一种基于栅格方法的空间谓词判断方法及其系统.doc

1、一种基于栅格方法的空间谓词判断方法及其系统董 慧 * * ，程振林 *，方金云 *， 赵红超 *（* 中国科学院计算技术研究所 北京市海淀区科学院南路 6 号 100190）（* 中国科学院研究生院 北京市石景山区玉泉路 19 号（甲） 100049）摘 要 ：地 理 信 息 获 得 了 越 来 越 广 泛 与 深 入 的 应 用 。空 间 分 析 是 地 理 信 息 系 统 平 台 最 核 心的 计 算 之 一 。矢 量 方 法 是 面 向 物 体 的 描 述 ，物 体 间 的 几 何 关 系 隐 含 ，关 系 判 断 需 要 基 于 计 算几 何 算 法 定 位 、分 析 和 检 索 ，时

2、 间 与 空 间 复 杂 度 较 高 。为 避 免 其 缺 点 ，本 文 提 出 了 基 于 栅 格 的空 间 谓 词 算 法 实 现 框 架 。此 算 法 基 于 亚 像 素 精 度 ，可 以 较 准 确 记 录 边 界 栅 格 的 覆 盖 面 积 ，通过 判 断 两 个 图 层 相 应 栅 格 的 覆 盖 面 积 ，即 可 得 出 空 间 关 系 。此 方 法 的 正 确 率 大 大 高 于 四 色 栅格 签 名 （4CRS）。同 时 ，栅 格 索 引 中 保 存 了 要 素 属 性 信 息 等 ，可 以 为 空 间 谓 词 判 断 提 供 更 有 用的 结 果 信 息 。关 键 词 ：空

3、 间 谓 词 ，栅 格 化 方 法 ，4CRS（four color raster signature），亚 像 素 精 度一 介 绍随 着 GIS 自 身 的 发 展 和 经 济 与 社 会 的 信 息 化 ， GIS 开 始 融 入 信 息 技 术 的 主 流 。 由 于 GIS 技 术 能 较 好 地 解 决 基 于 时 空 框 架 的 数 据 建 模 问 题 ， 填 补 了 传 统 信 息 技 术 在 这 方 面 的 空 白 ，逐 步 成 为 信 息 技 术 的 核 心 支 撑 技 术 1。基 于 Web 的 地 图 应 用 使 得 GIS 的 用 户 从 专 业 人 士 迅 速 扩

4、大 到 公 众 。 以 Web 编 程 接 口 的形 式 提 供 空 间 信 息 服 务 成 为 GIS 与 其 他 的 业 务 信 息 系 统 进 行 应 用 整 合 的 重 要 途 径 ， 这 为 GIS应 用 开 辟 了 更 广 阔 的 应 用 范 围 和 场 景 。 但 是 ， 基 于 Internet 的 GIS 的 体 系 结 构 决 定 了 大 量的 业 务 逻 辑 集 中 在 服 务 器 端 。 满 足 众 多 用 户 （ 包 括 Web 服 务 客 户 端 ） 的 访 问 并 保 证 服 务 质量 ， 给 后 端 服 务 器 的 性 能 、 可 扩 展 性 提 出 了 更 高

5、 的 要 求 。空 间 谓 词 是 比 较 两 个 空 间 对 象 并 返 回 一 个 布 尔 变 量 值 作 为 结 果 ， 它 表 明 了 存 在 于 两 个空 间 对 象 之 间 特 殊 的 关 系 。 如 ： 是 否 相 交 、 是 否 相 互 包 含 等 。 空 间 谓 词 是 GIS 的 核 心 ， 是GIS 区 别 于 一 般 的 信 息 系 统 、 CAD（ 计 算 设 计 辅 助 设 计 ） 或 者 电 子 地 图 系 统 的 主 要 标 志 之 一 。OGC(Open Geospatial Consortium， 开 放 地 理 信 息 联 盟 )的 web 要 素 服 务

6、 （ Web Feature Service） 规 范 中 的 空 间 过 滤 器 是 通 过 空 间 谓 词 方 式 获 取 要 素 数 据 的 有 力 方 式 ， 规 范 中 提 出了 Disjoint/ Intersect、 Equals、 Within/Contains、 Overlaps、 BBOX 等 多 种 空 间 谓 词 过滤 器 。空 间 谓 词 ， 配 合 空 间 数 据 的 属 性 信 息 ， 能 提 供 强 大 、 丰 富 的 空 间 数 据 查 询 功 能 。 空 间谓 词 以 及 空 间 分 析 功 能 具 有 算 法 复 杂 、 计 算 密 集 等 特 点 ， 如

