1、 第一节 导数的概念与运算一、 思维导图二、知识模块【知识点 1】导数的定义1 导数的概念设函数 在 附近有定义，如果 时， 与 的比 （也叫函()yfx0 0xyxy数的平均变化率）有极限，即 无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数yx在 处的导数，记作 或 .()yfx00()f0xy即 .0f=0000 ()limli limxx xfxy2. 导数的物理意义：瞬时速度设 时刻一车从某点出发，在 时刻车走了一定的距离 在 时刻，车0tt .St01t走了 ，这一段时间里车的平均速度为 ，当 与 很接近时，该10()St10()t1t0平均速度近似于 时刻的瞬时速度.若令 ，则可以认
2、为 ，即0t 10t1010()limtSt就是 时刻的瞬时速度. 0()Stt3. 思路提示：利用导数的定义，经过合理的添项、拆项与调配系数，凑成导数的极限定义的等价形式.例 1: 设 存在，求下列各式极限.0()fx ；003limxfx00limhfxfx例 2: 若 ，则 等于（）002li 13xffx0()fA. B. C. D. 233232例 3: 设 在 处可导，则 等于（ ）()fx0003limxfxfxA. B. C. D.02f0()f0()f04()f例 4: 若 既是周期函数，又是偶函数，则其导函数 （ ）()yx yxA.既是周期函数，又是偶函数B.既是周期函数
3、，又是奇函数C.不是周期函数，但是偶函数D.不是周期函数，但是奇函数例 5: 已知函数 ，那么 的值为（）2,0()xyf0xyA. B. C. 或 D.不存在011例 6: 已知 ，其中 ，则 的值为（）2limxaxb,abRbA. B. C. D.626例 7: 已知 ，若 ，则 等于（）,NabR01limxbaA. B. C. D. m例 8: 等于（）132lixA. B. C. D.不存在012例 9: 已知 ，则 _(3)4,()ff34()limxfx例 10: 已知定义在 上的函数 ，若 则R,fg011(),lim(),2xfg在 处的导数 _()fx0(0)f例 11:
4、 如图 ，函数 的图象是折线段 ，其中 的坐标分别为 ，157xABC,4， ，则 _； _2,06,40f01limxffx例 12: 设等差数列 的前 项和为 ，若 则 _nanS132,a2limnS例 13: _21lim34x例 14: 已知函数 ，在点 处连续，则 _3,0()xfax21limna例 15: 设 ，试求 的值，使 在 处可导.2,1()fxbx,b()fx【知识点 2】求函数的导数1. 导数的运算的法则（和、差、积、商）设 ， 均可导，则()ux()v ； ；uv2()(0)uv2. 基本导数表 为常数） ； ； ； ；0(C1()()nxQ()lnxa()xe
5、； ； ； ；1log)laxlsincossi3. 思路提示：对于简单函数的求导，关键是合理转化函数关系式为可以直接应用公式的基本函数的形式，以免求导过程中出现指数或系数的失误.例 1: 求下列函数的导数 ； ； ； ； ；5yx4153yx10xy2logyxsinyx例 2: ，则 等于（）sinlcoslnA. B. C. D. 2clx2lx2sinlxsinlx例 3: 的导数 为（）()Lfg()fA. B. C. D.212gL例 4:设函数 ，导函数为 ，则下列关于导函数 的说法正1()sinifxx()fx()fx确的是（）A.仅有最小值的奇函数B.既有最大值，又有最小值的
6、偶函数C.仅有最大值的偶函数D.非奇非偶函数例 5: 记 ，则 （）,22xxeeshchshxA. B. C. D.scc例 6:二次函数 导函数为 ，已知 ，且对任意实数 ，有2()fxab()f(0)fx，则 的最小值为_()0fx1()f例 7:已知函数 ，则 的值为_cosin4xx()4f【知识点 3】复合函数求导1. 复合函数的导数复合函数 的导数与函数 ， 的导数之间具有关系()yfgx()yfu()f，该关系用语言表述就是“ 对 的导数等于 对 的导数与 对 的导数xuxy xyux的乘积” ，也就是先把 当做一个整体，把 对 求导，再把 对()()yfgx()g求导，这二者
