四边形.doc

1、一解答题（共 30 小题）1 （2006厦门）如图，在四边形 ABCD 中，A=90，ABC 与ADC 互补（1）求C 的度数；（2）若 BCCD 且 AB=AD，请在图上画出一条线段，把四边形 ABCD 分成两部分，使得这两部分能够重新拼成一个正方形，并说明理由；（3）若 CD=6，BC=8 ，S 四边形 ABCD=49，求 AB 的值2 （2000安徽）我们常见到如图那样图案的地面，它们分别是全用正方形或全用正六边形形状的材料辅成的，这样形状的材料能铺成平整、无空隙的地面现在，问：（1）像上面那样铺地面，能否全用正五边形的材料，为什么？（2）你能不能另外想出一个用一种多边形（不一定是正多边

2、形）的材料铺地的方案？把你想到的方案画成草图（3）请你再画出一个用两种不同的正多边形材料铺地的草图3 （2011雅安）如图，在 ABCD 中，E，F 分别是 BC，AD 中点（1）求证：ABECDF；（2）当 BC=2AB=4，且ABE 的面积为 ，求证：四边形 AECF 是菱形4 （2011河池）如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E、F 分别是 AD、BC 的中点，AC 与 EF 相交于点 O（1）过点 B 作 AC 的平行线 BG，延长 EF 交 BG 于 H；（2）在（1）的图中，找出一个与BHF 全等的三角形，并证明你的结论5 （2011天水）已知，如图 E、F 是四边形 ABCD

3、 的对角线 AC 上的两点，AF=CE，DF=BE，DFBE，四边形ABCD 是平行四边形吗？请说明理由6 （2010滨州）如图，四边形 ABCD，E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点（1）请判断四边形 EFGH 的形状？并说明为什么；（2）若使四边形 EFGH 为正方形，那么四边形 ABCD 的对角线应具有怎样的性质？7 （2011资阳）如图，已知四边形 ABCD 为平行四边形，AE BD 于 E，CF BD 于 F（1）求证：BE=DF；（2）若 M、N 分别为边 AD、BC 上的点，且 DM=BN，试判断四边形 MENF 的形状（不必说明理由） 8 （2011徐州）如图

4、，在四边形 ABCD 中，AB=CD，BF=DE ，AE BD，CF BD，垂足分别为 E，F （1）求证：ABECDF；（2）若 AC 与 BD 交于点 O，求证：AO=CO 9 （2010益阳）如图，在菱形 ABCD 中，A=60，AB=4，O 为对角线 BD 的中点，过 O 点作 OEAB，垂足为E（1）求ABD 的度数；（2）求线段 BE 的长10 （2010扬州）如图，四边形 ABCD 是菱形，点 G 是 BC 延长线上一点，连接 AG，分别交 BD、CD 于点E、F，连接 CE（1）求证：DAE= DCE；（2）当 AE=2EF 时，判断 FG 与 EF 有何等量关系？并证明你的结

5、论11 （2010宁洱县）如图，四边形 ABCD 是菱形，BEAD 、BFCD，垂足分别为 E、F（1）求证：BE=BF；（2）当菱形 ABCD 的对角线 AC=8，BD=6 时，求 BE 的长12 （2011济宁）如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于 O，过点 O 作直线 EFBD，分别交AD、BC 于点 E 和点 F，求证：四边形 BEDF 是菱形13 （2011安顺）如图，在 ABC 中，ACB=90，BC 的垂直平分线 DE 交 BC 于 D，交 AB 于 E，F 在 DE 上，且 AF=CE=AE（1）说明四边形 ACEF 是平行四边形；（2）当B 满足什么条

6、件时，四边形 ACEF 是菱形，并说明理由14 （2011西宁）如图，矩形 ABCD 的对角线相交于点 O，DE CA，AEBD（1）求证：四边形 AODE 是菱形；（2）若将题设中“矩形 ABCD”这一条件改为“菱形 ABCD”，其余条件不变，则四边形 AODE 是 _ 15 （2010沈阳）如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，点 E，F 分别为边 AB，AD 的中点，连接EF，OE，OF，求证：四边形 AEOF 是菱形16 （2011湘西州）如图，已知矩形 ABCD 的两条对角线相交于 O， ACB=30，AB=2（1）求 AC 的长（2）求AOB 的度数（3）以

