1、2000 年全国硕士研究生入学统一考试数学( 一)试卷一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上)(1) 120xd=_.(2)曲面 231yz在点 (,2)的法线方程为_.(3)微分方程 0的通解为_.(4)已知方程组123210xa无解,则 a= _.(5)设两个相互独立的事件 A和 B都不发生的概率为 19, A发生 B不发生的概率与 B发生 A不发生的概率相等,则()PA=_.二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设 )fx、 (g是恒大
2、于零的可导函数,且 ()()0fxgfx,则当 axb时,有(A) ()bfx(B) ()afg(C) (D)(2)设 221:(0),SyzaS为 在第一卦限中的部分 ,则有(A) 14SSxd (B) 14SSydx(C) 1z (D) 1zyzd(3)设级数 nu收敛,则必收敛的级数为(A) 1()n (B) 21nu (C) 2n (D) 1()n (4)设 维列向量组 1,()mn 线性无关,则 维列向量组 ,m 线性无关的充分必要条件为(A)向量组 1, 可由向量组 1m 线性表示 (B)向量组 m 可由向量组 , 线性表示(C)向量组 1, 与向量组 1m 等价 (D)矩阵 ()
3、mA 与矩阵 (,)B 等价(5)设二维随机变量 (,)XY服从二维正态分布,则随机变量 XY与 不相关的充分必要条件为(A) ()E(B) 222()()(EEY(C) 22() (D) 2三、(本题满分 6 分)求142esinlim.xx四、(本题满分 5 分)设 ,(xzfyg,其中 f具有二阶连续偏导数 ,具有二阶连续导数,求2.zxy五、(本题满分 6 分)计算曲线积分 24LxdyIA,其中 L是以点 (1,0)为中心 ,R为半径的圆周 (1),取逆时针方向.六、(本题满分 7 分)设对于半空间 0x内任意的光滑有向封闭曲面 ,S都有 2()()e0,xxfdyzxfdzdyA其
4、中函数()fx在 ,)内具有连续的一阶导数,且 0lim()1,xf求 .七、(本题满分 6 分)求幂级数 13(2nnx的收敛区间,并讨论该区间端点处的收敛性.八、(本题满分 7 分)设有一半径为 R的球体 0,P是此球的表面上的一个定点,球体上任一点的密度与该点到 0P距离的平方成正比( 比例常数 0k),求球体的重心位置.九、(本题满分 6 分)设函数 fx在 0,上连续,且 00(),()cos0.fxdfxd试证:在 (,)内至少存在两个不同的点 12,使12().f十、(本题满分 6 分)设矩阵 A的伴随矩阵 *10,38且 13ABE,其中 为 4 阶单位矩阵,求矩阵 B.十一、
5、(本题满分 8 分)某适应性生产线每年 1 月份进行熟练工与非熟练工的人数统计,然后将 16熟练工支援其他生产部门,其缺额由招收新的非熟练工补齐.新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有 25成为熟练工.设第 n年 1 月份统计的熟练工与非熟练工所占百分比分别为 nx和 ,y记成向量 .nxy(1)求 1ny与 n的关系式并写成矩阵形式: 1.nnxyA(2)验证 1241,是 A的两个线性无关的特征向量,并求出相应的特征值.(3)当 12xy时,求 1.nxy十二、(本题满分 8 分)某流水线上每个产品不合格的概率为 (01)p,各产品合格与否相对独立,当出现 1 个不合格产品时即停机检修.
