1、Chapter 2 静电场与恒定电场,本章基本内容：,(1）静电场与恒定电场的基本方程,（2）静电场与恒定电场的边界条件,（3）静电场与恒定电场基本解法,本章重、难点：,（1）基本定律和基本方程：,库仑定律与高斯定律，电流连续性定律,泊松方程与拉普拉斯方程.,唯一性定理;,不同介质分界面的边界条件,（2）难 点：,不同条件下电场和电位的计算方法矢量的微分与积分,本章具体内容：,2.1 静电场基本方程,2.2 电位的引入,2.3 泊松方程和拉普拉斯方程,2.4 唯一性定理,2.5介质中的高斯定理.边界条件,2.6 恒定电场的基本方程,2.7 导体系统的电容,2.8 电场能与静电力,2.1 电场强
2、度,一、库仑定律(Coulombs Law),如图示，设真空中两点电荷q1和q2间的距离为R，则点电荷q2所受到q1的作用力为：,其中：,是从q1指向q2的单位矢量，,真空中的介电常数,值得注意的是，库仑定律是一个实验定律。实验证明：对可测定的R值，在1/109米的精度下证明库仑定律是满足平方反比规律的，它仅在带电体尺度远小于它们之间的距离时才严格成立。,二、电场强度（electric field intensity）,设在电场中某点处，一个试验电荷受力为F，则该点的电场为：,其中：F的单位为牛顿（N）；q的单位为库仑（C）；E的单位为伏特/米（V/m）,指的是该电荷的引入不致影响场源电荷的状
3、态所以，在E的定义式中，令q0，由电场强度的定义可以得出：,实验电荷：,1、 点电荷的电场强度：,考虑到算符,点电荷的电场强度可表示为：,令场坐标（x，y，z）或r，源点的坐标为（x,y,z)或 r，则点电荷的场又可表示为:,2、 电荷分布于某一区域时的电场强度表达式,（1）离散电荷分布：,（2）体电荷分布：,体电荷密度定义为,其中（x，y，z）为体电荷密度。,(3) 面电荷分布：,面电荷密度s定义为：,（4）线电荷分布：,线电荷密度l定义为:,example 2.1,有限长直线l上均匀分布线密度为l的电荷，求线外任一点的电场强度。,如图所示,解:,由于直线电荷的场具有以直线为对称轴的对称性，
4、为了分析问题的方便，采用圆柱坐标，令线电荷与z轴重合，原点位于直线的中点，取场点坐标为P(r,z)；用dz表示线元，其坐标为（0，0，z）。线电荷元ldz在P点的电场沿圆柱坐标的分量为 :,考虑到,即,值得注意的是，对合成场的积分是对源点的积分，而场点则是常数。因而,对上面两式从1到2积分，有,当带电直线为无限长时，有,得到,计算一个均匀分布电荷的圆盘轴线上任一点的电场强度，圆盘半径为a，电荷密度为s(C/m2)。,example 2.2,将圆盘划分成半径为r，宽度为dr的细圆环，如下图所示，显然细圆环，在圆盘轴线上产生的电场只有z方向分量，即：,解：,其中,代入，有,再对圆环从0a积分，得到
5、,特别是，当a趋于无限大时（无穷大带电平面）有：,example 2.3,真空中一个带电导体球，半径为a。，所带电荷量为Q，试计算球内、外的电场。,孤立带电导体球,导体的电荷是分布于导体表面的。孤立的带电导体球的电荷必定均匀分布于球表面上，电荷面密度为常量，有,解:,采用球坐标，令极轴通过场点P，P点处的电场为,因不同的面元点电荷在场点产生的合成场只沿极轴方向，即z方向，故矢量求积分时仅取z分量积分,由于,所以,（ra),对于ra的球内区域积分的下限应改为(a-r)、这样积分结果,(ra),带电导体球的电场分布,真空中半径为a的介质球内均匀充满了电荷，体电荷密度0。试计算球内、外的电场,exa