7、 OB、OC 为邻边作菱形 OBEC，求菱形 OBEC 的面积17 （2011福州）已知，矩形 ABCD 中，AB=4cm，BC=8cm，AC 的垂直平分线 EF 分别交 AD、BC 于点 E、F，垂足为 O（1）如图 1，连接 AF、CE求证四边形 AFCE 为菱形，并求 AF 的长；（2）如图 2，动点 P、Q 分别从 A、C 两点同时出发，沿AFB 和 CDE 各边匀速运动一周即点 P 自AFBA 停止，点 Q 自 CDEC 停止在运动过程中，已知点 P 的速度为每秒 5cm，点 Q 的速度为每秒 4cm，运动时间为 t 秒，当 A、C 、P、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，求 t

8、 的值若点 P、Q 的运动路程分别为 a、b（单位：cm，ab 0） ，已知 A、C、P、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形，求 a 与 b 满足的数量关系式18 （2010凉山州）有一张矩形纸片 ABCD，E、F 分别是 BC、AD 上的点（但不与顶点重合） ，若 EF 将矩形ABCD 分成面积相等的两部分，设 AB=m，AD=n，BE=x（1）求证：AF=EC；（2）用剪刀将该纸片沿直线 EF 剪开后，再将梯形纸片 ABEF 沿 AB 对称翻折，平移拼接在梯形 ECDF 的下方，使一底边重合，一腰落在 DC 的延长线上，拼接后，下方梯形记作 EEBC当 x：n 为何值时，直线 EE 经过原

9、矩形的顶点 D19 （2011青岛）在 ABCD 中，E、F 分别是 AB、CD 的中点，连接 AF、CE（1）求证：BECDFA ；（2）连接 AC，当 CA=CB 时，判断四边形 AECF 是什么特殊四边形？并证明你的结论20 （2010肇庆）如图所示，四边形 ABCD 是平行四边形，AC、BD 交于点 O， 1=2（1）求证：四边形 ABCD 是矩形；（2）若BOC=120 ，AB=4cm，求四边形 ABCD 的面积21 （2010安顺）已知：如图，在 ABC 中，AB=AC ，ADBC，垂足为点 D，AN 是 ABC 外角 CAM 的平分线，CEAN，垂足为点 E，（1）求证：四边形

10、ADCE 为矩形；（2）当ABC 满足什么条件时，四边形 ADCE 是一个正方形？并给出证明22 （2009聊城）如图，在 ABC 中，点 O 是 AC 边上的一个动点，过点 O 作 MNBC，交ACB 的平分线于点E，交ACB 的外角平分线于点 F（1）求证：OC= EF；（2）当点 O 位于 AC 边的什么位置时，四边形 AECF 是矩形？并给出证明23如图，E 是矩形 ABCD 边 BC 的中点，P 是 AD 边上一动点，PF AE，PHDE，垂足分别为 F，H （1）当矩形 ABCD 的长与宽满足什么条件时，四边形 PHEF 是矩形？请予以证明；（2）在（1）中，动点 P 运动到什么位

11、置时，矩形 PHEF 变为正方形？为什么？24如图，O 是矩形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 的交点，E、F、G、H 分别是 AO、BO、CO、DO 上的点，且AE=BF=CG=DH求证：四边形 EFGH 是矩形25如图所示，BD，BE 分别是 ABC 与它的邻补角ABP 的平分线AE BE，ADBD，E，D 为垂足，求证：四边形 AEBD 是矩形26如图，O 为ABC 内一点，把 AB、OB、OC 、AC 的中点 D、E、F、G 依次连接形成四边形 DEFG（1）四边形 DEFG 是什么四边形，请说明理由；（2）若四边形 DEFG 是矩形，点 0 所在位置应满足什么条件？说明理由27如

