1、1二次函数中考试题及答案（2013 德州）如图，在直角坐标系中有一直角三角形 AOB，O 为坐标原点，OA=1，tanBAO=3，将此三角形绕原点 O 逆时针旋转 90，得到 DOC，抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A、B、C（1）求抛物线的解析式；（2）若点 P 是第二象限内抛物线上的动点，其坐标为 t，设抛物线对称轴 l 与 x 轴交于一点 E，连接 PE，交 CD 于 F，求出当CEF与COD 相似点 P 的坐标；是否存在一点 P，使PCD 得面积最大？若存在，求出PCD 的面积的最大值；若不存在，请说明理由考点： 二次函数综合题分析： （1）先求出 A、B、C 的坐标，再运用待定
2、系数法就可以直接求出二次函数的解析式；（2）由（ 1）的解析式可以求出抛物线的对称轴，分类讨论当CEF=90时，当CFE=90时，根据相似三角形的性质就可以求出 P 点的坐标；先运用待定系数法求出直线 CD 的解析式，设 PM 与 CD 的交点为 N，根据 CD 的解析式表示出点 N 的坐标，再根据 SPCD=SPCN+SPDN 就可以表示出三角形 PCD 的面积，运用顶点式就可以求出结论解答： 解：（1）在 RtAOB 中， OA=1，tanBAO= =3，OB=3OA=32DOC 是由 AOB 绕点 O 逆时针旋转 90而得到的，DOCAOB，OC=OB=3，OD=OA=1，A、B、C 的
3、坐标分别为（1，0） ， （0，3） （ 3，0） 代入解析式为，解得： 抛物线的解析式为 y=x22x+3；（2） 抛物线的解析式为 y=x22x+3，对称轴 l= =1，E 点的坐标为（1，0） 如图，当CEF=90时，CEF COD此时点 P 在对称轴上，即点 P 为抛物线的顶点，P（ 1，4 ） ；当 CFE=90时，CFE COD，过点 P 作 PMx 轴于点 M，则 EFCEMP ，MP=3EMP 的横坐标为 t，P（t，t 22t+3） P 在二象限，PM=t22t+3，EM=1t，t22t+3=3（1t） ，3解得：t 1=2，t 2=3（与 C 重合，舍去） ，t=2 时，y
4、=（2） 22（ 2）+3=3P（2，3） 当CEF 与 COD 相似时， P 点的坐标为：（ 1，4）或（2，3） ；设直线 CD 的解析式为 y=kx+b，由题意，得，解得： ，直线 CD 的解析式为： y=x+1设 PM 与 CD 的交点为 N，则点 N 的坐标为（t， t+1） ，NM=t+1PN=PMNM=t22t+3（t+1）=t 2 +2SPCD=SPCN+SPDN，SPCD=PMCM+PNOM=PN（ CM+OM）=PNOC=3（t 2 +2）=（t+） 2+ ，当 t=时，S PCD 的最大值为 点评： 本题考查了相似三角形的判定及性质的运用，待定系数法求函数的解析式的运用，
5、4三角形的面积公式的运用，二次函数的顶点式的运用，解答本题时，先求出二次函数的解析式是关键，用函数关系式表示出PCD 的面积由顶点式求最大值是难点（2013衡阳）如图，已知抛物线经过 A（1，0） ，B（0，3）两点，对称轴是x=1（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）动点 Q 从点 O 出发，以每秒 1 个单位长度的速度在线段 OA 上运动，同时动点 M 从 M 从 O 点出发以每秒 3 个单位长度的速度在线段 OB 上运动，过点 Q 作 x 轴的垂线交线段 AB 于点 N，交抛物线于点 P，设运动的时间为 t 秒当 t 为何值时，四边形 OMPQ 为矩形；AON 能否为等腰三角形？若能，求
6、出 t 的值；若不能，请说明理由考点： 二次函数综合题分析： （1）利用顶点式、待定系数法求出抛物线的解析式；（2）当四边形 OMPQ 为矩形时，满足条件 OM=PQ，据此列一元二次方程求解；AON 为等腰三角形时，可能存在三种情形，需要分类讨论，逐一计算解答： 解：（1）根据题意，设抛物线的解析式为：y= a（x +1） 2+k，点 A（1，0） ，B（0，3）在抛物线上， ，解得：a= 1，k=4，5抛物线的解析式为：y=（x+1 ） 2+4（2）四边形 OMPQ 为矩形，OM=PQ，即 3t=（t+1 ） 2+4，整理得：t 2+5t3=0，解得 t= ，由于 t= 0，故舍去，当 t=
7、 秒时，四边形 OMPQ 为矩形；RtAOB 中，OA=1，OB=3，tanA=3若AON 为等腰三角形，有三种情况：（I）若 ON=AN，如答图 1 所示：过点 N 作 NDOA 于点 D，则 D 为 OA 中点，OD= OA= ，t= ；（II）若 ON=OA，如答图 2 所示：过点 N 作 NDOA 于点 D，设 AD=x，则 ND=ADtanA=3x，OD=OA AD=1x，在 RtNOD 中，由勾股定理得： OD2+ND2=ON2，即（1x） 2+（3x ） 2=12，解得 x1= ，x 2=0（舍去） ，x= ，OD=1x = ，t= ；（III ）若 OA=AN，如答图 3 所示
