1、机械波 机械波、平面简谐波、波动方程 零、机械波绪论； 一、机械波的几个概念 （一）机械波的形成； （二）横波和纵波； （三）波长、波的周期、波速； （四）波前、波面、波线； 二、平面简谐波的波动方程 （一）波动方程的建立； （二）波动方程的物理意义； 课本： 17.1； 17.2 作业：练习册（ 27） 机械波 机械波、平面简谐波、波动方程 教学基本要求 一 掌握 描述简谐波的各物理量及各量间的关系； 二 理解 机械波产生的条件 . 掌握由已知质点的简谐运动方程得出平面简谐波的波函数的方法 . 理解波函数的物理意义 . 了解波的能量传播特征及能流、能流密度概念 . 三 了解 惠更斯原理和波的
2、叠加原理 . 理解波的相干条件，能应用相位差和波程差分析、确定相干波叠加后振幅加强和减弱的条件； 四 理解 驻波及其形成，了解驻波和行波的区别； 课外、 了解机械波的多普勒效应 . 【课时】 3-4次课 机械波 机械波、平面简谐波、波动方程 波动是振动的传播过程 . 振动是激发波动的波源 . 机械波 电磁波 波动 机械振动在 弹性 介质中的传播 . 交变电磁场在空间的传播 . 两类波的不同之处 机械波的传播需有传播振动的介质 ; 电磁波的传播可不需介质 . 能量传播 反射 折射 干涉 衍射 两类波的共同特征 一、机械波的几个概念 机械波 机械波、平面简谐波、波动方程 波源 介质 + 弹性作用
3、机械波 （一） 机械波的形成 产生条件： 1）波源； 2）弹性介质 . 波是运动状态的传播，介质的质点并不随波传播 . 注意 机械波：机械振动在弹性介质中的传播 . 机械波 机械波、平面简谐波、波动方程 横波：质点振动方向与波的传播方向相 垂直 的波 . （仅在固体中传播 ） （二） 横波 (transverse wave)与纵波 (longitudinal wave) 特征：具有交替出现的波峰和波谷 . 机械波 机械波、平面简谐波、波动方程 纵波：质点振动方向与波的传播方向互相 平行 的波 . （可在固体、液体和气体中传播） 特征：具有交替出现的密部和疏部 . 机械波 机械波、平面简谐波、波
4、动方程 （三 ） 波长 波的周期和频率 波速 波长 ：沿波的传播方向，两个相邻的、相位差为 的振动质点之间的距离，即一个完整波形的长度 . 2O y A A - ux任一波，例如：水波、地表波，都能分解为横波与纵波来进行研究。 机械波 机械波、平面简谐波、波动方程 周期 ：波前进一个波长的距离所需要的时间 . TT1 Tu Tuu 频率 ：周期的倒数，即单位时间内波动所传播的完整波的数目 . 波速 ：波动过程中，某一振动状态（即振动相位）单位时间内所传播的距离（相速） . u注意 周期或频率只决定于波源的振动 ! 波速只决定于媒质的性质！ 机械波 机械波、平面简谐波、波动方程 波速 与介质的性
5、质有关， 为介质的密度 . u 如声音的传播速度 sm4000sm343空气，常温 左右， 混凝土 Gu Eu Ku 横 波 固体 纵 波 液、气体 切变 模量 弹性 模量 体积 模量 机械波 机械波、平面简谐波、波动方程 （四） 波线 波面 波前 * 球 面 波 平 面 波 波前 波面 波线 机械波 机械波、平面简谐波、波动方程 例 在室温下，已知空气中的声速 为 340 m/s，水中的声速 为 1450 m/s ，求频率为 200 Hz和 2000 Hz 的声波在空气中和水中的波长各为多少？ 1u2um7.1Hz2 0 0sm3 4 0 1111 - u m17.0212 um25.7Hz
6、200sm1450 1121 - u m7 2 5.0222 u在水中的波长 解 由 ，频率为 200 Hz和 2000 Hz 的声波在 u空气中的波长 机械波 机械波、平面简谐波、波动方程 例： 在波线上有相距 2.5 cm的 A、 B两点，已知点 B的振动相位比点 A落后 30，振动周期为 2.0 s ，求波速和波长。 解： 因在波线上相距 两点的相位差为 2p 所以 m30.0m105.262 2 -1-1-2sm150sm21030 - .Tu 波速为 机械波 机械波、平面简谐波、波动方程 ),( txyy 各质点相对平衡位置的 位移 波线上各质点平衡 位置 简谐波：在均匀的、无吸收的
7、介质中，波源作简谐运动时，在介质中所形成的波 . （一） 平面简谐波的波函数 平面简谐波：波面为平面的简谐波 . 介质中任一质点（坐标为 x）相对其平衡位置的位移（坐标为 y）随时间的变化关系，即 称为波函数 . ),( txy二、平面简谐波的波动方程 机械波 机械波、平面简谐波、波动方程 点 O 的振动状态 tAy O c o s点 P uxt t 时刻点 P 的运动 t-x/u时刻点 O 的运动 以速度 u 沿 x 轴正向传播的平面简谐波 . 令原点 O 的初相为零，其振动方程 tAy O c o s)(c osuxtAyP - 点 P 振动方程 时间推迟方法 P点在 t时刻时的位移 波动
8、方程 机械波 机械波、平面简谐波、波动方程 波函数 )(c o suxtAy - 0,0 x)c o s ( tAy O点 O 振动方程 1、 如果原点的初相位 不 为零 其它情况： 点 O 的振动状态 ）（ 0c o s tAy O点 P uxt 时间推迟方法 沿 轴 正 向 u x )(c o s -uxtAy机械波 机械波、平面简谐波、波动方程 )(c o s uxtAy 沿 轴 负 向 u x波函数 沿 轴 正 向 u x )(c o s -uxtAyyxuAA-O 2、 如果波的传播方向为向左 时间推迟方法 uxt P点超前 P 机械波 机械波、平面简谐波、波动方程 波源点振动状态