12、图，矩形 ABCD 中，AB=20cm 、BC=30cm，在距边 12cm、距 C 点 20cm 的点 O 处有一钉子动 P、Q 同时从点 A 出发，点 P 沿 ABC 方向以 5cm/s 的速度运动，到点 C 停止运动；点 Q 沿 AD 方向以 3cm/s 的速度运动，到点 D 停止运动P 、Q 两点用一条可伸缩的橡皮筋连接，设两动点运动 t（s）后橡皮筋扫过的面积为y（cm 2） （1）当 t=4 时，求 y 的值；（2）问：t 为何值时，橡皮筋刚好接触钉子（即 P、O、Q 三点在同一直线上） ；（3）当 4t10 时，求 y 与 t 之间的函数关系式28如图，点 M 是矩形 ABCD 的

13、边 AD 的中点，点 P 是 BC 边上一动点，PEMC，PF BM，垂足为 E、F（1）当矩形 ABCD 的长与宽满足什么条件时，四边形 PEMF 为矩形？猜想并证明你的结论（2）在（1）中，当点 P 运动到什么位置时，矩形 PEMF 变为正方形，为什么？29如图，四边形 ABCD 为平行四边形纸片把纸片 ABCD 折叠，使点 B 恰好落在 CD 边上，折痕为 AF且AB=10cm、AD=8cm、DE=6cm（1）求证：平行四边形 ABCD 是矩形；（2）求 BF 的长；（3）求折痕 AF 长30已知ABCD 的对角BAD 和BCD 互补（1）求BAD 的度数；（2）若 AC=x+ +1，B

14、D=3+ x，求 x 的值答案与评分标准一解答题（共 30 小题）1 （2006厦门）如图，在四边形 ABCD 中，A=90，ABC 与ADC 互补（1）求C 的度数；（2）若 BCCD 且 AB=AD，请在图上画出一条线段，把四边形 ABCD 分成两部分，使得这两部分能够重新拼成一个正方形，并说明理由；（3）若 CD=6，BC=8 ，S 四边形 ABCD=49，求 AB 的值考点：多边形内角与外角；直角三角形全等的判定；正方形的判定；相似三角形的判定与性质。专题：综合题。分析：（1）根据多边形的内角和公式可得到C 的度数为 90；（2）过点 A 作 AEBC，垂足为 E则线段 AE 把四边形

15、 ABCD 分成 ABE 和四边形 AECD 两部分，把 ABE 以A 点为旋转中心，逆时针旋转 90，则被分成的两部分重新拼成一个正方形可以根据已知利用 AAS 来判定ABEADF 从而得到 AE=AF，即得到四边形 AECF 是正方形；（3）连接 BD，根据勾股定理求得 BD 的长，根据已知得到ABD 的面积，从而可求得 AM 的长，再根据相似三角形的判定得到ABM ABD根据相似三角形的对应边成比例可得到 BM 的长，再根据勾股定理即可求得 AB的长解答：解：（1）ABC 与ADC 互补，ABC+ADC=180A=90，C=36090180=90；（2）过点 A 作 AEBC，垂足为 E

16、则线段 AE 把四边形 ABCD 分成 ABE 和四边形 AECD 两部分，把ABE 以 A 点为旋转中心，逆时针旋转 90，则被分成的两部分重新拼成一个正方形过点 A 作 AFBC 交 CD 的延长线于 F，ABC+ADC=180，又ADF+ADC=180，ABC=ADFAD=AB，AEC= AFD=90， ABEADFAE=AF四边形 AECF 是正方形；（3）解法 1：连接 BD，C=90，CD=6，BC=8，Rt BCD 中，BD= =10又 S 四边形 ABCD=49，S ABD=4924=25过点 A 作 AMBD 垂足为 M，SABD= BDAM=25AM=5又BAD=90，AB

17、MDAM = 设 BM=x，则 MD=10x， = 解得 x=5AB=5 解法 2：连接 BD，A=90设 AB=x，AD=y，则 x2+y2=102， xy=25， xy=50由，得：（xy） 2=0x=y2x2=100x=5 点评：此题考查了学生对正方形的判定、相似三角形的判定、全等三角形的判定等知识点的综合运用能力2 （2000安徽）我们常见到如图那样图案的地面，它们分别是全用正方形或全用正六边形形状的材料辅成的，这样形状的材料能铺成平整、无空隙的地面现在，问：（1）像上面那样铺地面，能否全用正五边形的材料，为什么？（2）你能不能另外想出一个用一种多边形（不一定是正多边形）的材料铺地的方

