的房间数为（ ） 。A4 B5 C6 D73甲、乙两种茶叶以 x:y（重量比）混合配制成一种成品茶，甲种茶每斤 50 元，乙种每斤 40 元，现甲种茶价格上涨 10%，乙种茶价格下降 10%后，成品茶的价格恰好仍保持不变，则 x:y 等于（ ） 。A1 :1 B5 :4 C4 :5 D5 :64设 ，则 =（ ） 。123nnS （ ） 20SA2 B1 C0 D 15在一条公路上，汽车 A，
17、B，C 分别以 80、70、50 km/h 的速度匀速行驶，汽车 A从甲站开向乙站，同时车 B，车 C 从乙站出发与车 A 相向而行开往甲站，途中车 A 与车 B相遇 2h 后再与车 C 相遇，那么甲、乙两站相距（ ） 。A2 010 km B2 005 km C1 690 km D1 950 km6已知 ，且满足 和 ，则（ ） 。1ab083a208bA B C D30a230ab7实数 a，b，c 在数轴上的位置如下图所示 b a cO x图中 O 为原点，则代数式 =（ ） 。A B C D32ac2c2ab3a8设 a，b，c 均为正数，若 ，则（ ） 。abA B C D ccb9 表示 z 的幅角，今有 ， ，则 =（ ） 。rgrg2i（ ） arg12i（ ） sin（ +）A B C D4535453510将 5 个相同的球放入位于一排的 8 个格子中，每格至多放一个球，则 3 个空格相连的概率是（ ） 。