6、mple 2.4,体电荷分布的球,设想划分出一个半径为r，厚度为dr的微分球壳，如右图所示。球壳内的电荷量为:,解：,当dr很小时可认为dq均匀分布在薄层球面上,等效的面电荷密度为,dq在rr区域内的电场为,在rr区域内dE0,将球划分为许多这样的微分球壳，然后分别将它们在球内(ra)和球外(ra)的场叠加,可求出整个体电荷分布的球在球外的电场为:,电场强度在球面处没有发生跃变。为什么？,2.2 高斯定律,电场E沿闭合面的通量恒等于闭合面所包围的电量，与真空中的介电常数的比值，即,1、高斯定律,利用散度定理，,得出高斯定理的微分形式:,（因积分区间是任意的）,2、高斯定律的证明,考虑一个任意形
7、状的闭合面对一点P 所张的立体角，如下图所示。可以看出，这里有两种情况；一种是点P在闭合面内，此时可以用P点为圆心，任意半径为一球面（如图（a）所示），则闭合面上任一面元ds对P点所张立体角也就是它对P 点构成的锥体在球面上割出一块球面元的立体角。可见整个闭合面对P点所张的立体角和球面对O点所张立体角是相等的，即为4。,立体角,以o点为球心，o点到ds的距离R为半径作一个面取ds在球面上的投影 与R2的比值，即为面元对o点所张立体角,球面上面元对球心 的立体角,另一种情况是P点在闭合面外，如图（b）所示，不难看出它所张的立体角为零，这是因为闭合面的两部分表面的立体角等值异号的原因。,现在证明高
8、斯定律。先研究一个点电荷q(在闭合面内)的情况,上式中间部分积分号内是面元对点电荷q所张的立体角，积分是闭合面对q所张的立体角。由于闭合面对面内一点的立体角为4，上式变为：,当点电荷在闭合面外时，则由于闭合面对面外点的立体角为零，故闭合面的电场的通量为零。,如果闭合面内有N个点电荷q1、q2、.qn时，则从闭合面穿出的通量等于各点电荷产生的通量的代数和，即,当把上式的点电荷q用体电荷密度、面电荷密度或线电荷密度代替，就可将上式推广应用与体电荷、面电荷和线电荷的情况。,对于体电荷，闭合面s包围的总电荷为,因此有,于是得到高斯定律的微分形式,3、电位移矢量与高斯定律,电位移矢量(电通密度),当我们
9、研究物质空间内的电场时，仅用电场强度一个场变量不能完全反映物质内发生的静电现象。,因为当物质内存在电场时，构成物质的带电粒子将在电场强度的作用下出现运动或移动、这就需要另一个场变量夹描述这一现象的本质。电介质内的束缚电荷在电场作用下会出现位移现象。一般用单位面积上位移穿过的束缚电荷量来表示电场的另一基本变量，称为电通量密度(或电位移)，并用D表示其单位 为Cm 2。,早期得出关于电位移的性质如下：,1、它与介质无关；,2、它的大小仅与产生它的源电荷有关；,3、如果一个点电荷被一个半径为R的球面所包围，则电通量垂直且均匀通过该球面,4、电通密度（单位面积上所通过的电通量）反比于R2,注：D的面积
10、分 称为电通量,根据电场强度的性质，可很容易的得出真空中电位移的定义：,因而，点电荷周围的电位移为：,用电位移矢量表示的高斯定理,其微分形式：,高斯定律应用举例,半径为a的导电球壳上均匀分布面密度为的电荷，求球壳内外的电场强度和电位。,example 2.5,由于在导电球壳上，电荷是均匀分布的，因此电场具有球对称分布的特点，利用高斯定律，使圆心与导电球壳圆心重合，半径为r的球面，称为高斯面，求电场对高斯面的面积分，对于相同半径的高斯面，电场的模相等，方向与高斯面的方向相同，因此，当ra时，有,解：,当 ra 时，有,example 2.6,求无限长直线电荷的电场。,设无限长直线电荷的线电荷密度