18、案？把你想到的方案画成草图（3）请你再画出一个用两种不同的正多边形材料铺地的草图考点：平面镶嵌（密铺） 。分析：（1）看顶点处的内角和是否等于 360即可；（2）要求是不一定是正多边形组成平面镶嵌；（3）两种图形的镶嵌应符合一个顶点处的内角和等于 360即可解答：解：（1）所用材料的形状不能是正五边形因为，正五边形的每个内角都是 108，要铺成平整、无空隙的地面，必须使若干个正五边形拼成一个周角（360） ，但找不到符合条件 n108=360的n故不能全用是正五边形的材料铺地面；（2）按要求画出草图；（3）点评：一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除 360；两种或两种以上几何图形镶嵌成平

19、面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角3 （2011雅安）如图，在 ABCD 中，E，F 分别是 BC，AD 中点（1）求证：ABECDF；（2）当 BC=2AB=4，且ABE 的面积为 ，求证：四边形 AECF 是菱形考点：平行四边形的性质；三角形的面积；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；菱形的判定；锐角三角函数的定义。专题：证明题。分析：（1）根据平行四边形的性质得到 AB=DC，AD=CB，B=D，推出 DF=BE，根据 SAS 即可推出答案；（2）过 A 作 AHBC 于 H，根据三角形的面积求出 AH，根据锐角三角函数求出 B，得出等边三角形

20、 AEB，推出 AE=BE=AB，推出 AF=CF=CE=AE 即可解答：证明：（1）四边形 ABCD 是平行四边形，AB=DC，AD=CB， B=D，E， F 分别是 BC，AD 中点，DF= DA，BE= CB，DF=BE，AB=DC，B=D，ABECDF（2）过 A 作 AHBC 于 H，BC=2AB=4，且ABE 的面积为 ，BE=AB=2， EBAH= ，AH= ，sinB= ，B=60，AB=BE=AE，E， F 分别是 BC，AD 中点，AF=CE=AE，ABECDF，CF=AE，AE=CE=CF=AF，四边形 AECF 是菱形点评：本题主要考查对平行四边形的性质，全等三角形的性

21、质和判定，等边三角形的性质和判定，三角形的面积，锐角三角函数的定义，菱形的判定等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键4 （2011河池）如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E、F 分别是 AD、BC 的中点，AC 与 EF 相交于点 O（1）过点 B 作 AC 的平行线 BG，延长 EF 交 BG 于 H；（2）在（1）的图中，找出一个与BHF 全等的三角形，并证明你的结论考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质。专题：计算题。分析：（1）根据平行线的作法，即可作出 BG，再延长 EF 即可，如图；（2）根据图可得出BHFCOF，由 ACBH，得FBH=FCO，

22、再由 BF=CF，得出结论即可解答：解：（1）如图：（2）结论：BHFCOF 理由是：AC BH，FBH= FCO，又 BF=CF，BFH= CFO，BHFCOF（ASA） 点评：本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质，是基础知识要熟练掌握5 （2011天水）已知，如图 E、F 是四边形 ABCD 的对角线 AC 上的两点，AF=CE，DF=BE，DFBE，四边形ABCD 是平行四边形吗？请说明理由考点：平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质。分析：首先根据条件证明AFDCEB，可得到 AD=CB，DAF= BCE，可证出 ADCB，根据一条对边平行且相等的四边形是平行四边形可证

23、出结论解答：解：结论：四边形 ABCD 是平行四边形，证明：DFBE ，AFD=CEB，又 AF=CE DF=BE，AFDCEB（SAS） ，AD=CB，DAF=BCE，ADCB，四边形 ABCD 是平行四边形点评：此题主要考查了平行四边形的判定，以及三角形全等的判定与性质，解题的关键是根据条件证出AFDCEB6 （2010滨州）如图，四边形 ABCD，E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点（1）请判断四边形 EFGH 的形状？并说明为什么；（2）若使四边形 EFGH 为正方形，那么四边形 ABCD 的对角线应具有怎样的性质？考点：平行四边形的判定；三角形中位线定理；正方形的性