6、设开机后第 1 次停机时已生产了的产品个数为 X,求 的数学期望 ()EX和方差 ()D.十三、(本题满分 6 分)设某种元件的使用寿命 X的概率密度为2()e(;)0xfx,其中 0为未知参数.又设 12,nx 是 X的一组样本观测值,求参数 的最大似然估计值.2001 年全国硕士研究生入学统一考试数学( 一)试卷一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上)(1)设 e(sincos)(xyabxa为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解 ,则该方程为_.(2) 22zr,则 (1,2)divgr= _.(3)交换二次积分的积分次序: 0ydx
7、f_.(4)设 24AEO,则 1()A= _.(5) ()DX,则根据车贝晓夫不等式有估计 2)(XEP _.二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设函数 )(xf在定义域内可导, )(xfy的图形如右图所示 ,则 )(xfy的图形为(A) (B) (C) (D)(2)设 ),(yxf在点 (0,)的附近有定义,且 1)0,(3),0(yxff则(A) (0,)|3dzd(B)曲面 ,f在 (,)f处的法向量为 ,(C)曲线 )xy在 0,处的切向量为 103(D)曲线 (,zf在
8、()f处的切向量为 ,(3)设 0)(f则 )(xf在 =0 处可导 (A) 21coslimh存在 (B) 0(1e)limhhf存在(C) 0(in)f存在 (D) f2存在(4)设401,AB,则 A与 B(A)合同且相似 (B)合同但不相似(C)不合同但相似 (D)不合同且不相似(5)将一枚硬币重复掷 n次,以 X和 Y分别表示正面向上和反面向上的次数 , 则 X和 Y相关系数为 (A) -1 (B)0(C) 12 (D)1三、(本题满分 6 分)求 2arctnexd.四、(本题满分 6 分)设函数 ,(yxfz在点 (1,)可微,且 3)1,(2),(1),(yxfff , ),(
9、)(xfx,求 13)(xd.五、(本题满分 8 分)设 )fx 21arctn0 x,将 )(xf展开成 的幂级数,并求 124)(nn的和.六、(本题满分 7 分)计算 222()(3)LIyzdxdyxdzA,其中 L是平面 2zyx与柱面 1yx的交线,从Z轴正向看去 ,为逆时针方向.七、(本题满分 7 分)设 )xf在 (1,内具有二阶连续导数且 0)(xf.证明:(1)对于 ,0(,存在惟一的 1,使 )(xf= 0+ )(xf成立.(2) 5.lim0x.八、(本题满分 8 分)设有一高度为 th(为时间)的雪堆在融化过程,其侧面满足方程 )(2)(2thyxtz(设长度单位为厘
10、米,时间单位为小时), 已知体积减少的速率与侧面积成正比 (系数为 0.9),问高度为 130 厘米的雪堆全部融化需多少时间?九、(本题满分 6 分)设 12,s 为线性方程组 AXO的一个基础解系,12123121,ssttt,其中 21,t为实常数,试问 21,t满足什么条件时 1s 也为 AXO的一个基础解系?十、(本题满分 8 分)已知三阶矩阵 A和三维向量 x,使得 2,Ax线性无关, 且满足 32Axx.(1)记 2(,)Px求 B使 1P.(2)计算行列式 E.十一、(本题满分 7 分)设某班车起点站上客人数 X服从参数为 (0)的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为 (01),
11、p且中途下车与否相互独立. Y为中途下车的人数,求:(1)在发车时有 n个乘客的条件下,中途有 m人下车的概率.(2)二维随机变量 ()的概率分布.十二、(本题满分 7 分)设 2,XN抽取简单随机样本 12,(2),nX样本均值 nii1, niiiY1(,求 .EY2002 年全国硕士研究生入学统一考试数学( 一)试卷一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上)(1)exd2ln= _.(2)已知 2610y,则 ()y=_.(3) 2满足初始条件 1,02的特解是 _.(4)已知实二次型 32311321321 44)(),( xxxaxf 经正交
12、变换可化为标准型 216yf,则a=_.(5)设随机变量 ),(2NX,且二次方程 02Xy无实根的概率为 0.5,则 =_.二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)考虑二元函数 ),(yxf的四条性质: ),(yxf在点 0处连续, ),(yxf在点 ),(0处的一阶偏导数连续, 在点 )(处可微, 在点 处的一阶偏导数存在.则有:(A) (B) (C) (D) (2)设 0nu,且 1limn,则级数 )1()1nnu为(A)发散 (B)绝对收敛(C)条件收敛 (D)收敛性不能判定.