8、：6过点 N 作 NDOA 于点 D，设 AD=x，则 ND=ADtanA=3x，在 RtAND 中，由勾股定理得： ND2+AD2=AN2，即（x） 2+（3x） 2=12，解得 x1= ，x 2= （舍去） ，OD=1x=1 ，t=1 综上所述，当 t 为 秒、 秒， （1 ）秒时，AON 为等腰三角形点评： 本题考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、解一元二次方程、勾股定理、解直角三角形、矩形性质、等腰三角形的性质等知识点，综合性比较强，有一定的难度第（2）问为运动型与存在型的综合性问题，注意要弄清动点的运动过程，进行分类讨论计算（2013，娄底）如图，在 中， ， ，高 ，矩形 的A
9、BC 45BC4ADEFPQ一边 在 边上， 、 分别在 、 上， 交 于点 .QPEFAH（1）求证： ；EH（2）设 ，当 为何值时，矩形 的面积最大？并求出最大面积；xEFPQ（3）当矩形 的面积最大时，该矩形 以每秒 1 个单位的速度沿射线 匀速PQFDA向上运动（当矩形的边 到达 点时停止运动） ，设运动时间为 秒，矩形 与AtEFPQ重叠部分的面积为 ，求 与 的函数关系式，并写出 的取值范围.ABC St（2013湘西州）如图，已知抛物线 y= x2+bx+4 与 x 轴相交于 A、B 两点，与 y 轴相交于点 C，若已知 A 点的坐标为 A（2，0） （1）求抛物线的解析式及它
10、的对称轴方程；7（2）求点 C 的坐标，连接 AC、BC 并求线段 BC 所在直线的解析式；（3）试判断AOC 与COB 是否相似？并说明理由；（4）在抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使ACQ 为等腰三角形？若不存在，求出符合条件的 Q 点坐标；若不存在，请说明理由考点： 二次函数综合题分析： （1）利用待定系数法求出抛物线解析式，利用配方法或利用公式 x= 求出对称轴方程；（2）在抛物线解析式中，令 x=0，可求出点 C 坐标；令 y=0，可求出点 B 坐标再利用待定系数法求出直线 BD 的解析式；（3）根据 ，AOC=BOC=90，可以判定 AOCCOB；（4）本问为存在型问题若ACQ 为
11、等腰三角形，则有三种可能的情形，需要分类讨论，逐一计算，避免漏解解答： 解：（1）抛物线 y= x2+bx+4 的图象经过点 A（ 2，0） ， （2） 2+b（ 2）+4=0 ，解得：b= ，抛物线解析式为 y= x2+ x+4，又 y= x2+ x+4= （x3） 2+ ，对称轴方程为：x=3（2）在 y= x2+ x+4 中，令 x=0，得 y=4， C（0，4） ；8令 y=0，即 x2+ x+4=0，整理得 x26x16=0，解得：x=8 或 x=2，A（ 2，0） ，B（8，0） 设直线 BC 的解析式为 y=kx+b，把 B（8，0） ，C（0，4）的坐标分别代入解析式，得：，解
12、得 k= ，b=4，直线 BC 的解析式为： y= x+4（3）可判定AOCCOB 成立理由如下：在AOC 与COB 中，OA=2，OC =4，OB=8， ，又AOC=BOC=90，AOCCOB（4）抛物线的对称轴方程为：x=3，可设点 Q（3，t） ，则可求得：AC= = = ，AQ= = ，CQ= = i）当 AQ=CQ 时，有 = ，25+t2=t28t+16+9，解得 t=0，Q1（3 ，0） ；ii）当 AC=AQ 时，有 = ，9t2=5，此方程无实数根，此时 ACQ 不能构成等腰三角形；iii）当 AC=CQ 时，有 = ，整理得：t 28t+5=0，解得：t=4 ，点 Q 坐标
13、为：Q 2（3，4+ ） ，Q 3（3，4 ） 综上所述，存在点 Q，使ACQ 为等腰三角形，点 Q 的坐标为：Q 1（3，0） ，Q 2（3，4+ ） ，Q3（3，4 ） 点评： 本题考查了二次函数与一次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形的判定、勾股定理、等腰三角形的判定等知识点难点在于第（4）问，符合条件的等腰三角形ACQ 可能有多种情形，需要分类讨论（2013益阳）抛物线 y=2（x3） 2+1 的顶点坐标是（ ）A（3，1） B（3，1 ） C（3 ，1 ） D（3 ， 1）考点： 二次函数的性质分析： 根据顶点式解析式写出顶点坐标即可解答： 解：抛物线 y=2（x 3） 2+1
14、 的顶点坐标是（ 3，1） 故选 A10点评： 本题考查了二次函数的性质，熟练掌握顶点式解析式是解题的关键（2013益阳）阅读材料：如图 1，在平面直角坐标系中，A、B 两点的坐标分别为A（x 1， y1） ，B（x 2，y 2） ，AB 中点 P 的坐标为（x p，y p） 由 xpx1=x2xp，得 xp= ，同理 ，所以 AB 的中点坐标为 由勾股定理得 AB2=，所以 A、B 两点间的距离公式为注：上述公式对 A、B 在平面直角坐标系中其它位置也成立解答下列问题：如图 2，直线 l：y =2x+2 与抛物线 y=2x2 交于 A、B 两点，P 为 AB 的中点，过 P 作 x 轴的垂线交抛物线于点 C（1）求 A、B 两点的坐标及 C 点的坐标；（2）连结 AB、AC，求证ABC 为直角三角形；（3）将直线 l 平移到 C 点时得到直线 l，求两直线 l 与 l的距离考点： 二次函数综合题分析： （1）根据 y=2x+2 与抛物线 y=2x2 交于 A、B 两点，直接联立求出交点坐标，进而得出 C 点坐标即可；（2）利用两点间距离公式得出 AB 的长，进而得出 PC=PA=PB，求出PAC+PCB=90，即