24、质。专题：证明题。分析：（1）连接 AC，利用中位线定理即可证明四边形 EFGH 是平行四边形；（2）由于四边形 EFGH 为正方形，那么它的邻边互相垂直且相等，根据中位线定理可以推出四边形 ABCD 的对角线应该互相垂直且相等解答：解：（1）如图，四边形 EFGH 是平行四边形连接 AC，E、 F 分别是 AB、BC 的中点，EFAC，EF= AC同理 HGAC，EFHG，EF=HGEFGH 是平行四边形；（2）四边形 ABCD 的对角线垂直且相等假若四边形 EFGH 为正方形，它的每一组邻边互相垂直且相等，根据中位线定理得到四边形 ABCD 的对角线应该互相垂直且相等点评：此题主要考查了三

25、角形的中位线定理，及平行四边形的判定，正方形的性质等知识7 （2011资阳）如图，已知四边形 ABCD 为平行四边形，AE BD 于 E，CF BD 于 F（1）求证：BE=DF；（2）若 M、N 分别为边 AD、BC 上的点，且 DM=BN，试判断四边形 MENF 的形状（不必说明理由） 考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质。分析：（1）根据平行四边形的性质和已知条件证明ABE CDF 即可得到 BE=DF；（2）根据平行四边形的判定方法：有一组对边平行且相等的四边形为平行四边形判定四边形 MENF 的形状解答：解：（1）四边形 ABCD 是平行四边形，AB=CD，ABCD，

26、ABD=CDB，AEBD 于 E，CFBD 于 F，AEB=CFD=90，ABECDF（AAS ） ，BE=DF；（2）四边形 MENF 是平行四边形证明：有（1）可知：BE=DF，四边形 ABCD 为平行四边行，ADBC，MDB=MBD，DM=BN，DNFBNE，NE=MF，MFD= NEB，MFE=NEF，MFNE，四边形 MENF 是平行四边形点评：本题考查了平行四边形的性质以及平行四边形的判定和全等三角形的判定以及全等三角形的性质8 （2011徐州）如图，在四边形 ABCD 中，AB=CD，BF=DE ，AE BD，CF BD，垂足分别为 E，F （1）求证：ABECDF；（2）若 A

27、C 与 BD 交于点 O，求证：AO=CO 考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质。专题：证明题。分析：（1）由 BF=DE，可得 BE=CF，由 AEBD，CF BD，可得AEB= CFD=90，又由 AB=CD，在直角三角形中利用 HL 即可证得：ABECDF；（2）由ABECDF，即可得ABE= CDF，根据内错角相等，两直线平行，即可得 ABCD，又由 AB=CD，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即即可证得四边形 ABCD 是平行四边形，则可得 AO=CO解答：证明：（1）BF=DE，BFEF=DEEF，即 BE=DF，AEBD，CF BD，AEB=CFD=

28、90，AB=CD，RtABERtCDF（HL ） ；（2）ABECDF，ABE=CDF，ABCD，AB=CD，四边形 ABCD 是平行四边形，AO=CO点评：此题考查了全等三角形的判定与性质与平行四边形的判定与性质此题难度不大，解题的关键是要注意数形结合思想的应用9 （2010益阳）如图，在菱形 ABCD 中，A=60，AB=4，O 为对角线 BD 的中点，过 O 点作 OEAB，垂足为E（1）求ABD 的度数；（2）求线段 BE 的长考点：菱形的性质。分析：（1）根据菱形的四条边都相等，又A=60 ，得到 ABD 是等边三角形，ABD 是 60；（2）先求出 OB 的长和BOE 的度数，再根

29、据 30角所对的直角边等于斜边的一半即可求出解答：解：（1）在菱形 ABCD 中，AB=AD，A=60，ABD 为等边三角形，ABD=60；（ 4 分）（2）由（1）可知 BD=AB=4，又 O 为 BD 的中点，OB=2（6 分） ，又 OEAB，及 ABD=60，BOE=30，BE=1 （8 分）点评：本题利用等边三角形的判定和直角三角形 30角所对的直角边等于斜边的一半求解，需要熟练掌握10 （2010扬州）如图，四边形 ABCD 是菱形，点 G 是 BC 延长线上一点，连接 AG，分别交 BD、CD 于点E、F，连接 CE（1）求证：DAE= DCE；（2）当 AE=2EF 时，判断