13、(3)设函数 )(xf在 R上有界且可导,则(A)当 0li时,必有 0)(lixfx (B)当 )(limxfx存在时,必有 0)(limxfx(C) 当 )(m0fx时,必有 0 (D) 当 0存在时,必有 0.(4)设有三张不同平面,其方程为 iiii dzcybxa( 3,21)它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为 2,则这三张平面可能的位置关系为(5)设 X和 Y是相互独立的连续型随机变量,它们的密度函数分别为 )(xfX和 yfY,分布函数分别为 )(xFX和 yY,则(A) )(xfX yfY必为密度函数 (B) )(fXyY必为密度函数(C) F 必为某一随机变量
14、的分布函数 (D) xF必为某一随机变量的分布函数.三、(本题满分 6 分)设函数 xf在 0的某邻域具有一阶连续导数,且 0)(f,当 h时,若 )(0)2(hofhbfaf,试求 ba,的值.四、(本题满分 7 分)已知两曲线 (xfy与 2arctn0extd在点 (0,)处的切线相同 .求此切线的方程,并求极限 )2(limnf.五、(本题满分 7 分)计算二重积分 2max,eyDd,其中 10,|),(yxyD.六、(本题满分 8 分)设函数 xf在 R上具有一阶连续导数, L是上半平面( y0)内的有向分段光滑曲线,起点为( ba,),终点为( dc,).记 dxyfdxyfI
15、1)(122 ,(1)证明曲线积分 I与路径 无关.(2)当 cab时,求 的值.七、(本题满分 7 分)(1)验证函数 03)!(nxy( )满足微分方程 exy.(2)求幂级数 03)!()n的和函数.八、(本题满分 7 分)设有一小山,取它的底面所在的平面为 xoy面,其底部所占的区域为 75|),(2xyyxD,小山的高度函数为 ),(yxhyx25.(1)设 0M为区域 D上一点,问 ),(yxh在该点沿平面上何方向的方向导数最大?若此方向的方向导数为),(0yxg,写出 ),(yxg的表达式.(2)现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚下寻找一山坡最大的点作为攀登的起点 .也就
16、是说要在 D的边界线上找出使(1) 中 ,达到最大值的点.试确定攀登起点的位置.九、(本题满分 6 分)已知四阶方阵 1234(,)A, 1234,均为四维列向量,其中 234,线性无关, 123.若1234,求线性方程组 x的通解.十、(本题满分 8 分)设 ,AB为同阶方阵,(1)若 相似,证明 ,的特征多项式相等.(2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立.(3)当 ,为实对称矩阵时,证明(1)的逆命题成立.十一、(本题满分 7 分)设维随机变量 X的概率密度为()fx1cos02 xx其对 X独立地重复观察 4 次,用 Y表示观察值大于 3的次数,求 2Y的数学期望.十二、(本
17、题满分 7 分)设总体 X的概率分布为0 1 2 3P2)(21其中 ( 102)是未知参数,利用总体 X的如下样本值 3,1,3,0,3,1,2,3.求 的矩估计和最大似然估计值.2003 年全国硕士研究生入学统一考试数学( 一)试卷一、填空题(本题共 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分.把答案填在题中横线上) (1) )1ln(02coslimxx = .(2)曲面 yz与平面 0zy平行的切平面的方程是 .(3)设 )(cs02 xan ,则 2a= .(4)从 2R的基 121,到基 12,的过渡矩阵为 .(5)设二维随机变量 (,)XY的概率密度为 (,)fxy 60 1xy其
18、,则 1YXP .(6)已知一批零件的长度 (单位 :cm)服从正态分布 ),(N,从中随机地抽取 16 个零件,得到长度的平均值为 40 (cm),则的置信度为 0.95 的置信区间是 .(注:标准正态分布函数值 .9541,9750)6.1二、选择题(本题共 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设函数 ()fx在 ),内连续,其导函数的图形如图所示 ,则 ()fx有(A)一个极小值点和两个极大值点(B)两个极小值点和一个极大值点 (C)两个极小值点和两个极大值点(D)三个极小值点和一个极大值点(2)
19、设 ,nncba均为非负数列,且 0limna, 1linb, nclim,则必有(A) 对任意 成立 (B) 对任意 成立(C)极限 nclim不存在 (D)极限 ncli不存在(3)已知函数 (,)fxy在点 (0,)的某个邻域内连续,且 1)(,20, yxfyx ,则(A)点 0,不是 的极值点(B)点 ()是 (,)f的极大值点(C)点 是 xy的极小值点(D)根据所给条件无法判断点 (0,)是否为 (,)fxy的极值点(4)设向量组 I: 12,r 可由向量组 II: 12s 线性表示,则(A)当 sr时,向量组 II 必线性相关 (B)当 r时,向量组 II 必线性相关(C)当 时,向量组 I 必线性相关 (D)当 时,向量组 I 必线性相关