11、为l，,与Z轴重合，如图所示,解：,做半径为r，长度为单位1的圆柱封闭面，显然由于电荷是轴对称分布的，因此电场分布也是轴对称的，显然，圆柱封闭面的顶面和底面的电场的通量为0，侧面的电场通量为,从而得到，无限长直线电荷的电场为：,电位移分布为,可以看出，该问题用高斯定律比用库仑定律直接求解要简便的多。,下图是无限长直线电荷的电场（电力线）分布,2.3 静电场的基本方程. 电位函数,1、静电场的基本方程,在点电荷q的电场中任取一条曲线连接A、B两点，如图所示。求场变量E(r)沿此曲线的线积分：,计算电场的线积分,当积分路径是闭合回路，即A、B两点重合时、得到,上式虽然是从点电荷的电场中得到的结论，
12、但很容易推广至任意电荷分布的电场中，所以上式表示了静电场的一个共同特性一守恒持性。,以电场力作功为例，当一试验电荷q在电场中沿闭合回路移动一周时，电场力所作的功为,利用斯托克斯定理上式可以写成,由于上式中回路c及其所限定的面积S是任意的，故有,静电场的两个基本方程：,由于静电场是一个保守场，因此，可以用一个标量场的梯度来表示（矢量恒等式），这个标量场我们称为电位，它定义为：,显然，由于电位是一个标量函数，其求解过程一般来说较之电场来说要容易。因此，在许多静电场问题中，人们往往先求出电位函数，再根据电场和电位的关系求出电场强度。在直角坐标系下，有,2、电位的定义,2、电场与电位的积分关系,电场沿
13、任意方向的投影为，,从而可以导出电场与电位的积分关系：,因此，A、B两点的电位差为：,如果令B点电位为零，则有：,值得注意的是，电位的零点可以任意确定的。,3、源与电位的关系：,由电场与电荷分布的关系，可以很容易的得到电位与源电荷的关系。,对于点电荷，有,即：,（1）点电荷：,（2） 体电荷：,（3） 面电荷：,（4） 线电荷：,example 2.7,证明导体表面的电荷密度s与导体外的电位函数有如下关系,其中 是电位对表面外法线方向的方向导数。,证明：,预备知识1：带电导体内静电场为零，导体是一等位体,预备知识2：在导体外表面附近，可将导体面视为无穷大。因此可用高斯定律求附近的电场。,根据高
14、斯定律有,即,根据电场与电位的关系，可得：,证毕,请认真阅读P47例 3.3.2,已知无限长同轴电缆内外导体的半径分别为a和b内外导体之间为空气媒质,如图,example 2.8,(a) 已知内导体的外表面和外导体的内表面的面电荷密度分别 为+s1和-s2 ，且均匀分布，外导体接地，求内导体部、内外导体之间及外导体外部三个区域内的电场E；,(b)若已知内外导体之间的电位差vabv0伏，外导体接地求内外导体间的电场E,同轴电缆中的电场,按题意，各区域的电场E分布具有轴对称性，可应用高斯定律求解。设高斯柱面半径为r，高为h,解,（a）() 内导体内部（ra）,由于电荷分布在内导体表上，故在内导体内
15、由高斯面所包围的自由电荷为零，导体内部的电场为零。,（ ）内外导体之间的区域 (arb),利用高斯定律,有,其中Sl为高斯圆柱面的侧面，S2和S3分别为高斯圆柱面的上底面和下底面。在同轴电缆内，轴向场Ez0及周向场E0，只存在径向电场Er，且径向场和上、下底面平行，于是,由高斯定律，应有,比较两式，有,arb,（）外导体外部的区域(rb)；,尽管内外导体表面电荷密度不同，但外导体内表面的电荷由内导体表面电荷感应产生，电量大小相同，符号相反，因此在高为h，半径rb构成的高斯曲面内，净电荷为零，因此外导体外的电场为零.,由于内外导体的电荷面密度不同、表面积也不同。因此在高为h，半径rb构成的高斯曲