30、FG 与 EF 有何等量关系？并证明你的结论考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质。专题：几何综合题。分析：（1）根据四边形 ABCD 是菱形可得出ADECDE 就可求证；（2）根据有两组角对应相等的两个三角形相似得到CEF GEC，可得 EF：EC=CE ：GE，又因为ABE CBE AE=2EF，就能得出 FG=3EF解答：（1）证明：四边形 ABCD 是菱形，AD=CD，ADE= CDB；又 DE=DE，ADECDE，DAE=DCE（2）解：判断 FG=3EF四边形 ABCD 是菱形，ADBC，DAE=G，由题意知：ADECDEDAE=DCE，DCE=G，CEF

31、=GEC，ECFEGC， ，ADECDE，AE=CE， ，AE=2EF，EG=2AE=4EF，FG=EGEF=4EFEF=3EF点评：此题主要考查菱形的性质及相似三角形的判定定理及性质11 （2010宁洱县）如图，四边形 ABCD 是菱形，BEAD 、BFCD，垂足分别为 E、F（1）求证：BE=BF；（2）当菱形 ABCD 的对角线 AC=8，BD=6 时，求 BE 的长考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质。分析：（1）根据菱形的邻边相等，对角相等，证明ABE 与 CBF 全等，再根据全等三角形对应边相等即可证明；（2）先根据菱形的对角线互相垂直平分，求出菱形的边长，再根据菱形的面积等于

32、对角线乘积的一半和底边乘以高两种求法即可求出解答：（1）证明：四边形 ABCD 是菱形，AB=CB，A=C，BEAD、BF CD，AEB=CFB=90，在ABE 和CBF 中，ABECBF（AAS ） ，BE=BF（2）解：如图，对角线 AC=8，BD=6，对角线的一半分别为 4、3，菱形的边长为 =5，菱形的面积=5BE= 86，解得 BE= 点评：本题主要考查菱形的性质和三角形全等的证明，同时还考查了菱形面积的两种求法12 （2011济宁）如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于 O，过点 O 作直线 EFBD，分别交AD、BC 于点 E 和点 F，求证：四边形 BED

33、F 是菱形考点：菱形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质。专题：证明题。分析：由四边形 ABCD 是平行四边形，即可得 ADBC，OB=OD，易证得OEDOFB，可得 DE=BF，即可证得四边形 BEDF 是平行四边形，又由 EFBD，即可证得四边形 BEDF 是菱形解答：证明：四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC，OB=OD，EDO=FBO，OED=OFB，OEDOFB，DE=BF，又 EDBF，四边形 BEDF 是平行四边形，EFBD，BEDF 是菱形点评：此题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定以及全等三角形的判定与性质此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用

34、13 （2011安顺）如图，在 ABC 中，ACB=90，BC 的垂直平分线 DE 交 BC 于 D，交 AB 于 E，F 在 DE 上，且 AF=CE=AE（1）说明四边形 ACEF 是平行四边形；（2）当B 满足什么条件时，四边形 ACEF 是菱形，并说明理由考点：菱形的判定；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定。分析：（1）证明AECEAF，即可得到 EF=CA，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可判断；（2）当B=30时，四边形 ACEF 是菱形根据直角三角形的性质，即可证得 AC=EC，根据菱形的定义即可判断解答：（1）证明：由题意知FDC= DCA

35、=90，EFCA，AEF=EAC，AF=CE=AE，F=AEF=EAC=ECA又 AE=EA，AECEAF，EF=CA，四边形 ACEF 是平行四边形（2）解：当B=30时，四边形 ACEF 是菱形理由是：B=30 ， ACB=90，AC= AB，DE 垂直平分 BC，BE=CE，又 AE=CE，CE= AB，AC=CE，四边形 ACEF 是菱形点评：本题主要考查了平行四边形的判定以及菱形的判定方法，正确掌握判定定理是解题的关键14 （2011西宁）如图，矩形 ABCD 的对角线相交于点 O，DE CA，AEBD（1）求证：四边形 AODE 是菱形；（2）若将题设中“矩形 ABCD”这一条件改

