1、第一讲 基本知识一、等差数列1.（09 安徽）已知 为等差数列，则 等于A. -1 B. 1 C. 3 D.72、（09 江西）公差不为零的等差数列 na的前 项和为 nS.若 4a是 37与 的等比中项 , 82S,则 10等于 A. 18 B. 24 C. 60 D. 90 . 3.（2009 湖南）设 n是等差数列 na的前 n项和，已知23a， 61，则 7S等于【 】A13 B35 C49 D 63 4.（全国） 设等差数列 na的前 项和为 nS，若972S,则 249a= 。二、等比数列1、（重庆）在等比数列a n中，a 28，a 564，则公比 q 为（ ）A2 B C 4 D
2、422、（福建）等比数列 中， ，则 ，na82329a则 分 别 为与 126a3、等比数列 中， 的等差中项为 3.5， =n53与 410求 n4、等比数列 中， ， ，求na105S515S5、（宁夏）已知 成等比数列，且曲线bcd，的顶点是 ，则 等（ ） 23yx()，a3 2 1 26、（重庆）设 为公比 q1 的等比数列，若na 204a和 是方程 的两根，则 _.205a03842x 2072067.（ 广 东 ） 等比数列 na满足 ,1,n ，且2525()nn，则当 时，12321logllognaA. () B. (1)n C. 2 D. 2(1)n第二讲 数列求和题
3、型 1：直接用公式求和：（1）等比数列： qaSnn1)(（2）等差数列： dnnn 2)1(2)(1(3) 1+2+n= n(n+1)； 12+22+n2= n(n+1)(2n+1)；16例 1、（2009 全国卷文）已知等差数列 na中， ,0,16473a求 na前 n 项和 ns. . 解：设 的公差为 d，则. 1126350da即221864a解得 118,2ad或因此 819819n nSnSn， 或题型 2：分类求和：例 2： nnSa求,36解： +21)(/nnS62)1(= =332 31n练习 1：求数列 1，3 ，3 2 ，3 n 的各项和。1解析：其和为(13 3n
4、)( )23n= = (3n1 3 -n)21n2题型 3：裂项求和需要掌握一些常见的裂项，如：= =A（ ）)1(na )1(nAa1n)1()(knkn例 3 nnSa求,2练习 1：求 。)(,321431*Nn解析： ，)(2kak)1n(31Sn 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j12312 nn练习 4：求和： ,45() 题型 3：错位相减法（错项相消法）对一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前 n 项和，常用错项相消法。 , 其中 是等差数列， 是等比数列，ncbanbc记 ，ncbS121则 ，1nnqc 例 3 ， ， 求 的前 n 项和na2bnb
5、ac练习 1: )23(17251342 n求 和 ：练习 2:设 a 为常数，求数列 a， 2a2， 3a3， ， nan， 的前 n 项和。解析：若 a=0 时，S n=0；若 a=1，则 Sn=1+2+3+n= ；)1(若 a1，a0 时，S n-aSn=a（1+a+ +an-1-nan），Sn= 。a)()( 12练习 3:已知数列 是首项为 2，公比也为 2 的等比数列，na，)(lgNbn令(1) 求证：数列 是等比数列n(2) 求 前 项和 。,naccnS第三讲 数列的通项公式类型 1 直接法例 1: 已知数列 满足 ， ，求na212nan练习 1：已知数列 满足 ，求n n
6、n,11且 na类型 2 归纳法例 2:已知 且 ，求通项公式 .1a*12()naNna类型 3 )(1fn解法：把原递推公式转化为 ，利用累加法(逐差相加法)求解。1nfan例 3: 已知数列 满足 ， ，求 。na2na类型 4 nnf)(1解法：把原递推公式转化为 ，利用累乘法(逐商相乘法)求解。1nfa例 4:已知数列 满足 ， ，求 。na321nna1n类型 5 （其中 p，q 均为常数， ）。pnn1 )01(pq解法（待定系数法）：把原递推公式转化为： ，其中tatnn，再利用换元法转化为等比数列求解。pqt1例 5、（全国）数列 的首项 , ,n=2,3,4na21a31n
7、na（）证明数列 是等比数列；1n（2）求 的通项公式；na类型 6 （其中 p，q 均为常数， ）。)(1fpnn )01(pq例 6（07 津）在数列 中， ， ，na1243nna（）证明数列 是等比数列；*N（）求数列 的前 项和 ；nnS类型 7 递推公式为 与 的关系式。(或 )nSa(fa解法：利用 )211ann例 7（04 浙）设数列a n的前项和 Sn= （ an-1） (n +),3N（1）求 a1; a2; (2)求数列 an的通项公式。练习8、（07 陕西）已知实数列 等比数列,其中是na成等差数列.5547,1,1a且() 求数列 的通项公式;n() 数列 的前 项
8、和记为 证明: 128 ).,nS,n,321(9、（山东）设 是公比大于 1 的等比数列， 为数列 的前 项nanSna和已知 ，且 构成等差数列37S1234a， ，（1）求数列 的通项公式n（2）令 求数列 的前 项和 31ln2ba， ， ， ， nbnT答案：5、解: ()由 ,得 又 ,即)1(31aS)1(3a21)1(322aS,得 .221a42() 当 n1 时, ),()(11nnnnS得 所以 是首项 ,公比为 的等比数列.,21nana226、（）证明：由题设 ，得1431n， 1()4()nn*N又 ，所以数列 是首项为 ，且公比为 的等比数列ana4（）解：由（）
9、可知 ，于是数列 的通项公式为14nna14n所以数列 的前 项和 na1()32nS7解：（1）由 13234nna， ， ， ， ，整理得 11()n又 ，所以 是首项为 ，公比为 的等比数列，0aa1a12得 11()2nna8、解：（）设等比数列 的公比为 ，na()qR由 ，得 ，从而 ， ，671aq61q3414251aq56因为 成等差数列，所以 ，456a， ， 4652()即 ， 312()q122()(1)qq所以 故 1614nnnaA（） 142()18128nnnnqS9、解：（1）由已知得12327:()(4).aa，解得 2a设数列 的公比为 ，由 ，可得 nq2a132aq，又 ，可知 ，37S27即 ，250q解得 12，由题意得 q，1a故数列 的通项为 n12na（2）由于 31lnb， ， ， ，由（1）得 3l2lnn又 1nb是等差数列n12nTb()3l2(1)ln.故 3l2nT
