材料力学 第三讲(辽宁工业大学 郭鹏飞教授).pdf

1、 2-5 拉（压）杆的变形 拉（压）杆的变形 拉（压）杆的变形 拉（压）杆的变形 胡克定律 胡克定律 胡克定律 胡克定律 1、拉 、拉 、拉 、拉 (压 压 压 压 )杆的纵向变形 杆的纵向变形 杆的纵向变形 杆的纵向变形 绝对变形 绝对变形 绝对变形 绝对变形 线应变 线应变 线应变 线应变 -每单位长度 每单位长度 每单位长度 每单位长度的变形，无量纲 的变形，无量纲 的变形，无量纲 的变形，无量纲lll -1=ll=相对变形 相对变形 相对变形 相对变形 长度量纲 长度量纲 长度量纲 长度量纲F F dll1d1当杆件因荷载或截面尺寸变化的原因而发生不均匀变 形时，不能用总长度内的平均线

2、应变代替各点处的纵 向线应变。xyzCAOBxAB xx+x x截面处沿 x方向的纵向平均线应变为 xx截面处沿 x方向的纵向线应变为 xxxxxx dlim 0 =线应变以伸长时为正，缩短时为负。 线应变以伸长时为正，缩短时为负。 线应变以伸长时为正，缩短时为负。 线应变以伸长时为正，缩短时为负。 2、横向变形 、横向变形 、横向变形 、横向变形d=横向绝对变形 横向绝对变形 横向绝对变形 横向绝对变形 ddd-1=横向线应变 横向线应变 横向线应变 横向线应变F F dll1d1AFllEAFll=3、荷载与变形量的关系 、荷载与变形量的关系 、荷载与变形量的关系 、荷载与变形量的关系 胡

3、克定律 胡克定律 胡克定律 胡克定律当杆内应力不超过材料的某一极限值（ 当杆内应力不超过材料的某一极限值（ 当杆内应力不超过材料的某一极限值（ 当杆内应力不超过材料的某一极限值（ “比例极限 比例极限 比例极限 比例极限 ”） ） ） ）时 时 时 时 引进比例常数 引进比例常数 引进比例常数 引进比例常数 E EAlFN=F F dll1d1E 弹性模量 弹性模量 弹性模量 弹性模量 ，量纲与应力相同，为 ，量纲与应力相同，为 ，量纲与应力相同，为 ，量纲与应力相同，为 ， ， ， ， 2- 1- TMLEAlFlN= 拉（压）杆的 拉（压）杆的 拉（压）杆的 拉（压）杆的 胡克定律 胡克定

4、律 胡克定律 胡克定律EA 杆的 杆的 杆的 杆的 拉伸（压缩）刚度 拉伸（压缩）刚度 拉伸（压缩）刚度 拉伸（压缩）刚度 。 。 。 。单位为 单位为 单位为 单位为 Pa； ； ； ；F F dll1d1AFEll N1=E=称为单轴应力状态下的 称为单轴应力状态下的 称为单轴应力状态下的 称为单轴应力状态下的 胡克定律 胡克定律 胡克定律 胡克定律 EAlFlN=即 即 即 即 F F dll1d14、横向变形的计算 、横向变形的计算 、横向变形的计算 、横向变形的计算单轴应力状态下，当应力不超过材料的比例 单轴应力状态下，当应力不超过材料的比例 单轴应力状态下，当应力不超过材料的比例

5、单轴应力状态下，当应力不超过材料的比例极限时，一点处的纵向线应变 极限时，一点处的纵向线应变 极限时，一点处的纵向线应变 极限时，一点处的纵向线应变 与横向线应变 与横向线应变 与横向线应变 与横向线应变 的绝对值之比为一常数： 的绝对值之比为一常数： 的绝对值之比为一常数： 的绝对值之比为一常数： = 或 或 或 或 -= - 横向变形因数 横向变形因数 横向变形因数 横向变形因数 或 或 或 或 泊松比 泊松比 泊松比 泊松比F F dll1d1低碳钢（ 低碳钢（ 低碳钢（ 低碳钢（ Q 235Q Q Q ）： ）： ）： ）： 28.024.0= GPa210200=E例 例 例 例 2