36、为“菱形 ABCD”，其余条件不变，则四边形 AODE 是 矩形 考点：菱形的判定与性质；平行四边形的判定；矩形的性质；矩形的判定。专题：证明题。分析：（2）根据矩形的性质求出 OA=OD，证出四边形 AODE 是平行四边形即可；（2）根据菱形的性质求出AOD=90 ，再证出四边形 AODE 是平行四边形即可解答：（1）证明：矩形 ABCD，OA=OC，OD=OB ，AC=BD，OA=OD，DECA，AEBD，四边形 AODE 是平行四边形，四边形 AODE 是菱形（2）解：DECA，AEBD，四边形 AODE 是平行四边形，菱形 ABCD，ACBD，AOD=90，平行四边形 AODE 是矩形

37、故答案为：矩形点评：本题主要考查对菱形的性质和判定，矩形的性质和判定，平行四边形的判定等知识点的理解和掌握，能推出四边形是平行四边形和正出AOD=90 、OA=OD 是解此题的关键15 （2010沈阳）如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，点 E，F 分别为边 AB，AD 的中点，连接EF，OE，OF，求证：四边形 AEOF 是菱形考点：菱形的判定与性质；三角形中位线定理。专题：证明题。分析：要证明四边形 AEOF 是菱形，可根据“四条边相等的四边形是菱形”或“一组邻边相等的平行四边形是菱形”进行证明解答：证明：点 E，F 分别为 AB，AD 的中点AE= AB，AF=

38、 AD （2 分） ，又 四边形 ABCD 是菱形，AB=AD，AE=AF （4 分） ，又 菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 OO 为 BD 的中点，OE，OF 是ABD 的中位线 （6 分）OEAD，OF AB，四边形 AEOF 是平行四边形（8 分） ，AE=AF，四边形 AEOF 是菱形点评：菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：定义；四边相等；对角线互相垂直平分具体选择哪种方法需要根据已知条件来确定16 （2011湘西州）如图，已知矩形 ABCD 的两条对角线相交于 O， ACB=30，AB=2（1）求 AC 的长（2）求AOB 的度数（3）

39、以 OB、OC 为邻边作菱形 OBEC，求菱形 OBEC 的面积考点：矩形的性质；含 30 度角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质。专题：综合题。分析：（1）根据 AB 的长结合三角函数的关系可得出 AC 的长度（2）根据矩形的对角线互相平分可得出OBC 为等腰三角形，从而利用外角的知识可得出AOB 的度数（3）分别求出OBC 和BCE 的面积，从而可求出菱形 OBEC 的面积解答：解：（1）在矩形 ABCD 中，ABC=90，RtABC 中，ACB=30，AC=2AB=4（2）在矩形 ABCD 中，AO=OB=2，又 AB=2，AOB 是等边三角形，AOB=60（3）由勾股定理，得 BC=

40、，所以菱形 OBEC 的面积是 2 点评：本题考查矩形的性质、菱形的性质及勾股定理的知识，综合性较强，注意一些基本知识的掌握是关键17 （2011福州）已知，矩形 ABCD 中，AB=4cm，BC=8cm，AC 的垂直平分线 EF 分别交 AD、BC 于点 E、F，垂足为 O（1）如图 1，连接 AF、CE求证四边形 AFCE 为菱形，并求 AF 的长；（2）如图 2，动点 P、Q 分别从 A、C 两点同时出发，沿AFB 和 CDE 各边匀速运动一周即点 P 自AFBA 停止，点 Q 自 CDEC 停止在运动过程中，已知点 P 的速度为每秒 5cm，点 Q 的速度为每秒 4cm，运动时间为 t

41、 秒，当 A、C 、P、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，求 t 的值若点 P、Q 的运动路程分别为 a、b（单位：cm，ab 0） ，已知 A、C、P、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形，求 a 与 b 满足的数量关系式考点：矩形的性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质。专题：几何综合题；动点型。分析：（1）先证明四边形 AFCE 为平行四边形，再根据对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形作出判定；根据勾股定理即可求得 AF 的长；（2）分情况讨论可知，当 P 点在 BF 上、Q 点在 ED 上时，才能构成平行四边形，根据平行