7、 何 在 Web 上 提 供 空 间 谓 词 的 功能 ， 在 学 术 研 究 与 工 程 实 践 上 ， 都 具 有 重 要 的 意 义 ， 能 促 进 GIS 应 用 的 Web 迁 移 并 促 进 GIS应 用 与 其 他 应 用 的 融 合 。 随 着 网 络 地 图 服 务 的 流 行 ， 如 何 在 网 络 地 图 服 务 器 上 提 供 空 间 谓词 功 能 成 为 需 要 解 决 的 问 题 。一 种 常 见 的 空 间 谓 词 判 断 方 法 是 利 用 计 算 几 何 来 实 现 。 作 为 计 算 机 科 学 的 一 个 分 支 ，计 算 几 何 主 要 研 究 解 决

8、几 何 问 题 的 算 法 。 常 见 的 做 法 是 针 对 两 个 多 边 形 进 行 ， 在 大 量 的 多边 形 计 算 面 前 无 能 为 力 。 如 果 采 用 “暴 力 ”算 法 ， 通 过 反 复 调 用 两 个 多 边 形 空 间 谓 词 的 算法 来 完 成 ， 则 算 法 实 现 计 算 复 杂 度 高 ， 实 用 性 差 。 如 基 于 出 入 点 判 别 的 空 间 谓 词 实 现 方 法 ，如 何 确 定 交 点 的 进 点 、 出 点 属 性 在 实 际 的 图 形 中 会 遇 到 众 多 的 特 殊 情 况 。 特 别 是 在 发 生 了线 段 与 线 段 交

9、在 端 点 、 线 段 与 线 段 重 叠 的 情 况 下 ， 如 何 区 分 交 点 的 出 点 、 入 点 情 况 非 常 复杂 导 致 效 率 降 低 。 这 类 做 法 中 采 用 的 线 段 求 交 算 法 一 般 是 采 用 平 面 扫 描 算 法 ， 优 点 是 结 果比 较 精 确 ， 缺 点 是 由 于 要 进 行 频 繁 的 坐 标 排 序 、 角 度 计 算 等 操 作 ， 计 算 量 大 2。为 解 决 上 述 问 题 ， 本 文 提 供 了 一 种 基 于 栅 格 方 法 的 空 间 谓 词 判 断 方 法 及 其 系 统 ， 能 够减 少 计 算 量 ， 提 高 计

10、 算 效 率 。四色栅格签名（four color raster signature -4CRS)34可以实现空间关系的判断，但是 4CRS 结果不够精确，只能以四种栅格属性区分栅格面积- 空、满、强（一半以上） 、弱（一半以下） ，只能判断出强*强是确定相交的，而强*弱、弱*强、弱*弱则都是不确定的结果，还需要精确计算。在计算近似面积、置信度区间等都是用数学期望和概率等公式来估计，而真实数据可能并不符合这种规律。本文使用的基于亚像素精度的方法能准确记录边界格子的面积，因此可以根据两个对象占用的单元格的面积来确定是否相交。如同一个位置的栅格，第一个图层占有此栅格为49%，第二个图层为 52%，

11、相加100%,所以确定相交，而 4CRS 则不能确定。而且，4CRS只能实现两个多边形的判断，而不能处理多个多边形的图层。而本文采用的方法不但能精确记录栅格面积百分比，提高结果的准确性，并能把百分比和图层属性信息等都保存下来，给用户返回更多有效的结果信息（结果多边形的 ID 号等） 。二 算 法 框 架整 个 算 法 分 为 两 步 ： 栅 格 索 引 生 成 和 基 于 索 引 的 栅 格 空 间 谓 词 实 现 。整个栅格索引生成过程算法框架如图 1 所示。首 先 ， 对 地 理 要 素 的 矢 量 点 进 行 坐 标 转换 ， 便 于 利 用 亚 像 素 精 度 进 行 后 续 的 计

