1、河南科技大学材料学院,第三章 金属塑性变形的力学基础应变分析,位移：变形体内任一点变形前后的直线距离,位移分量：在坐标系中，一点的位移矢量在三个坐标轴上的投影称为该点的位移分量。用u，v，w或ui表示。,位移场：变形体内不同点的位移分量不同。根据连续性基本假设，位移分量应是坐标的连续函数，而且一般都有连续的二阶偏导数。,或,位移及其分量,即,设 M (x,y,z),M1 (x+u,y+v,z+w),位移分量：,M (x+dx,y+dy,z+dz),M1 (x+dx+u+u,y+dy+v+v,z+dz+w+w),位移分量：,将ui按泰勒数展开,M 点相对于M点的位移增量,变形体内无限接近两点的位
2、移分量间的关系,若无限接近的两点的连线MM平行于某一坐标轴，例如MMx轴，则,若已知变形物体内一点M的位移分量，则与其无限邻近点M的位移分量可以用M点的位移分量及其增量来表示。,位移及其分量,名义应变及其分量,设单元体PABCP1A1B1C1,PB:r r1= r+r,线变形(r)：单元体棱边的伸长或缩短 线应变（正应变）：单位长度上的线变形,棱边PB的线应变：,应变及其分量,单元体在xy面内发生变形，,相对切应变（工程切应变）：单位长度上偏移量或两棱边所夹直角的变化量。,同理有： yz, zx,显然：,应变及其分量,棱边PA在x方向的线应变：,同理：,应变及其分量,yx也可以看成PA、PC同
3、时向内偏转引起的。,切应变：,角标的意义：第一个角标表示线元（棱边）的方向，第二个角标表示线元的偏转方向。如xy表示x方向的线元向y方向偏转的角度。,变形单元体有三个线应变和三组切应变。,统称为应变分量。,应变及其分量,绕z轴的刚体转动角，研究应变时，应将刚体转动去掉。,过一点三个互相垂直方向上有9个应变分量,所以只有六个独立的应变分量,应变及其分量,因为,对数应变,相对线应变,变形体由l0ln可看作是经无穷多个中间数值逐渐变成。,应用微分的概念,自然应变（对数应变），反映了物体变形的实际情况，也称真实应变。,定义：塑性变形过程中，在应变主轴方向保持不变的情况下应变增量的总和叫对数应变。,应变
4、及其分量,只能用于小变形分析，在大变形中不能反映实际情况。,1. 表示变形的真实情况；,2. 具有可加性：总应变为各阶段应变之和。,eg,显然,对数应变,3. 具有可比性：拉伸后再压缩至原长，对数应变相等，仅差一符号。,eg.,对数应变的特点,任意方向上的应变,设任意点a(x,y,z)的应变分量：,设线元ab=r,r在三个坐标轴上的投影：dx,dy,dz,方向余弦：,长度：,a)线应变,点的应变状态与应变张量,变形后,r1在三个轴上的投影：,dx+u,dy+ v,dz+ w,略去r, u, v, w的平方项,两边同除以r2,点的应变状态与应变张量,(3-43)式,比较：,点的应变状态与应变张量
5、,b)切应变(线元变形后的偏转角）,设r=1,引NMa1b1,在NMb1中，有,由于,故,于是：,点的应变状态与应变张量,如果有刚体转动，,纯剪切变形引起的位移增量,刚性转动引起的位移增量,去除刚性转动,所以,比较,结论：若一点互相垂直的三个方向上的应变分量已知，则该点任意方向应变可求。,点的应变状态与应变张量,一点的应变状态可以用过该点三个互相正交方向上的九个应变分量来表示。与应力状态相似，当坐标轴旋转后在新的坐标系中的九个应变分量与原坐标系中的九个应变分量之间的关系也符合学数上张量之定义，即,ij为二阶对称张量。,点的应变状态与应变张量,应变张量,设单元体初始边长为dx,dy,dz,变形前的体积,变形后边长,变形后的体积,展开，略去高阶微量,体积变化率,在弹性变形中，可正可负，在塑性变形中，认为体积不变为零。,体积不变条件为,对数应变表示的体积不变条件,塑性变形时，三个线应变分量不可能全部同号，绝对值最大的应变分量永远和另外两个应变分量的符号相反。,塑性变形时的体积不变条件,作业与思考题,位移、位移分量、线应变、工程切应变、切应变、对数应变。 如何完整地表示受力物体内一点的应变状态？原因何在？ 对数应变有何特点？ 塑性变形时的体积不变条件如何表示？,