9、tAy a c o s点 P uxt 以速度 u 沿 x 轴正向传播的平面简谐波 . 已知波源在坐标 a处 ，其振动方程 tAya c o s时间推迟方法 3、 如果波源不在原点 0处 x-a 波函数 )(c osuaxtAy - 机械波 机械波、平面简谐波、波动方程 【总结】 波动方程 的标准形式应为 式中：“ ”号表示波沿 x轴正方向传播； “ ”号表示波沿 x轴负方向传播。 o是 坐标原点 的初相。 tAy (c o s )oux 考虑到 ， =2p/T， =uT , 波动方程还可写为 ) ox TtAy (2c os potAy c o s ( )2px2k角波数 机械波 机械波、平面
10、简谐波、波动方程 质点的振动速度，加速度 )(s in - uxtAtyv)(c o s 222 -uxtAtya)(c o s - uxtAy机械波 机械波、平面简谐波、波动方程 （二） 波函数的物理意义 )(2c o s )(c o s - xTtAuxtAy1 当 x 固定时， 波函数表示该点的简谐运动方程，并给出该点与点 O 振动的相位差 . xux 2- （波具有时间的周期性） ),(),( Ttxytxy 机械波 机械波、平面简谐波、波动方程 （波具有空间的周期性） ),(),( txytxy 2 当 一定时，波函数表示该时刻波线上各点相对其平衡位置的位移，即此刻的波形 . t)(
11、2c o s )(c o s - xTtAuxtAy - )(2)( 111 xTtuxt - )(2)( 222 xTtuxt 21122112 22 xxx -波程差 1221 xxx -x 2机械波 机械波、平面简谐波、波动方程 波线上各点的简谐运动图 机械波 机械波、平面简谐波、波动方程 yxuO y),(),( xxttxt )(2c osxTtAy -)(2)(2 xxT ttxTt -xTt tux 3 若 均变化，波函数表示波形沿传播方向的运动情况（行波） . tx,t 时刻 tt 时刻 x振动曲线 波形曲线 图形 研究 对象 物理 意义 特征 某质点位移随时间变化规律 某时刻
12、，波线上各质点位移随位置变化规律 对确定质点曲线形状一定 曲线形状随 t 向下游平移 由振动曲线可知： v某时刻 方向： 对比下一时刻的位移 ,或斜率法 初相 周期 T. 振幅 A 0由波形曲线可知该时刻各质点位移、 波长 , 振幅 A 只有 t=0时刻波形才能提供初相 某质点 方向： 对比上游附近质点位置，或者平移法 vA y x P t0 vu o A y t P t0 T vo 机械波 机械波、平面简谐波、波动方程 第一类： 已知波动方程，求振幅、周期、频率等物理量。 ) ox TtAy (2c os potAy c o s ( )2pxtAy (c o s )oux Tu比较法 平面简
13、谐波问题举例 机械波 机械波、平面简谐波、波动方程 例 1 已知波动方程： ),)(212(c o s5.0 SIxty - p求： (1)此波的传播方向，波的振幅、周期、 频率、 波长和波速，以及坐标原点的振动初相。 (2)x=2m处质点的振动方程，及 t=1s时该质点的速度和加速度。 解 (1)比较法 )(c o s . 242250 pp - xtyTtAy (2c os p )ox 波沿 x轴正方向传播； A=0.5m, T=2s, =1/2Hz, =4m, u= /T=2m/s, 原点的振动初相 o=p/2。 机械波 机械波、平面简谐波、波动方程 将 x=2m代入波动方程就得该处质点
14、的振动方程： )(212(c o s5.0 SIxty - pmty )2c o s (5.0 pp -t=1s时该质点的速度和加速度为 )2s in (5.0 ppp - tdtdy)2c o s (5.0 2 ppp - tdtdat=1 -0.5p(m/s) t=1 0 (2) 机械波 机械波、平面简谐波、波动方程 第二类： 已知波线上一点的振动方程，求波动方程。 法一 ： 标准方程法 根据已知点的振动方程，分别定出 ，再将其逐一“填”入标准波动方程。 0 、 uA在波线上任取一点 P(距离原点为 x)，判断 P点与已知点在振动上的超前与落后关系，并求出超前或落后的时间 ，然后用 去代替
15、已知点振动方程中的 tt)( tt ， P点超前用 + ；落后用 - 法二 ： 法tt 机械波 机械波、平面简谐波、波动方程 例 . 已知 X = /2 处质点振动方程为： )c o s (2 tAy 写出波动方程。 解 )2(c os - uxtAy机械波 机械波、平面简谐波、波动方程 例 2 一波动以速度 u沿 x轴正方向传播， p点的振动方程为 yp=Acos(t+), 求 : (1)坐标原点 o的振动方程； (2)波动方程。 x y p l u o 解 (1)原点 o比 p点超前 l /u,即 o点位相 - (t+)=l /u o点位相 = t+l /u 坐标原点 o的振动方程为 : y=Acos(t+l /u) (2)波动方程 : ,)(c o s ouxtAy - o=(+ l /u) )(c o s - u lxtAytAy (c o s )oux