12、算 。 然 后 ， 进 行 轮 廓 扫 描 和 绘 制 控 制 器 计 算 填 充 单元 跨 段 ， 在 此 过 程 中 计 算 出 图 形 轮 廓 处 的 该 图 形 占 栅 格 单 元 的 面 积 的 百 分 比 ， 该 百 分 比 称为 栅格单元对应于该图形的实际占用面积。 最 后 ， 将 要 素 ID 信 息 和 实际占用面积信 息 存 入以 像 素 为 索 引 的 结 构 里 。坐标转换通道轮廓扫描绘制控制器计算填充单元及跨段水平扫描线填充单元及跨段要素信息 （ 栅格 I D 号 、 面积百分比等 ） 信息按扫描线要求存入缓存输入矢量要素生成底图索引图1. 步骤一的算法框架经过底图索

13、引生成这个步骤之后，即完成了栅格化过程，以栅格矩阵形式存储，其中坐标值为索引，所属的多边形 ID 号和所占的栅格面积百分比等为图层信息，以文件形式保存下来。这样，两个图层的空间谓词判断的时候，只需要找到同一栅格，对其面积等进行判断，从而获得符合条件的多边形 ID 号返回结果。示意图如图 2。图 2 步骤二的流程图三基于栅格方法的空间谓词实现 栅 格 索 引 生 成栅格索引生成部分，用于对于输入的图层生成对应的栅格底图，栅格底图的栅格单元以压盖所述栅格单元的图层的图形的要素 ID 为要素索引，栅格单元以坐 标 值 为 位 置 索 引 ，每个栅格单元具有对其压盖的图形在所述栅格单元的实际占用面积的

14、比值。图 3 (a) 地理要素的几何表示 (b) 栅格近似实 现 图 片 像 素 与 矢 量 点 关 联 ， 具 体 指 在 绘 制 地 理 要 素 的 图 形 同 时 ， 生 成 一 张 与 该 图 形匹 配 的 栅 格 底 图 ， 该 栅 格 底 图 就 是 与 该 图 形 对 应 的 索 引 图 ， 如 图 3 所 示 。 栅 格 底 图 的 每 个栅 格 单 元 都 对 应 了 该 地 理 要 素 的 属 性 信 息 内 容 ， 例 如 地 理 要 素 的 要 素 ID 号 等 ， 以 要 素 ID号 为 栅 格 单 元 的 要 素 索 引 。 因 此 完 全 不 存 在 搜 索 存

15、在 重 叠 区 域 这 种 情 况 。 可 作 为 索 引 快 速提 取 要 素 信 息 ， 也 是 实 现 下 述 空 间 谓 词 的 基 础 。生 成 栅 格 索 引 需 要 以 下 步 骤 ：（ 1） 输 入 矢 量 方 式 表 示 的 图 层 中 地 理 要 素 的 图 形 的 矢 量 点 ， 按 显 示 屏 幕 的 分 辨 率 对 地理 要 素 的 矢 量 点 坐 标 进 行 坐 标 转 换 ， 按 显 示 屏 幕 的 像 素 点 进 行 栅 格 划 分 ， 栅格单元以坐 标值 为 位 置 索 引 ， 栅 格 单 元 以 对 其 压 盖 的 图 形 的 要 素 ID 为 要 素 索

16、引 。如 果 没 有 图 形 对 栅 格 单 元 进 行 压 盖 ， 则 栅 格 单 元 的 要 素 索 引 和 实 际 占 用 面 积 的 信 息 都为 初 始 化 时 的 缺 省 值 。 坐 标 值 是 根 据 实 际 地 理 坐 标 投 影 到 屏 幕 坐 标 的 栅 格 行 列 号 。在 本 文 中 ， 将 double 类 型 的 矢 量 点 坐 标 都 乘 以 256， 相 当 于 将 该 坐 标 的 二 进 制 表 示 左移 8 位 。 这 种 坐 标 转 换 的 优 点 是 考 虑 了 小 数 部 分 对 像 素 的 栅 格 单 元 权 值 (cover)的 影 响 ， 便于

17、利 用 亚 像 素 精 度 进 行 后 续 的 计 算 。（ 2） 对 图 层 中 的 图 形 进 行 轮 廓 扫 描 ， 对 于 每 个 图 形 ， 按 如 下 公 式 计 算 图 形 的 轮 廓 线 经过 的 每 一 栅 格 单 元 的 权 值 和 覆 盖 面 积 5，cov21erfy（ 1）()covaxer（ 2）其 中 ， （ fx1， fy1） 为 经 过 该 栅 格 单 元 的 轮 廓 的 线 段 起 始 点 的 小 数 坐 标 部 分 ，（ fx2， fy2） 为 经 过 该 栅 格 单 元 的 轮 廓 的 线 段 终 止 点 的 小 数 坐 标 部 分 ， cover 为