6、-8 一阶梯状钢杆受力如图，已知 一阶梯状钢杆受力如图，已知 一阶梯状钢杆受力如图，已知 一阶梯状钢杆受力如图，已知 AB段的横截 段的横截 段的横截 段的横截面面积 面面积 面面积 面面积 A1=400mm 2， ， ， ， BC段的横截面面积 段的横截面面积 段的横截面面积 段的横截面面积A2=250mm 2,材料的弹性模量 材料的弹性模量 材料的弹性模量 材料的弹性模量 E=210GPa。 。 。 。 试求： 试求： 试求： 试求： AB、BC段的伸长量和杆的总伸长量。 段的伸长量和杆的总伸长量。 段的伸长量和杆的总伸长量。 段的伸长量和杆的总伸长量。F=40kN C BA 解： 解：

7、解： 解： 由静力平衡知， 由静力平衡知， 由静力平衡知， 由静力平衡知， AB、 、 、 、 C两段的轴力均为 两段的轴力均为 两段的轴力均为 两段的轴力均为FF=Nl1 =300l2=200故 故 故 故 11N1EAlFl=m m43.0=22N2EAlFl=m m15.0=233 m m40MPa10210 m m3N4 = 233 m m250MPa10210 m mN4 =F=40kNC BA l1 =300l2=200AC杆的总伸长 杆的总伸长 杆的总伸长 杆的总伸长 21lll += m m295.0152.043.0 =F=40kNC BA 例 例 例 例 2-9 图示杆系，

8、荷载 图示杆系，荷载 图示杆系，荷载 图示杆系，荷载 F=100kN, 求结点 求结点 求结点 求结点 A的位 的位 的位 的位移 移 移 移 A。 。 。 。 已知两杆均为长度 已知两杆均为长度 已知两杆均为长度 已知两杆均为长度 l 2m， 直径 直径 直径 直径 d =25mm 的圆 的圆 的圆 的圆杆 杆 杆 杆 ， =30，杆材 ，杆材 ，杆材 ，杆材 (钢 钢 钢 钢 )的弹性模量 的弹性模量 的弹性模量 的弹性模量 E = 210GPa。 。 。 。解： 解： 解： 解： 1、求两杆的轴力 、求两杆的轴力 、求两杆的轴力 、求两杆的轴力 。 。 。 。 cos22N1N FFF=

9、0xF FF=cos21N 2N1NFF=0yF得 得 得 得xyFN2FN1 FAB C1 2AF2、由胡克定律得两杆的伸长： 、由胡克定律得两杆的伸长： 、由胡克定律得两杆的伸长： 、由胡克定律得两杆的伸长： 21ll= EAlFEAlF2N1N= cos2EAFl=cosd22EFl= 根据杆系结构及受力情况的对称性可知，结点 根据杆系结构及受力情况的对称性可知，结点 根据杆系结构及受力情况的对称性可知，结点 根据杆系结构及受力情况的对称性可知，结点A只有竖向位移。 只有竖向位移。 只有竖向位移。 只有竖向位移。 FAB C1 23、计算节点位移 、计算节点位移 、计算节点位移 、计算节

10、点位移此位置既应该符合两杆 此位置既应该符合两杆 此位置既应该符合两杆 此位置既应该符合两杆 间的约束条件，又满足 间的约束条件，又满足 间的约束条件，又满足 间的约束条件，又满足 两杆的变形量要求。 两杆的变形量要求。 两杆的变形量要求。 两杆的变形量要求。关键步骤 关键步骤 关键步骤 关键步骤 如何确定杆系变形后结点 如何确定杆系变形后结点 如何确定杆系变形后结点 如何确定杆系变形后结点 A的位 的位 的位 的位置？ 置？ 置？ 置？AB C1 2 21A2A1Acoscos 21 AAA=即 即 即 即 coscos21 llA = 由变形图即确定结点 由变形图即确定结点 由变形图即确定

11、结点 由变形图即确定结点 A的位移。 的位移。 的位移。 的位移。 由几何关系得 由几何关系得 由几何关系得 由几何关系得 22cosdEFl=21A2A1A)(m m293.1 30cos)m m25()MPa10210( )m m10)(N10(2 223 33= = oA代入数值得 代入数值得 代入数值得 代入数值得 杆件几何尺寸的 杆件几何尺寸的 杆件几何尺寸的 杆件几何尺寸的 改变，标量 改变，标量 改变，标量 改变，标量此例可以进一步加深对变 此例可以进一步加深对变 此例可以进一步加深对变 此例可以进一步加深对变 形和位移两个概念的理解。 形和位移两个概念的理解。 形和位移两个概念

