1、数学物理,物理学 0310222 夏炳墅 物理学 0310220 吴振斌,诺贝尔奖和菲尔茨奖,在这里我不想把给出理论公式,公式看不懂会给人带来理解和阅读上的困难.下面是涉及的关键词: 微分几何,辛几何,Riemann几何,Finsler几何,复几何,李群,拓扑学,拓扑不变量,弦理论,拓扑量子场论,共形场论,Chern-Simons理论,SimonDona1dson四维流形理论, Vaughan-Jones扭结不变量,镜面对称,量子群,“魔群”,非交换几何, Mores理论,指标理论。,下面菲尔茨奖得主的工作的问题和方法来源于物理:以下菲尔茨奖得主活跃在数学物理领域:,物理和数学有着深刻的联系。
2、二十一世纪是量子数学的时代 (可称为是无穷维数学的时代 ) 量子数学的含义是指我们能够恰当地理解分析、几何、拓扑和各式各样的非线性函数空间的代数。二十一世纪以下学科将不可区分:,物理学:量子力学,广义相对论,弦论。几何学:示性类,指标理论。非线性椭圆,抛物线方程,双曲系统,混合型方程。拓扑,代数几何,数论。,数学与物理的关系,witten Atiyah and Singer,经典理论,Hamilton力学,现在称为Hamilton量的形式化导出现在所谓的“辛几何”,几何学,可以分成三个分支:Riemann几何,复几何和辛几何,并且分别对应三个不同类型的李群(正交群,酉群,辛群 )辛几何是它们之
3、中最新发展起来的,并且在某种意义下也许是最有趣的,当然也是与物理有极其紧密联系的一个,它的历史起源与Hamilton力学有关以及近些年来它与量子力学的联系,电磁学基本线性方程的Maxwell方程,是Hodge在调和形式方面工作和在代数几何中应用方面工作的源动力Maxwell方程是一个非常富有成果的理论,weyl 和E.cartan对引力和电磁力的统一的研究促进了微分几何的发展,导致了向量丛、主丛上的联络的出现。自从本世纪三十年代以来已经成为几何学中的许多工作的基础,广义相对论,Einstein创立广义相对论,以Riemann几何为数学基础,用它来研究时空和引力。 这促进了对Riemann几何的
4、广泛研究,但也导致了极端,使 Finsler几何的思想建立后就没人去发展,它是比Riemann几何广义的几何,这是S.S.Chern所倡导的理论。要统一广义相对论和量子场论,Riemann几何已经不够。,量子化,Witten用拓扑学方法,量子化是用Feynman路径积分方法以状态的语言来描述的,可观测量就是拓扑不变量,这个方法使Witten推出弦理论、拓扑量子场论、共形场论、以及Chern-Simons作用量。,而另一途径是代数方法。 量子化就像是把交换代数换为非交换代数,状态由Drinfeld以Hopf代数来描述,他利用该方法,推出量子群的概念,与统计力学的关系,完全可积性,lie代数的形变
5、,以及Yang-Baxter方程。,量子场论,从物理学的新思想到数学的渗透,量子场论和弦理论影响了数学的许多分支,得到了众多的新结果、新思想和新技术 SimonDona1dson在四维流形方面的工作; Vaughan-Jones在扭结不变量方面的工作;镜面对称,量子群; “魔群”等。,量子场论和维度 数学研究维数从有限维到无穷维而告终,在量子场论方面,物理学家试图对广泛的无穷维空间进行细致的研究,他们处理的无穷维空间是各类典型的函数空间,它们有复杂的代数、几何以及拓扑,还有围绕其中的很大的李群,即无穷维的李群,因此正如二十世纪数学的大部分涉及的是几何、拓扑、代数以及有限维李群和流形上分析的发展
6、。,11维量子场论 代数几何的计数问题被称为“量子上同调”的现代技术解决了,这完全是从量子场论中得到的 弯曲族上的曲线的问题,得到了另一个具有明确结果的被称为镜面对称的美妙理论,,2+1维的量子场论 2-维空间和1-维时间,就可以得到 Vaughan-Jones的扭结不变量理论这个理论已经用量子场论的术语给予了很美妙的解释和分析 而扭结理论中的Jones多项式和Witten的拓扑不变量 相联系。而Witten的理论解决了规范变换。,扭结不变量理论的关系图 Chern-Simons理论Yang-Baxter方程 Kac-Moody代数 link invariants,三加一维量子场论 全四维理论
