1、七桥问题七 桥 问 题 Seven Bridges Problem18 世 纪 著 名 古 典 数 学 问 题 之 一 。 在 哥 尼 斯 堡 的 一 个 公 园 里 ， 有 七 座 桥 将 普 雷 格 尔河 中 两 个 岛 及 岛 与 河 岸 连 接 起 来 (如 图 )。 问 是 否 可 能 从 这 四 块 陆 地 中 任 一 块 出 发 ， 恰好 通 过 每 座 桥 一 次 ， 再 回 到 起 点 ？ 欧 拉 于 1736 年 研 究 并 解 决 了 此 问 题 ， 他 把 问 题 归结 为 如 下 右 图 的 “一 笔 画 ”问 题 ， 证 明 上 述 走 法 是 不 可 能 的 。有
2、 关 图 论 研 究 的 热 点 问 题 。 18 世 纪 初 普 鲁 士 的 柯 尼 斯 堡 ， 普 雷 格 尔 河 流 经 此 镇， 奈 发 夫 岛 位 于 河 中 ， 共 有 7 座 桥 横 跨 河 上 ， 把 全 镇 连 接 起 来 。 当 地 居 民 热 衷 于 一 个难 题 ： 是 否 存 在 一 条 路 线 ， 可 不 重 复 地 走 遍 七 座 桥 。 这 就 是 柯 尼 斯 堡 七 桥 问 题 。 L.欧 拉 用 点 表 示 岛 和 陆 地 ， 两 点 之 间 的 连 线 表 示 连 接 它 们 的 桥 ， 将 河 流 、 小 岛 和 桥 简化 为 一 个 网 络 ， 把 七
3、 桥 问 题 化 成 判 断 连 通 网 络 能 否 一 笔 画 的 问 题 。 他 不 仅 解 决 了 此 问题 ， 且 给 出 了 连 通 网 络 可 一 笔 画 的 充 要 条 件 是 它 们 是 连 通 的 ， 且 奇 顶 点 (通 过 此 点 弧的 条 数 是 奇 数 )的 个 数 为 0 或 2。当 Euler 在 1736 年 访 问 Konigsberg, Prussia(now Kaliningrad Russia)时 ， 他发 现 当 地 的 市 民 正 从 事 一 项 非 常 有 趣 的 消 遣 活 动 。 Konigsberg 城 中 有 一 条 名 叫 Pregel
4、的 河 流 横 经 其 中 ， 这 项 有 趣 的 消 遣 活 动 是 在 星 期 六 作 一 次 走 过 所 有 七 座 桥 的 散 步 ， 每座 桥 只 能 经 过 一 次 而 且 起 点 与 终 点 必 须 是 同 一 地 点 。Euler 把 每 一 块 陆 地 考 虑 成 一 个 点 ， 连 接 两 块 陆 地 的 桥 以 线 表 示 。 后 来 推 论 出 此 种 走 法 是 不 可 能 的 。 他 的 论 点 是 这 样 的 ， 除 了 起 点 以 外 ， 每 一 次 当 一个 人 由 一 座 桥 进 入 一 块 陆 地 （ 或 点 ） 时 ， 他 （ 或 她 ） 同 时 也 由
5、 另 一 座 桥 离 开 此 点 。 所 以每 行 经 一 点 时 ， 计 算 两 座 桥 （ 或 线 ） ， 从 起 点 离 开 的 线 与 最 後 回 到 始 点 的 线 亦 计 算 两 座桥 ， 因 此 每 一 个 陆 地 与 其 他 陆 地 连 接 的 桥 数 必 为 偶 数 。七 桥 所 成 之 图 形 中 ， 没 有 一 点 含 有 偶 数 条 数 ， 因 此 上 述 的 任 务 无 法 完 成 .欧 拉 的 这 个 考 虑 非 常 重 要 ， 也 非 常 巧 妙 ， 它 正 表 明 了 数 学 家 处 理 实 际 问 题 的 独 特 之处 把 一 个 实 际 问 题 抽 象 成
6、合 适 的 “数 学 模 型 ”。 这 种 研 究 方 法 就 是 “数 学 模 型 方 法 ”。 这 并 不 需 要 运 用 多 么 深 奥 的 理 论 ， 但 想 到 这 一 点 ， 却 是 解 决 难 题 的 关 键 。 接 下 来 ， 欧 拉 运 用 网 络 中 的 一 笔 画 定 理 为 判 断 准 则 ， 很 快 地 就 判 断 出 要 一 次 不 重 复走 遍 哥 尼 斯 堡 的 7 座 桥 是 不 可 能 的 。 也 就 是 说 ， 多 少 年 来 ， 人 们 费 脑 费 力 寻 找 的 那 种不 重 复 的 路 线 ， 根 本 就 不 存 在 。 一 个 曾 难 住 了 那
7、么 多 人 的 问 题 ， 竟 是 这 么 一 个 出 人 意 料的 答 案 ！ 1736 年 ， 欧 拉 在 交 给 彼 得 堡 科 学 院 的 哥 尼 斯 堡 7 座 桥 的 论 文 报 告 中 ， 阐 述了 他 的 解 题 方 法 。 他 的 巧 解 ， 为 后 来 的 数 学 新 分 支 拓 扑 学 的 建 立 奠 定 了 基 础 。 七 桥 问 题 和 欧 拉 定 理 。 欧 拉 通 过 对 七 桥 问 题 的 研 究 ， 不 仅 圆 满 地 回 答 了 哥 尼 斯 堡居 民 提 出 的 问 题 ， 而 且 得 到 并 证 明 了 更 为 广 泛 的 有 关 一 笔 画 的 三 条
8、结 论 ， 人 们 通 常 称 之为 欧 拉 定 理 。 对 于 一 个 连 通 图 ， 通 常 把 从 某 结 点 出 发 一 笔 画 成 所 经 过 的 路 线 叫 做 欧 拉 路。 人 们 又 通 常 把 一 笔 画 成 回 到 出 发 点 的 欧 拉 路 叫 做 欧 拉 回 路 。 具 有 欧 拉 回 路 的 图 叫 做 欧拉 图 。 此 题 被 人 教 版 小 学 数 学 第 十 二 册 书 收 录 .在 95 页 。此 题 也 被 人 教 版 初 中 第 一 册 收 录 在 一 百 二 十 一 页 一 笔 划 ： 凡 是 由 偶 点 组 成 的 连 通 图 ， 一 定 可 以 一 笔 画 成 。 画 时 可 以 把 任 一 偶 点为 起 点 ， 最 后 一 定 能 以 这 个 点 为 终 点 画 完 此 图 。 凡 是 只 有 两 个 奇 点 的 连 通 图 （ 其 余 都 为 偶 点 ） ， 一 定 可 以 一 笔 画 成 。 画 时 必 须把 一 个 奇 点 为 起 点 ， 另 一 个 奇 点 终 点 。 其 他 情 况 的 图 都 不 能 一 笔 画 出 。 (奇 点 数 除 以 二 便 可 算 出 此 图 需 几 笔 画 成 。 )
