1、5.6 等腰三角形随堂检测1.在 中， = ， 的垂直平分线与 所在的直线相交所成的角为 ，则底角 的度ABC ABAC50B数为_2.已知等腰三角形一腰上的中线把等腰三角形的周长分成 9 和 12 两部分，则等腰三角形的腰长为_ 3.如图，已知 AB=AC，A=36，AB 的中垂线 MN 交 AC 于点 D，交 AB 于点 M，求证：（1）BD 平分ABC（2）BCD 为等腰三角形4沿矩形 ABCD 的对角线 BD 翻折ABD 得A /BD,A/D 交 BC 于 F,如图所示,BDF 是何种三角形？请说明理由.典例分析已知，如图所示，在ABC 中，B=2C ，AD 是ABC 的角平分线，请说
2、明AC=AB+BD。分析：利用线段的截长补短，构造全等三角形，把分散的条件集中到一起，来解决此题。方法一：采用截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段。解：在线段 AC 上截取点 E，使 AE=AB，连结 DE。AD 平分BACBAD=DAE在ABD 和AED 中AB=AEBAD=DAEAD=ADABDAEDBD=DE B=AEDB=2CAED=2CAED=C+EDCC=EDCED=ECBD=ECAC=AE+ECAC=AB+BD方法二：采用补短法：延长较短线段和较长线段相 等。解：延长线段 AB 至点 F，使 AF=AC，连结 DF。AD 平分BACFAD=CAD又AC=AF AD=AD
3、AFDACDF=CABC=2CABC=2F又ABC=F+BDFF=BDFBF=BDAF=AB+BFAF=AB+BDAC=AB+BD点评：利用构造全等三角形来解决一些问题是我们在做题过程中经常遇到的解题方法，下面就利用一例题来说明一下利用三角形全等来证明一条线段等于另外两条线段和的方法。课下作业拓展提高1.如图，已知线段 a，h 作等腰ABC ，使 ABAC ，且 BCa，BC 边上的高 ADh. 张红的作法是：（1）作线段 BCa ；（2）作线段 BC 的垂直平分线 MN，MN 与 BC 相交于点 D；（3）在直线 MN 上截取线段 h；（4）连结 AB，AC，ABC 为所求的等腰三角形. 上
4、述作法的四个步骤中，有错误的一步你认为是（ ）A. （1） B. （2） C .（3） D. （4）2.已知点 A 和点 B，以点 A 和点 B 为两个顶点作等腰直角三角形，则一共可作出（ ） A.3 个 B.4 个 C.6 个 D.7 个3. ABC 中，ABAC，AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于 D，若A36 ，则下列结论中成立的有_，并且证明结论的正确性C72BD 是ABC 的平分线ABD 是等腰三角形BCD 的周长AC+ BC4.如图，在ABC 中，ACB=90，D 是 BC 延长线上一点，E 是 BD 垂直平分线与 AB 的交点，DE 交 AC于 F.求证：点 E 在 AF 的
5、垂直平分线上.AE1 F2D NMCBAB C D5.如图所示，在ABC 中，D 为 BC 上的一点，连结 AD，点 E 在 AD 上，并且1=2，3=4。求证：AD 垂直平分 BC。6.如图所示， ，点 是 的BACDB， OADBC、 交点，点是 的中点试判断 和 的位置关系，并给出证明EOE7.如图，在ABC 中，BP、CP 分别是ABC 和 ACB 的平分线，且 PD/AB，PE /AC，BC=5cm 求PED 的周长COEA BD4321ED CBA8.已知：三角形 ABC 中，A90，ABAC，D 为 BC 的中点，（1）如图 1，E，F 分别是 AB，AC 上的点，且 BEAF，
6、（2）试说明DEF 为等腰直角三角形（2）若 E，F 分别为 AB，CA 延长线上的点，仍有 BEAF，（3）其他条件不变，那么，DEF 是否仍为等腰直角三角形？（4）请说明理由.9.小明将三角形纸片 沿过点 A 的直线折叠，使得 AC 落在 AB 边上，折痕为 AD，展开()ABC纸片（如图） ；再次折叠该三角形纸片，使点 A 和点 D 重合，折痕为 EF，展平纸片后得到（如图） 小明认为 是等腰三角形，你同意吗？请说明理由AEF EF（2）实践与运用将矩形纸片 沿过点 B 的直线折叠，使点 A 落在 BC 边上的点 F 处，折痕为 BE（如图） ；再沿过ACD点 E 的直线折叠，使点 D
7、落在 BE 上的点 处，折痕为 EG（如图） ；再展平纸片（如图） 求图中 的大小A CDB 图 A CDB 图 FEE DDCFBA图E DCAB F GA DECB F G图 图体验中考1（2009 年山东泰安市）如图，ABC 中， D 是 BC 的中点，DEAB，BF 平分 ABC，交 DE 于 点 F，若BC=6，则 DF 的长是A.2 B.3 C. D.4252.(2008 新疆乌鲁木齐市)在一次数学课上，王老师在黑板上画出图，并写下了四个等式： ABDC， E， BC， AECD要求同学从这四个等式中选出两个作为条件，推出 是等腰三角形请你试着完成王老师提出的要求，并说明理由 （写
8、出一种即可）BEDAC参考答案：随堂检测1.解析：已知条件中 的垂直平分线 相交的具体位置不确定，从题意上看，故只考虑 的垂直ABACAC平分线与另一腰（或另一腰的延长线）相交时，会掉进命题“陷阱” ，出现漏解现象所以此问题应分为的垂直平分线与另一腰 相交和 的垂直平分线与另一腰 的延长线相交两种情形，如图 1 所AC AB示，即（1）当 的垂直平分线 与腰 相交，且 时，底角B 的度数为 ；（2）DE50ED65的垂直平分线 与腰 的延长线相交，且 时，则 ，所以底角 的AC140CB度数为 252.分析：已知条件中未具体指明等腰三角形一腰上的中线把等腰三角形周长分成的哪两部分的大小，从题意