42、四边形的性质列出方程求解即可；分三种情况讨论可知 a 与 b 满足的数量关系式解答：解：（1）四边形 ABCD 是矩形，ADBC，CAD=ACB， AEF=CFE，EF 垂直平分 AC，垂足为 O，OA=OC，AOECOF，OE=OF，四边形 AFCE 为平行四边形，又 EFAC，四边形 AFCE 为菱形，设菱形的边长 AF=CF=xcm，则 BF=（8x）cm，在 RtABF 中，AB=4cm，由勾股定理得 42+（8 x） 2=x2，解得 x=5，AF=5cm（2）显然当 P 点在 AF 上时，Q 点在 CD 上，此时 A、C、P、Q 四点不可能构成平行四边形；同理 P 点在 AB 上时，

43、Q 点在 DE 或 CE 上，也不能构成平行四边形因此只有当 P 点在 BF 上、Q 点在 ED 上时，才能构成平行四边形，以 A、 C、P、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC=QA，点 P 的速度为每秒 5cm，点 Q 的速度为每秒 4cm，运动时间为 t 秒，PC=5t，QA=124t，5t=124t，解得 ，以 A、 C、P、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时， 秒由题意得，以 A、C、P、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，点 P、Q 在互相平行的对应边上分三种情况：i）如图 1，当 P 点在 AF 上、Q 点在 CE 上时，AP=CQ ，即 a=12b，得 a+b=12；

44、ii）如图 2，当 P 点在 BF 上、Q 点在 DE 上时，AQ=CP ，即 12b=a，得 a+b=12；iii）如图 3，当 P 点在 AB 上、 Q 点在 CD 上时，AP=CQ，即 12a=b，得 a+b=12综上所述，a 与 b 满足的数量关系式是 a+b=12（ab 0） 点评：本题综合性较强，考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质，注意分类思想的应用18 （2010凉山州）有一张矩形纸片 ABCD，E、F 分别是 BC、AD 上的点（但不与顶点重合） ，若 EF 将矩形ABCD 分成面积相等的两部分，设 AB=m，AD=n，BE=x（1）求证：AF

45、=EC；（2）用剪刀将该纸片沿直线 EF 剪开后，再将梯形纸片 ABEF 沿 AB 对称翻折，平移拼接在梯形 ECDF 的下方，使一底边重合，一腰落在 DC 的延长线上，拼接后，下方梯形记作 EEBC当 x：n 为何值时，直线 EE 经过原矩形的顶点 D考点：矩形的性质；梯形。专题：证明题；创新题型。分析：（1）根据题知，EF 将矩形分割为两个面积相等的梯形，而且两个梯形腰相等，利用面积相等易证；（2）可先假设直线 EE 经过原矩形的顶点 D，再根据梯形纸片沿着 AB 翻折后可知 DC=BC=m，然后利用中位线定理可知 DE=EE 2EC=EB然后分别代入可求：解答：（1）证明：EF 将矩形

46、ABCD 分成面积相等的两部分， （ x+AF） m= （nx+nAF） m， （2 分）2AF=2n2x，AF=nx， （3 分）又 EC=BCBE=nx，AF=EC；（4 分）（2）解：当直线 EE 经过原矩形的顶点 D 时，如图DC=BC=m， ECEB，DE=EE2EC=EB即 2（nx）=x ，2n=3x （7 分）x： n=2：3 （9 分）点评：本题涉及矩形的性质，解答此类题的关键是要突破思维定势的障碍，运用发散思维，多方思考，探究问题在不同条件下的不同结论，挖掘它的内在联系，向“纵、横、深、广 ”拓展，从而寻找出添加的条件和所得的结论而不是思维定势只利用传统思维的直接求证方式19 （2011青岛）在 ABCD 中，E、F 分别是 AB、CD 的中点，连接 AF、CE（1）求证：BECDFA ；（2）连接 AC，当 CA=CB 时，判断四边形 AECF 是什么特殊四边形？并证明你的结论考点：矩形的判定；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；平行四边形的性质。专题：几何综合题。分析