18、权 值 ， area为 面 积 。运 用 了 亚 像 素 精 度 （ subpixel accuracy） 的 布兰森汉姆（B resenham） 6生 成 直 线 算法 进 行 轮 廓 所 描 ， Bresenham 生 成 直 线 算 法 是 一 种 基 于 误 差 判 别 式 来 生 成 直 线 的 方 法 。 与 传统 Bresenham 所 不 同 的 是 ， 该 算 法 利 用 误 差 判 别 选 择 像 素 的 过 程 是 基 于 亚 像 素 的 ， 把 一 个像 素 分 成 NN 个 小 像 素 ， 例 如 ， 将 单 位 栅 格 平 均 分 成 了 256256 个 子 像

19、素 。（ 3） 对 于 每 个 图 形 ， 绘 制 控 制 器 遍 历 图 形 的 轮 廓 经 过 的 栅 格 单 元 ， 依 据 栅 格 单 元 的 覆盖 面 积 判 断 所 述 栅 格 单 元 是 否 被 图 形 完 全 填 充 ， 对 完 全 填 充 的 栅 格 单 元 和 未 完 全 填 充 的 栅格 单 元 分 别 进 行 标 记 ， 将 轮 廓 内 的 栅 格 单 元 进 行 跨 度 填 充 ， 将 这 些 栅 格 单 元 标 记 为 完 全 填充 。首 先 ， 绘 制 控 制 器 将 轮 廓 经 过 的 所 有 栅 格 单 元 ， 例 如 上 述 计 算 的 A 和 B 等 整

20、数 坐 标 属于 此 处 的 单 元 格 ， 进 行 排 序 ， 将 X 坐 标 相 同 的 点 按 照 Y 坐 标 由 小 到 大 排 序 。 然 后 ， 绘 制 控制 器 按 照 行 扫 描 顺 序 ， 扫 描 顺 序 指 按 照 X 坐 标 由 小 到 大 扫 描 每 行 ， 从 最 小 行 到 最 大 行 逐 行扫 描 ， 利 用 图 形 中 每 个 扫 描 栅 格 单 元 的 area 进 行 判 断 栅 格 单 元 是 否 完 全 被 图 形 填 充 ， 对 于未 完 全 填 充 的 栅 格 单 元 ， 进 行 标 记 ， 例 如 利 用 add_cell（ ） 函 数 进 行 标

21、 记 ， 对 于 完 全 填 充的 栅 格 进 行 标 记 ， 例 如 利 用 add_span（ ） 函 数 进 行 标 记 。 未 完 全 填 充 的 栅 格 指 图 中 所 计 算的 area 没 有 完 全 覆 盖 当 前 栅 格 ， 如 图 4 所 示 。图 4 area 和 cover 示意图由 于 cover 有 正 负 ， 所 以 在 扫 描 每 一 行 的 时 候 都 将 所 有 轮 廓 的 单 元 格 的 cover 相 加 ，因 为 图 形 的 轮 廓 是 闭 合 的 ， 所 以 当 该 跨 段 标 记 完 以 后 遍 历 的 所 有 栅 格 单 元 的 cover 加

22、和 会为 0， 通 过 这 样 的 判 断 ， 能 够 自 动 找 到 哪 部 分 需 要 填 充 ， 哪 部 分 不 需 要 填 充 。（ 4） 将 完 全 填 充 的 栅 格 单 元 的 图形在栅格单元的实际占用面积的比值设置为 1；对于未完全填充的栅 格 单 元 ， 根 据 所 述 栅 格 单 元 的 权 值 和 覆 盖 面 积 计 算 所 述 栅 格 单 元 的 图形在栅格单元的实际占用面积的比值；保存栅格单元的位置索引、要素索引和实际占用面积的比值，进而生成所述图形对应的栅格底图。轮 廓 扫 描 的 时 候 保 存 的 栅 格 单 元 的 area 并 非 是 有 效 面 积 ， 因