7、(三加一维),这就是Donaldson的四维流形理论 。 在这里量子场论产生了重大影响。导致Witten引进了拓扑量子场论和Seiberg和Witten建立了他们相应的理论,并提出Seiberg-Witten方程及其模空间,该理论建立在物理直觉之上并且也给出许多非同寻常的数学结果。,量子群,量子群是经典李群、李代数的基本概念的推广,以Hopf代数表示。最初由量子可积体系及可解统计模型中提出。基于Connes对非交换几何的一般思想,Marin.Wesign.Zumine等将量子群看成量子超面上的线性变换,并逐渐建立非交换几何的框架,从不同的观点提出各种q规范理论。,Atiyah-Singer指标
8、理论 Atiyah-Singer指标理论的根源Riemann-Roch定理和Guass-Bonnet-Chern定理,在Chern-Weyl示性类下发展起来。 各种量子场论(量子引力,量子规范场,非线性 ) 用到各种模空间上的积分,而模空间的结构需要用指标理论来研究,模空间的积分要用到局域化方法。,Witten说二十世纪在量子场论的影响下数学建立了如上的几大理论,但这只是从迷雾中揭开群山的几个山峰,群山和山峰的联系和山下的宝藏有待二十一世纪的开发。,弦理论和M理论,在物理学中出现的非常重要的“对偶”,对偶空间代替了原空间,并且在线性理论中,对偶就是Fourier变换但是在非线性理论中就非常困难
9、,数学的大部分都与如何在非线性情形下推广对偶有关物理学家能够在弦理论和M理论中以一种非同寻常的方式做到了这一点。 弦和M理论用到大量的数学,并且解决了许多数学问题和影响了数学的发展。(如:Mores理论、数论和指标理论),弦理论和菲尔茨奖,弦理论用到下列Fields奖得主的工作:,非交换理论,Connes的非交换微分几何Alain Connes拥有这个相当宏伟的统一理论同样,它融合了一切它融合了分析、代数、几何、拓扑、物理、数论,所有这一切都是它的一部分这是一个框架性理论。 在量子理论中也出现了非对易性,非交换量子力学。 Alain Connes,矩阵和非交换乘法在物理中的应用产生了量子理论H
10、eisenberg对易关系是非交换代数在物理中的一个最重要的应用例子,以至后来被von Neumann推广到他的算子代数理论中 .Yang-Mills方程本质上是Maxwell方程的矩阵体现,并且由矩阵不可交换这一事实导致方程中出现非线性项 .,杰出人物与贡献,陈省身 :Chern-Weyl理论 Chern-Simons理论杨振宁 : Yang-Mills 理论 Yang-Baxter方程丘成桐 :Calabi-Yau 空间 Schoen-Yau正质量定理,中国年轻的一代杰出的有: 刘克峰 (浙大) 田刚 (北大) 朱熹平 (中大) 周坚 (清华) . . . . . .,数学:几何对应空间、
11、代数对应时间。物理:理论物理对应空间、实验对应时间。对一般人来说物理是空间、而数学是时间。但对数学物理的人来说这个的差别在缩小和模糊化。(空间指直觉和想象,时间指公式和推导),结束语,命运让我们属于这个时代,但我们应创造出属于自己的时代。 -夏炳墅,参考文献,E.Witten, Magic.Mystary.and Matrix. October 1998. Notices of AMS. 1129.侯伯元,侯伯宇。物理学家用微分几何,北京科学出版社,1990。Louise Dolan , The Boacon of Kac-Moody Symmetry for Physics. Notices of The AMS, Vol.42,No.12,1995,pp.1489-1495.、M.Atiyah, 二十世纪的数学,数学译林2002 /2。Rudolf Schmid, Strings.Knots.and Quantum Groups, SIAM Review: 34: 3, 406-425,September,1992.周坚,现代数学和物理的关系。,