1、不等式的证明,证明：,1定理适用范围：,2取“=”的条件：,定理：,如果a, bR+，那么,（当且仅当a=b,时，式中等号成立）,证明：,即：,当且仅当a=b时,均值定理：,注意：1适用的范围：a, b 为非负数.,2语言表述：两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数。,几何直观解释：,令正数a，b为两条线段的长，用几何作图的方法，作出长度为 和 的两条线段，然后比较这两条线段的长。,具体作图如下：,（1）作线段AB=a+b，使AD=a，DB=b,（2）以AB为直径作半圆O；,（3）过D点作CDAB于D，交半圆于点C,（4）连接AC，BC，CA，则,当ab时，OCCD，即,当a=b时，OC
2、=CD，即,例1已知ab0，求证： ，并推导出式中等号成立的条件。,证明：因为ab0，所以 ，根据均值不等式得,即,当且仅当 时，即a2=b2时式中等号成立，,因为ab0，即a，b同号，所以式中等号成立的条件是a=b.,例2. 1)已知:a,b,c均为正数,求证:,2)已知:正数a,b,c满足a+b+c=1,求证:,3)a0,b0且a+b=1,求证:,例2. 1)已知:a,b,c均为正数,求证:,证明:,所以,原不等式成立,当且仅当a=b=c时,取等号.,引申一,引申二,1、已知a、b、c、d都是正数，求证：,练习,4,B,课堂小结：,1.直接运用均值不等式可证明简单的不等式。,2.多次运用均值不等式相加或相乘去证明不等式时必须要保证等号同时成立。,3.灵活运用均值不等式去证明一些复杂的不等式。,