23、 为 不 知 道 图 形 的 内 部 还 是外 部 。 内 部 还 是 外 部 同 轮 廓 的 走 向 相 关 ， 由 图 4 可 以 看 出 ， area 是 由 轮 廓 跟 栅 格 单 元 的 左侧 围 成 的 面 积 ， 而 当 轮 廓 的 走 向 是 顺 时 针 时 ， 真 正 的 面 积 应 该 是 栅 格 单 元 的 面 积 减 去 area得 到 的 ， 剩 余 一 部 分 的 面 积 ， 所 以 真 正 的 轮 廓 的 栅 格 单 元 实 际 被 图 形 包 含 的 面 积 需 要 在 绘制 的 时 候 才 能 确 定 。计 算 每 个 未 完 全 填 充 的 栅 格 单 元

24、的 实 际 面 积 。 确 定 出 一 个 图 形 轮 廓 所 经 过 的 每 个 栅 格单 元 ,然 后 再 计 算 每 个 栅 格 单 元 中 有 多 少 面 积 是 落 在 图 形 内 ,把 整 数 坐 标 相 同 的 栅 格 单 元 的area 和 cover 累 加 ， 然 后 通 过 cover 和 area 共 同 作 用 计 算 出 轮 廓 经 过 的 栅 格 单 元 实 际 被 图形 占 用 面 积 ， 用 alpha 表 示 。轮 廓 走 向 由 cover 记 录 ， cover 正 负 值 表 示 不 同 的 轮 廓 走 向 ， 顺 时 针 或 逆 时 针 ， 所以 真

25、 正 需 要 计 算 的 属 于 图 形 内 部 的 面 积 是 需 要 这 两 个 变 量 共 同 计 算 得 出 ， 通过 area 和cover 共同计算出 alpha。alpha=cover- =cover（1- ） 256a256fx1（3）这 个 值 越 大 ， 则 代 表 图 形 压 盖 的 格 子 百 分 比 越 多 。经 过 以 上 步 骤 ， 能 更 好 的 利 用 已 有 的 矢 量 数 据 栅 格 化 近 似 ， 提 高 处 理 速 度 ， 也 就 是 完成 了 栅 格 化 过 程 ， 以 栅 格 矩 阵 形 式 存 储 ， 其 中 坐 标 值 为 位 置 索 引 ，

26、属 性 信 息 等 为 图 层 信 息 ，以 文 件 形 式 保 存 下 来 。 基 于 索 引 的 栅 格 空 间 谓 词 实 现对于两个待比较的地理要素的图层，两个图层的栅格底图中坐标相同的栅格单元相互对应，将相对应的两个栅格单元的实际占用面积的信息进行比较，得出所述两个图层的空间谓词判断结果。对于遍历的栅格单元，计算所述栅格单元对应于两个图层的实际占用面积的比值的和，判断所述和是否大于 100%，如果是，停止遍历，空间谓词判断结果为两个图层相交。并且在得出空间谓词判断结果后还用于返回所述栅格单元在两个栅格底图中对应的要素 ID。首先，分别确定两个待比较的图层的外包，以两个图层的外包的相交

27、区域为遍历区域；对遍历区域中的栅格单元进行遍历。在遍历的所有栅格单元的所述实际占用面积的比值的和都不大于 1 时，按如下公式计算平均期望值，countelarl21（4）其中， 为遍历的栅格单元对应于一个图层的实际占用面积的比值，celar为所述栅格单元对应于另一个图层的实际占用面积的比值， 为遍历的栅2lr count格单元的数量；如果平均期望值大于预设的条件阀值，则空间谓词判断结果为两个图层相交。两 个 待 比 较 的 图 层 分 别 为 A 和 B， 判 断 两 个 图 层 是 否 有 图 形 相 交 （ overlap） ， 预 设 的期 望 阀 值 为 60%。具 体 的 说 ： 在

28、 两 个 图 层 中 轮 廓 的 交 作 为 新 轮 廓 ， 在 新 外 包 里 扫 描 线 遍 历 ， 如 果 某 个 栅格 单 元 在 两 个 图 层 中 都 有 被 图 形 压 盖 ， 则 进 行 如 下 对 比 ： 取 出 两 个 图 层 中 此 栅 格 单 元 对 应的 信 息 ， 设 cellarea1、 id1 为 A 图 层 的 栅 格 单 元 的 实 际 占 用 面 积 的 比 值 和 当 前 对 应 图 形 的要 素 ID 号 ;cellarea2、 id2 为 B 图 层 的 栅 格 单 元 的 实 际 占 用 面 积 的 比 值 和 当 前 图 形 的 要 素ID 号