16、面内，净电荷不为零。外部区域的电场为：,下面有两种不同的观点、得出不同的结果，试讨论并作出选择,(b) 已知题(a)中（）arb区域内电场的解为,根据电位差定义,所以,外导体外部的区域(rb)的电场怎样？,2.4 电偶极子(Electric Dipole), 一个分布电荷电场计算的特例,1、电偶极子,一对等值异号的电荷q相距一个很小的距离 l，称为电偶极子,定义电偶极矩：,其中 是从负电荷指向正电荷,电偶极子是一种重要的电荷系统。,2、电偶极子的场,对于电偶极子，我们所关心的是远离电偶极子的场 （即 rl）。,采用球坐标，将原点放在偶极子中心Z轴与 l 相重合，则有,其中：,因为rl ,将r1
17、,r2用二项式展开，并略去高次项，得,从而有：,即：,偶极子的电场可由上式取梯度得到，即：,或：,3、电偶极子场分布的特点:,观察电偶极子的电场和电位的表达式，可以看出，它们有如下特点：,电场按 r3呈反比变化，具有轴对称性,（1）电场:,（2）电位,电位与r2成反比变化。,由电位表达式可得到电偶极子的等位面方程,由电场强度的表达式可得到电偶极子的电力线方程,下图为电偶极子的电场和等电位线。,2.5 泊松方程与拉普拉斯方程,（Poissons and Laplaces equations）,由于静电场的基本方程是矢量方程，在静电场问题的很多情况下，直接求解这些矢量方程比较麻烦，引入了电位的概念
18、后，由于电位是标量，因此在一般情况下，求解比较方便。下面从静电场的基本方程和电位的定义，导出电位满足的微分方程。,1、泊松方程,当空间有源时（有电荷存在时），有：,考虑到：,代入，有：,即：,称为拉普拉斯算符,在直角坐标内为:,在柱坐标下,在球坐标下,各种坐标系中的拉氏算符的表达式,可查阅附录, 可见电位的泊松方程是一个非齐次二阶偏分微方程,2、拉普拉斯方程,当研究的空间区域为无源时，泊松方程变为拉普拉斯方程，即：,在直角坐标系下，有：,值得注意的是，在求解泊松方程和拉普拉斯方程时，一定要注意相应的边界条件。只有满足相应的边界条件，又满足相应的拉氏或泊松方程的解，才是所求定解问题的真正的解,在
19、二维和三维情况下，求解拉普拉斯方程和泊松方程将在以后章节介绍，下面仅对一维情况举例说明。,半径为a的带电导体球，已知球体的电位为V，设无穷远点的电位为0，求球外空间的电位函数。,example 2.9,由于球外空间无源，因此电位函数在球外满足拉普拉斯方程，同时由于球体的电位具有球对称性，因此电位函数只是半径r的函数，即,解：,边界条件为,对方程直接积分两次，有,利用边界条件，有,得到,最后有,3、点电荷的函数表示,在泊松方程中，电荷体密度(r) 的分布持性一般是空间坐标的连续函数。但将点电荷当作分布电荷看待时，其体密度(r)为 无穷大，同时它的电荷密度的体积分却又是一个有限值，为了描写点电荷体密度的这种特殊性，人们用函数表示。,对于位于空间坐标r处的单位点电荷， 定义函数为,(r一r)的量纲是1m3 。点电荷q的密度函数q (rr)，而位于r处的点电荷,故单位点电荷产生的电位函数应满足的泊松方程为,将泊松方程改写为：,令格林函数为：,因此格林函数所满足的方程为,由于我们已经确定了无界空间内，点电荷q1C所产生的电位为,格林函数在无界空间内的解为,可以直接求解(参见教材)格林函数所满足的方程,同样得到点电荷在无界空间的格林函数为,有关“格林恒等式”，将在下节介绍。,