9、上看，故只考虑一部分长度为 9（或 12）时，会掉进命题“陷阱” ，出现漏解现象所以此问题应分为一部分长度为 9 和 12 两种情形，如图 2 所示，即（1）当 + =12、 + =9 时，解得ACDBCA CB D E E ADB C（1） （2）图 1=8、 =5；（2）当 + =9、 + =12 时，解得 =6、 =9所以它的腰长为 8 或ACBACDBCABC6总之，解等腰三角形问题时，若题中未给出图形，则应考虑按一定标准进行分类讨论，获取完整的解答，更应尽量避免因思维定势造成漏解的情形3.证明：AB=AC，A=36ABC=C=72MN 为 AB 的中垂线AD=BD则A=1=362=3
10、6，BDC=180-36-72=72，因此，BD 平分ABCBCD 为等腰三角形4.解:BDF 是等腰三角形ABD 翻折后得A /BDABDA /BD12四边形 ABCD 是矩形ADBC1323BFDF（等角对等边）BDF 是等腰三角形课下作业图 2ADB C（2）ACBD（1）拓展提高1.解析：本题主要考查尺规作图的语言正确性的判断.依据尺规作图的要求于方法辨别张红每步作图的可行性.（1） 、 （2） 、 （4）均符合基本作图的要求，对于（3）在直线 MN 上截去线段 h，带有随意性，与作图语言的准确性不相符.正确的语言表达为“在射线 DA 上截取一点 A，使 DA=h”.解：选（C）.2.
11、解析：本题没有指明 AB 的腰还是底边，所以需分类讨论（1）以 AB 为底边，有 C1、 C2两个点符合要求，如图 2；（2）以 AB 为腰，有 C3、 C4、 C5、 C6四个点符合条件，如图 3综合（1） ， （2）可知一共可作出 6 个等腰三角形，所以选（C） 3.分析：这是课本上例题改编的，平时的学习要注意把课本知识知识学扎实，本题考查的知识点较多需要综合运用知识解决问题的能力要求较高正确的结论有 4.分析：本题可运用线段垂直平分线的性质定理证明 BE=DE，再结合等腰三角形两底角相等、对顶角相等及等角的余角相等推出 EA=EF，从而运用线段垂直平分线的判定定理获证.证明：E 是 BD
12、 的垂直平分线上的一点，EB=ED. A又ACB=90， EA=90B，2=90D. 1 F2=A. 2又1=2， B C D1=A. EF=EA.点 E 在 AF 的垂直平分线上.5.解析：通过条件得出 EB=EC，AB=AC，从而证明出 AD 垂直平分 BC。证明：因为1=2，所以 EB=EC，所以点 E 在线段 BC 的垂直平分线上。又因为1=2，3=4，所以ABC=ACB，所以点 A 也在线段 BC 的垂直平分线上。所以 AD 垂直平分 BC。6.解析：通过所给条件可以证出，得出 ，利用三线合一即可BCD OBAOB解： OEA证明：在 和 中， .BCA， ，D ，OB又 AEA，
13、7.解析：因为 BP 是 ABC 的平分线， CP 是 ACB 的平分线，所以1=2，3=4，因为 PD/AB，所以1=5，所以2=5，所以 BD=PD（等角对 等边）因为 PE/AC，所以4=6，所以6=3，所以 PE=EC， （等角对 等边）所以 PDE 的周长等于 PD+PE+DE=BD+DE+EC=BC=5cm点评：“等角对等边”是等腰三角形识别的重要方法，本题主要通过角的平行线以及平行线特征，运用“等边对等角”来解决问题的8.解析：第（1）问要说明 DEF 为等腰直角三角形，就要说明 DE=DF 且EDF=90 0，4321ED CBA图 1这就要构造两个三角形全等，由题意 BE A
14、F，再加上三角形 ABC 是等腰直角三角形，D 为 BC 的中点的条件，显然要连接 AD 而达到目的；第（2）问，只要在第（1）问的基础上很容易猜想到，说明方法也类似解：连结 ，因为 BAC90 ， 为 BC 的中点，ABACD所以 AD BC ， BD AD ，所以 B DAC45，又 BE AF，所以 BDE ADF （S.A.S）所以 ED FD BDE ADF所以 EDF EDA ADF EDA BDE BDA90所以 DEF 为等腰直角三角形若 E， F 分别是 AB， CA 延长线上的点，如图 2 所示连结 AD因为 AB AC BAC90， D 为 BC 的中点 ，所以 AD B
15、D ， AD BC ，所以 DAC ABD45所以 DAF DBE135，又 AF BE，所以 DAF DBE （S.A.S） ，所以 FD ED， FDA EDB EDF EDB FDB FDA FDB ADB90，所以 DEF 仍为等腰直角三角形9.解：（1）同意如图，设 与 交于点 由折叠知，ADEFG平分AD，所以 BACC又由折叠知， ，90G所以 ，EF所以 所以 ，AEF即 为等腰三角形A（2）由折叠知，四边形 是正方形， ，所以 又由折叠知，B45B135BED，所以 BEGD67.5G从而 9067.52.体验中考1.解析：由 DEAB 得ABF=BFD，由 BF 平分ABC 得ABF=FBD，所以FBD=BFD，故 BD=DF，因为 D 是 BC 的中点，故 DF=3，选 BACDBFE G图 22.解析：此题答案不唯一，条件可以是、已知： ABDC， 求证： E 是等腰三角形证明：在 和 中，ABCD， ABEDC E，即 是等腰三角形