29、； 如 果 cellarea1+cellarea2=100%， 说 明 两 个 图 层 在 此 栅 格 中 相 交 了 ， 将 相 交 对（ id1 和 id2） 存 入 结 果 集 。 所 有 的 栅 格 单 元 都 不 满 足 cellarea1+cellarea2=100%， 则 将期 望 值 cellarea1cellarea2 依 次 加 到 value 值 里 ， count 记 录 共 加 入 了 多 少 次 栅 格 。 最终 两 个 图 层 可 能 相 交 的 平 均 期 望 值 即 为 value/count， 这 个 值 是 个 百 分 比 ， 如 果 得 出 60%，则

30、说 明 两 个 图 层 有 60%的 可 能 性 相 交 。判断两个图层间是否有包含关系（contain）的图形时，确定包含图层和被包含图层，对于包含图层中的每个图形，比较所述图形和被包含图层中每个图形的在同一栅格单元的实际占用面积比值，将被包含图层中实际占用面积的比值都不大于所述图形的实际占用面积比值的图形为所述图形的包含图形。对于包含图层的每个图形，以被包含图层中的所有图形为所述图形的比较图形，并组成结果集。设两个图层分别为 A 和 B，判断是否 A 包含 B 的多边形，如果是，返回 B 中被 A 包含的多边形信息。如图 5 中，A 图层为粗框的多边形，B 图层包含 1、2、3 和 4 号

31、多边形。分为三个步骤：（1）先用以上方法获得在 A 图层之内的所有 B 图层的结果集 result1（2、3 和 4） ，即B 图层的多边形的每个格子的面积均小于或者等于 A 图层的格子面积（1 能排除，因为在1 和多边形边相交部分 1 的格子面积大于图层 A 的） ；（2）取出 result1 的所有多边形的外包与 A 图层的外包进行对比，如果超出则排除掉，剩余的结果集加到 result2 中（4 能排除掉，剩余 2 和 3） ；（3）把 result2 的所有多边形分别与 A 图层多边形进行对比，即把外包当作一个多边形来跟 A 的图层多边形对比格子面积，如果均小于或者等于 A 的，则加入到

32、 result3 中（3排除掉，剩余 2） ；Result3 则为最终结果集，即落在 A 图层多边形内的所有 B 图层的多边形，即 A 图层包含 B 图层中的 2 号多边形。2314A图 5 contain 算子的示意图四总结与展望本 文 通 过 将 地 理 要 素 的 属 性 信 息 与 栅 格 像 素 关 联 ， 面 向 网 络 地 图 服 务 ， 避 免 了 传 统 计算 几 何 算 法 复 杂 度 高 的 缺 点 ， 可 以 提 供 更 好 的 性 能 ， 帮 助 服 务 器 支 持 更 多 的 并 发 用 户 数 量 。栅 格 图 像 不 仅 是 矢 量 数 据 的 可 视 化 表

33、达 ， 更 可 视 为 是 矢 量 数 据 的 栅 格 化 近 似（ approximation） ， 这 种 近 似 精 度 远 高 于 最 小 外 包 矩 形 （ MBR） 等 表 达 形 式 ， 可 以 作 为 空间 关 系 谓 词 的 实 现 基 础 。未来的工作中，我们将做更多的测试，并实现多边形与线，多边形与点等的空间谓词判断。并且更深入的研究如何动态的最优的决定栅格单元的大小。参考文献1 Longley P, Goodchild M F, Maguire D, et al. Geographical Information Systems: Principles, Techniq

34、ues, Management, and Applications. 2nd ed. New York: Wiley. 2005. 97-99.2 Leonardo Guerreiro Azevedo, Geraldo Zimbro, and Jano Moreira de Souza, “Approximate Query Processing in Spatial Databases Using Raster Signatures,” VIII Brazilian Symposium on GeoInformatics, Campos do Jordo, Brazil, November

35、19-22, 2006, INPE, p. 3-17.3 T. Brinkhoff, H. P. Kriegel, R. Schneider, and B. Seeger, “Multi-step Processing of Spatial Joins,” In Proceedings of the 1994 ACMSIGMOD Conference, Minneapolis, USA, May 1994.4 James D. Foley, Andries van Dam, Steven K. Feiner, John F. Hughes, Computer Graphics: Principles and Practice in C, 2nd ed., Addison-Wesley Professional, 1996, pp.67-72.5 http:/ Bresenham J E .Algorithms for computer control of a digital plotterJ. IBM Systems Journal,1965,4(1):2530.