1、共 5 页 第 1 页东 南 大 学 考 试 卷 （ 辅修卷）考试可以带计算器课 程 名 称 数学建模与实验 考 试 学 期 得分适 用 专 业 重修各专业 考 试 形 式 开卷 考 试 时 间 长 度 120 分 钟一. 雇佣关系模型 考虑雇员一天的工作时间 与工资 ,回答下列问题：tw（1）假设雇员的满意度曲线形式为 （ 为与满意度有关的参数） ，画2)(1ct出每天雇员的无差别曲线。(2）如果雇主付计时工资 （ 为工资率，单位：元/小时） ，求出雇主与雇员kt的协议曲线。（3）如果雇员希望每天获得 72 元工资，雇员应该工作多长时间。解（1）绘出的图见右图 6（2）设 ）是某条雇员20)
2、(,ct无差别曲线上的一点，过此点的曲线的切线方程为4 ttw21)(00若此曲线过坐标原点，则 ，ct切点为 3),(2c以 为参数，得到协议曲线方程为32tw（3）根据（2）求出的协议曲线方程，得到 ，切点坐标为 。 212k)72,6(即雇员需工作 6 小时。 2学号 姓名 共 5 页 第 2 页二 (1)养老保险是与人们生活密切相关的一种保险类型。通常保险公司会提供多种方式的养老金计划让投保人选择,在计划中详细列出保险费和养老金的数额。某保险公司的一份材料指出:在每月交费 200 元至 60 岁开始领取养老金的约定下,男子若 30 岁起投保,届时月养老金 1800 元;估算所交保险费获
3、得的利率。(2) 假如保险公司请你帮他们设计一个险种:35 岁起保,月利率为 0.005,60 岁开始领取养老金,届时投保人养老金为多少为最宜?解 （1）写出迭代方程设投保人在投保后第 k 个月所交保险费及利息累计总额为 Fk,那么很容易得到数学模型4 MNqrFpk ,2,1,)1( 解为 4 NkrrkNk ,2,1,/)(00 关于 r 的方程如下(1+r)M-(1+q/p)(1+r)M-N+q/p=0 4将相关数据代入方程得（1）的解 2 091(0(854r=0.0052 2 （2）的解 1.005480 - 2 02/05.1)2/(8qqq=1170 元 2 共 5 页 第 3
4、页三 变量 与 的一组观测数据如下：xy10 20 30 40 50 60 70 80105 130 160 195 235 180 230 285 （1） 用 1 阶多项式对上述数据进行曲线拟合。（2） 用差分法判断最适合的拟合多项式的阶数。（3） 根据拟合多项式，用外推法求 时的 值。120xy解 （1） 7 36.9024.xy（2）y 105 130 160 195 235 180 230 28525 30 35 40 45 -50 55 3 5 5 5 5 -95 105 20 0 0 -100 200 1 3最适合的拟合多项式的阶数为 1 2 （3） 当 ， 5 12x.74y共
5、5 页 第 4 页四 某种群的按年演变的年龄结构矩阵及初始个体数为，05.8.21P（1） 估计矩阵 的模最大特征值保留到小数点后 2 位。P（2） 估计种群稳定的年龄结构和发展趋势。（3） 如果环境最大容量为 5000，要保持种群总数与结构不变，应怎样选择种群的初始数据及怎样控制的出生率（假设对所有的年龄段按同一比例采取控制措施）解 （1） 50)25.1(,0).(,)25.1(,0)3.(,)2.1(,0).(83 ffffff由以上分析知， ，得 。 35（2） ， 473.,6./4,./,*2n年增长率 21%。 3 （3 控制率 ， 3061k4081*n初始数据 29,873)
6、(共 5 页 第 5 页五 Gompertz 利用如下模型来讨论有环境压力的种群增长规律；，其中 表示种群数， 是环境容量， 是与固有增长律有关的参数。mxdtln)(tmx（1） 解含参数的 Gompertz 方程（提示：令 ）)(lntxty（2） 根据下表的数据，利用差商估计 dt0 1 2 3 4 5 6 7t20 40 65 120 200 320 460 620)(x（3） 利用 数据确定参数 。dty, mx,（4） 画出解 的轨线。)(解 （1）令 lnx3 )(mydt4 )20ln(epl) mxt（2） 2 298.036.47.051.63.048.693.0 459875728.15ln 114/yx3 （3） 与 呈线性关系，应用最小二乘法得 3 ,mx（4）解 的轨线如下)(t（5）mxyln5