12、的理解。 形和位移两个概念的理解。 变形 变形 变形 变形 位移 位移 位移 位移 结点位置的移动， 结点位置的移动， 结点位置的移动， 结点位置的移动， 矢量 矢量 矢量 矢量与各杆件间的约束有关，实 与各杆件间的约束有关，实 与各杆件间的约束有关，实 与各杆件间的约束有关，实际是变形的几何相容条件。 际是变形的几何相容条件。 际是变形的几何相容条件。 际是变形的几何相容条件。二者间的函数关系 二者间的函数关系 二者间的函数关系 二者间的函数关系 AB C1 2 2-6 拉 拉 拉 拉 (压 压 压 压 )杆内的应变能 杆内的应变能 杆内的应变能 杆内的应变能 应变能 应变能 应变能 应变能

13、 弹性体受力而变形时所积蓄的能量。 弹性体受力而变形时所积蓄的能量。 弹性体受力而变形时所积蓄的能量。 弹性体受力而变形时所积蓄的能量。 单位： 单位： 单位： 单位： WV= mN1J1应变能的计算： 应变能的计算： 应变能的计算： 应变能的计算： 能量守恒原理 能量守恒原理 能量守恒原理 能量守恒原理焦耳 焦耳 焦耳 焦耳 J 弹性体的 弹性体的 弹性体的 弹性体的 功能原理 功能原理 功能原理 功能原理F l1l l拉 拉 拉 拉 (压）杆在线弹性范围内的应变能 压）杆在线弹性范围内的应变能 压）杆在线弹性范围内的应变能 压）杆在线弹性范围内的应变能 外力功： 外力功： 外力功： 外力功

14、： lFW=21 )(EAFll=V=杆内 杆内 杆内 杆内 应变能： 应变能： 应变能： 应变能： lF=21EAlF22=EAlF22N=F l1l l FlFl)(EAFll=WV= lF=21llEA2)(2=或F l1l l FlFl应变能密度 应变能密度 应变能密度 应变能密度 Vv=应变能密度单位： 应变能密度单位： 应变能密度单位： 应变能密度单位： 3m/Jv杆件单位体积内的应变能 杆件单位体积内的应变能 杆件单位体积内的应变能 杆件单位体积内的应变能 两端受轴向荷载的等直杆，由于其各横截面上 两端受轴向荷载的等直杆，由于其各横截面上 两端受轴向荷载的等直杆，由于其各横截面上

15、 两端受轴向荷载的等直杆，由于其各横截面上所有点处的应力均相等，故全杆内的应变能是均匀 所有点处的应力均相等，故全杆内的应变能是均匀 所有点处的应力均相等，故全杆内的应变能是均匀 所有点处的应力均相等，故全杆内的应变能是均匀 分布的。 分布的。 分布的。 分布的。 AllF=2121=E22=22E= )( E=F F ll1qxxF=)(N EAxxFV2d)(d2N=ll EAxxFVV 02N 2d)(dFN(x) FN(x) +d FN(x) lBA q xBqql dxFN(x)J67.64m mN1067.64 )m m25(4)MPa10210( )m m102()30cos2N

16、1010()cos2(23 2333 221N = = oEAlFEAlFV 解： 解： 解： 解：例 例 例 例 2-10 求图示杆系的应变能，并按弹性体的功能原理 求图示杆系的应变能，并按弹性体的功能原理 求图示杆系的应变能，并按弹性体的功能原理 求图示杆系的应变能，并按弹性体的功能原理求结点 求结点 求结点 求结点 A的位移 的位移 的位移 的位移 A 。 。 。 。 已知 已知 已知 已知 F =10 kN, 杆长 杆长 杆长 杆长 l=2m， ， ， ， 杆 杆 杆 杆径 径 径 径 d =25mm , =30， ， ， ， 材料的弹性模量 材料的弹性模量 材料的弹性模量 材料的弹性模量 E 210GPa。 。 。 。cos22N1N FFF=FABC1 2)(m m293.1 N1010 m m1067.422 33 = =FVA 21VFA=J67.4m mN1067.43 =V而 而 而 而FABC1 2练习题： 练习题： 练习题： 练习题：求图示变截面杆D点的位移。已知，E=200 GPa, A1=500 m m 2, A2=300 m m 2。 50 kN 20 kN 40 kN A1 A2 A1 A B C D 1 m 2 m 1 m 作业 作业 作业 作业 ： 2-7， 2-1， 2-15