7、的乘积就是复合函数 对 的导数x ()fx例 1:求下列函数的导数. ； ； ；32xye2log1yxsin23y1yx例 2: 函数 的导数为（ ）csinA. B. o2ixcos2sinxC. D. sinixix例 3:函数 的导数是（ ）i+cosyA. sinicoxxB. cssyC. siocixxD. c2y例 4:函数 的导数为（ ）sinlcoslnyxA. B. col coslnilxC. D. sil例 5:求函数 的导数sinxy例 6:求函数 的导数1yx【知识点 4】导数的几何意义1. 导数的几何意义：函数在定点处的切线斜率函数 在 处的导数 ，表示曲线 在
8、点 处的切线()yfx00()fx()yfx0,()Pfx的斜率，即 ，如图 所示，过点 的切线方程为PTtan()f3-1.同样可以定义曲线 在 的法线为过点 与00()yfx()yfx00,()xf曲线 在 的切线垂直的直线.过点 的法线方程为0 P0001()().yxff例 1：设函数 是 上以 为周期的可导偶函数，则曲线 在 处的切线斜()fxR5()yfx5率为（）A. B. C. D.501例 2:下列各函数在点 处没有切线的是（）xA. B.3siny2cosyxC. D.1例 3:若 是曲线 的一条切线，则 （）0y3yxbc32bcA. B. C. D.112例 4:已知曲
9、线 的一条切线的斜率为 ，则切点的横坐标为（）23ln4yx1A. B. C. D. 312例 5：若在曲线 上取一点 ，使过 点的切线与直线 平行，sin(0)yxM32yx则点 坐标为（）MA. B. C. D.3(,)23(,)21(,)623(,)62例 6：如果一直线过原点且与曲线 相切于点 ，那么切点 的坐标为（）yxPA. B. C. D.1(,)21(,)23(,1)(,)3例 7：已知函数 .fx（I）求曲线 在点 处的切线方程；()y(,)Mtf（II）设 ，如果过点 可作曲线 的三条切线，证明：0aab()yfx()abf例 8：曲线 3ln1yx在点 ,处的切线方程为_
10、.例 9：曲线 在点 3， 处的切线方程_.例 10：曲线 sinco2yx在点 (0)4M， 处的切线的斜率为A. 12 B. 1 C. D. 2例 11：曲线 xye在点 0， 处的切线斜率为_.例 12：已知点 P在曲线 41x上， 为曲线在点 P处的切线的倾斜角，则 的取值范围是A. (0,)4 B. ()42， C. 3()24， D. 3(,)4例 13：若曲线 lnfxax存在垂直于 y轴的切线，则实数 a的取值范围是_.例 14：设直线 12yb是曲线 l0的一条切线，则实数 b的值为_.例 15：已知曲线 在 点处的切线与曲线 在 点处的切线互相21yx0x31yx0平行，则
11、 的值为_.0例 16：已知函数 2()ln()fxax（I）若曲线 在点 处的切线斜率为 ，求 的值以及切线方程；y1,)f2a（II）若 是单调函数，求 的取值范围。()fx例 17：已知函数2()ln1)(0)xfxk()当 =2 时，求曲线 在点 处的切线方程；k(yf,1f()求 的单调区间.)fx例 18: 已知函数 b)。2()(fxab,Ra（I）当 时，求曲线 在点 处的切线方程。1,ab)yfx(2)fx（II）设 是 的两个极值点， 是 的一个零点，且 ，2x()f3 31x32x证明：存在实数 ，使得 按某种顺序排列后的等差数列，并求4124,x 4例 19：已知函数
12、，其中 32()461,fxtxtxRt（）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；1t()yfx0,()f（）当 时，求 的单调区间；0f（）证明：对任意的 在区间 内均存在零点(0,)(tfx(,1)例 20：设函数 32()fxabx， 2()3gx，其中 xR， 为常数，,ab已知曲线 y与 ()在点 处有相同的切线 .,0l（I） 求 的值，并写出切线 的方程；,abl（II）若方程 ()fxgmx有三个互不相同的实根 0、 1x、 2，其中 12x，且对任意的 12,， ()(1)f恒成立，求实数 m 的取值范围。【知识点 5】综合例 1:求下列函数的导数 ； ； ； ； ；yx4153yx10xy2logyxsinyx例 2:已知 时， ，利用求导法求 的1x12+nnxx2113nxx和例 3:设函数 满足 为常数， ，求()fx1(),cafbfabxab()fx例 4：已知双曲线 ，通过其上任意一点 做切线与 轴分别交于点 ，试证：2xyaP,xy,QR(I)点 平分 ；PQR(II) 的面积为定值.O例 5:已知 ，利用求导法证明：0121n nnxCxCx12nC
