1、2010年10月 第27卷第5期 长治学院学报 Journal of Changzhi University 0ct2010 Vo127No5 关于泛函g(x，t，U，U )=1 U I 2+2Z( ) U) 的极大值原理 焦云芳 (晋城职业技术学院，山西长治046000) 摘要：文章讨论了拟线性抛物型方程届(u)= “)n(o， )内含有梯度的泛函P(x，t，u )=I V“I。+2z()F(“) 在第一边值问题中满足极大值原理的条件：F(u)= s) ，11CR 。 关键词：拟线性抛物型方程；极大值原理；梯度 中图分类号：01741 文献标识码：A 文章编号：16732014(2010)0
2、5003602 由于非线性抛物型方程一般没有解的极值原理，常常转 化为研究其解的尸-泛函的极值原理，在文献 中Sperb得到 了u,=ait+IIt)n X(0， )内解的泛函： ( ，t)= (U)“ + (U) 及 P(x，t， ，u )=l 7 U I。+2Z(t)F(it) ( 在各种边值问题中满足极大值原理的条件。同时也提出了如 何构造有关方程： Itt=V M ，t，“) 及其边值问题解的合适泛函p(x， ，t)使它满足极值原 理。 基于此，本文考虑了拟线性抛物型方程： (U)=Au ) QX(0，T) 含有梯度的泛函： P(x，t， ，u )=l V U l +2Z(t) ) 在
3、第一边值问题中满足极大值原理的条件： ，l ( M)=l s)ds，nCR ) J 0 考虑Dirichlet问题： (“)= ) QX(0， )内 u=O QX(0， )上 (1) 【u( ，0)= 0( ) 其中11CR ，我们的目的是导出问题(1)解的含梯度泛函 P(x，t，u，u )：l V u I +2Z(t)F( )(2) 的极大值原理，其中 引理假设： uc3(n(0，T)n c2(n X(0，T1) 是问题(1)的充分光滑正解，若下列条件成立： 1)Q是凸区域； 2 2，(0)=0 (厂i0)； 上 上 3)3 d0，使得4(F ) + F 0 00； 那么：函数： P(x，t
4、，It，“ )=l 7 M I +2Z(t) U) 的极大值将在初始时刻t=0或7 u=0处获得。 证明：首先来证明 P(x，t，u，u )=f 7“f +2Z(t) U) 满足抛物型方程的极大值原理，直接计算P有： P,=2u (Itt) +2ZF+2Zfu 卢 =2 J 7 J V + 厂J 7“j + r +2ZfAu+2Zfagit，l V u l (3) 又：Pk=2u *+2ZfV u (4) AP=P, =2u U +2u (Au) +2zf J Vn J +2zfait(5) 由式子(3)和(5)结合u u)得： P书 P =2u “ +2 I V H I 一2厂l V u I
5、 (6) 由(2)，(4)式结合许瓦兹不等式(6)式可写成： 一2y(z-1) 收稿日期：201(卜_08 4 作者简介：焦云芳(1976一)，女，晋城泽州人，讲师，硕士，主要从事基础数学研究。 36 焦云芳关于泛函P(x，t，U，Uk)=I 7U l 2+2Z(t)F(u)的极大值原理 一2Fz( 1)【4( )r+ ， + u V u 1 2(7) 由条件2)和3)知，(7)式右端非负，由题设和基本极大 值原理可知：P的极大值可能在下列之处获得： (1)t=O (2)an (3)7u=O( Q) 由于在an(o，r，)上“：0，故有l 1：I I，因此在 I帆I dn(0， )上有： =
6、( OU)z+2ZF=2 因为u= u+(一1)H + ，其中A是拉氏算子，A on 一 是s 中的拉氏算子， 是n平均曲率，且在aQ(0， )上 u=0，故有： 一(N-1)日 因此： ：一2(-1埘(粤)： 所以： 0 强极大值原理告诉我们：P的极大值不能在dn(0，T) 获得，引理得证。 定理设u是问题(1)的充分光滑正解，且UC，(Q (0，T)nC：(Q(0，T)，假设下列条件成立： 1)Q是凸区域； 2 0)=0-厂10； 3)j OL0，使得： 上 上 4(F )，+OrF O O ，1， z为问题Z(z 1)d：z的解； 【Z01 4 0初值u。满足 “0 )-0 Q内 那么函
7、数 p(x，t，u，Uk)：l 7“I +2Z(t) U) 的极大值将在初始时刻t=0获得。 证明：由引理我们可证得P的极大值在t=0或V u=0 (了n)获得，假设P在au=O( n)处获得极大值，则 在粕处由条件4)可知at0，因此： P,2ZF 用一O代替Ot就有： P一2cZ(Z-1)F0 所以，尸的极大值将在初始时刻t=0获得。 参考文献： l 1 JRPSperbNonlinear diffusionreaction problems with timedep endent diffusion coefficientJApp1Math Phys【ZAMP)，1979，(30)：66
8、3-675 【2 jRPSperb Growth estimates in diffusionreaction problemsArch rational MechAna11981，127145 3林长好一类二阶抛物方程解的极值原理和界冲山大 学学报，1986，(3)：5054 1 4 JZhang Hailiang，Zhang WuBlowup Rate of Positive solution of uniformly parabolic equation with nonlinear boundary conditionsJAnnofDiffEqs2003，19(3)： 439-444
9、The Maximum Principle of the Function P(x，t， ， )=I f 2+22r( ) ) JIAO Yunfang (Jincheng Vocational and Technical College，lincheng Shanxi 046000) Abstract：This thesis discusses the maximum principle of the the grade functional P(x，t，u， )=l V u I 2+2Z (f)，(M) ( 一厂)of the quasilinear parabolic equation；3,(u)=au+flH) Q X(0， )at the first initial boundaryval ue problem Key words：quasilinear parabolic equation；maximum principle；grade (责任编辑赵巨涛) 37
