1、, 一元微积分学,大 学 数 学（一）,第十一讲 无穷小量的比较,脚本编写：刘楚中,教案制作：刘楚中,第三章 函数的极限与连续性,本章学习要求：了解函数极限的概念，知道运用“”和 “X ”语言描述函数的极限。理解极限与左右极限的关系。熟练掌握极限的四则运算法则以及运用左右极限计算分段函数在分段点处的极限。理解无穷小量的定义。理解函数极限与无穷小量间的关系。 掌握无穷小量的比较，能熟练运用等价无穷小量计算相应的函数极限。了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。理解极限存在准则。能较好运用极限存在准则和两个重要极 限求相应的函数极限。理解函数在一点连续以及在区间上连续的概念，会判断函数间断点的类型
2、。了解基本初等函数和初等函数的连续性以及闭区间上连续函数的性质（介值定理、最值定理）。理解幂级数的基本概念。掌握幂级数的收敛判别法。,第三章 函数的极限与连续性,第六节 无穷小量的比较,一. 无穷小量比较的概念,二. 关于等阶无穷小的性质和定理,等价无穷小必是同阶无穷小,但反之不真.,x 0 时的几个无穷小量的比较：,有何想法？,证,所以 1 cos x = O( x2 ) ( x 0 ) ., x 0 时,不可比较的无穷小.,不存在, 但不是无穷大,与 x 是,二. 关于等阶无穷小的性质和定理,1. 定理,定理,设在某一极限过程中,证,综上所述,限过程中的第三个变量.,2. 定理,定理,综上
3、所述,证,设在某极限过程中, , , 则 .,3. 定理,定理,无穷小量可以用其等价无穷小量替代.,定理告诉我们:,在计算只含有乘、除法的极限时,如果在加减法中用等价无穷小量替代, 则会产生错误:,将常用的等阶无穷小列举如下:,当 x 0 时,求,解,求,解,求,解,求,解,求,和差化积,解,此题也可先在 分子处加 1 减 1,求,解,证明：若在某极限过程中0, 0,在某极限过程中, 若 , 则,且 0, 则 的充要条件是,证,故,由于,解,解,变量代换,四则运算,等价无穷小,解,连续两次使用等价无穷小替代.,等价无穷小替代,解,函数的性质,等价无穷小替代,重要极限,也可再用等价无穷小替代,请看下面的定理.,定理,解,利用初等方法进行变化, 使之能用等价无穷小替代.,解,解,解,由于,解,即,故 原级数,解,
