第三章 分形和多重分形.doc

1、浙江大学硕士学位论文20第三章 分形和多重分形分 形 和 多 重 分 形 的 概 念 正 在 越 来 越 多 地 被 应 用 到 科 学 的 各 个 领 域 中 ， 它们 在 本 质 上 描 述 了 对 象 的 复 杂 性 和 自 相 似 性 。 分 形 和 多 重 分 形 是 不 依 赖 于 尺度 的 自 相 似 的 一 个 自 然 结 果 。 单 一 的 分 形 维 数 不 能 完 全 刻 画 信 号 的 特 征 ， 已有 例 子 表 明 许 多 视 觉 差 别 很 大 的 图 象 却 具 有 十 分 相 似 的 分 维 。 实 际 上 通 过 计算 分 形 维 数 无 法 区 分 单 一

2、 分 形 集 和 多 重 分 形 集 。 为 了 获 得 对 一 个 分 形 更 详 细的 描 述 ， 需 增 加 能 刻 画 不 同 分 形 子 集 的 参 数 ， 因 此 要 引 入 多 重 分 形 理 论 。在 直 观 上 可 将 多 重 分 形 形 象 地 看 作 是 由 大 量 维 数 不 同 的 单 一 分 形 交 错 叠 加而 成 的 。 从 几 何 测 度 性 质 的 角 度 ， 可 将 多 重 分 形 描 述 为 一 类 具 有 如 下 性 质 的 测度 （ 或 质 量 分 布 ） ： 对 于 足 够 小 的 正 数 ， 成 立 幂 律 特 性 ， 并r rxBur)(且 不

3、 同 的 集 对 应 于 不 同 的 （ 其 中 表 示 某 度 量 空 间 内 以 为 中 心 ， 半 径a)(xBr为 的 球 ） ， 在 此 意 义 上 ， 多 重 分 形 又 称 为 多 重 分 形 测 度 ， 它 揭 示 了 一 类 形 态r的 复 杂 性 和 某 种 奇 异 性 。 表 征 多 重 分 形 的 主 要 方 法 是 使 用 多 重 分 形 谱 或)(af广 义 维 数 。 多 重 分 形 谱 在 对 多 重 分 形 进 行 精 确 的 数 学 刻 画 的 同 时 ， 通qD)(af过 相 对 的 曲 线 为 多 重 分 形 提 供 了 自 然 而 形 象 的 直 观

4、描 述 ， 其 中 确 定)(af了 奇 异 性 的 强 度 ， 而 则 描 述 了 分 布 的 稠 密 程 度 。)(f3.1 分形的基本理论3.1.1 分 形 理 论 的 基 本 概 念 分 形分 形 几 何 学 是 由 Mandelbrot4首 先 提 出 并 发 展 为 系 统 理 论 ， Mandelbrot在 研 究 英 国 海 岸 线 的 复 杂 边 界 时 发 现 ， 在 不 同 比 例 的 地 图 上 会 测 出 不 同 的 海 岸线 长 度 ， 这 正 是 欧 几 里 德 几 何 无 法 解 释 的 。 在 研 究 中 ， 他 将 测 量 长 度 与 放 大 比例 （ 尺

5、度 ） 分 别 取 对 数 ， 所 对 应 的 二 维 坐 标 点 存 在 一 种 线 性 关 系 ， 此 线 性 关 系可 用 一 个 定 量 参 数 -称 分 形 维 数 来 描 述 。 由 此 , Mandelbrot 进 一 步 发 展 了 分 形浙江大学硕士学位论文21几 何 理 论 ， 可 以 产 生 许 多 分 形 集 图 形 和 曲 线 ， 如 Mandelbrot 集 、 Cantor 集 、Koch 曲 线 、 Sierpinski 地 毯 等 ， 还 可 描 述 复 杂 对 象 的 几 何 特 性 。 与 欧 氏 几 何 比较 ， 分 形 几 何 主 要 有 以 下 特

6、点 ： 1) 描 述 对 象 虽 然 很 复 杂 、 不 规 则 ， 但 不 同 尺度 上 有 规 则 性 或 相 似 性 。 2) 欧 氏 几 何 具 有 标 度 ， 理 想 的 分 形 具 有 无 限 的 几何 标 度 ， 而 无 特 征 长 度 。 3) 欧 氏 几 何 描 述 特 征 是 整 数 维 ， 而 具 有 分 形 的 复杂 曲 线 ， 其 分 维 是 大 于 1 的 非 整 数 ， 具 有 分 形 的 表 面 分 维 是 大 于 2 的 非 整 数 。 分 数 布 朗 运 动定 义 3.1 设 满 足 ， 为 任 意 实 数 ， 若 随 机 函 数 满 足 ：H100b 0

7、0212121 ),(),()2(),(0 wsdBtwsdBstwtBb HH则 称 为 分 数 布 朗 运 动 。 其 中 为 分 形 参 数 ， 时 ， 为),tH /),(tH普 通 布 朗 运 动 ， 为 样 本 空 间 的 样 本 。 分 数 布 朗 运 动 (FBM)是 一 种 分 形 模型 ， 可 以 很 好 的 描 述 分 形 信 号 ， 它 是 连 续 不 可 导 的 一 种 非 平 稳 随 机 过 程 ， 对 尺度 变 化 具 有 相 似 性 。 FBM 的 增 量 是 平 稳 的 零 均 值 Gaussian 随 机 过 程 。设 为 一 高 斯 随 机 场 ， 对 于

8、 ， 若 满 足)(xBH 10H(3.1) )()( yFxBPH则 称 为 FBR 场 （ 分 数 布 朗 随 机 场 ） 。 其 中 表 示 概 率 测 度 ； 表 示)(xH P范 数 ； 为 Hurst 分 形 指 数 , 为 高 斯 分 布 函 数 。)(yF对 (3.1)式 取 数 学 期 望 ， 有(3.2) HHh tyEtBtE 22/1|)(|)(| 分 形 参 数浙江大学硕士学位论文22 分 形 维 数 FD (Fractal Dimension)， 可 由 下 式 通 过 Hurst 指 数 得 到 ， 也 有 其它 许 多 估 计 方 法 （ 见 下 节 ） FD=

9、D+1-H， H 参 数 的 估 计 有 时 域 法 和 频 域 法 ，D 是 拓 扑 维 ， 对 可 求 长 的 光 滑 曲 线 D=1； 对 FBR 表 面 D=2； FD 是 描 述 分 形的 主 要 参 数 ， 一 般 的 ， 当 不 规 则 曲 线 的 FD 大 于 1 或 纹 理 表 面 的 FD 大 于 2时 ， 认 为 它 们 具 有 分 形 性 。 增 量 标 准 差 ， 也 由 （ 3.2） 式 得 出 。 无 标度 区 ， 理 想 分 形 满 足 （ 3.2） 式 ， 具 有 无 限 标 度 ； 对 于 实 际 图 象 ，),(maxin由 于 量 化 效 应 和 模 型

10、 的 差 异 ， 只 有 一 段 尺 度 空 间 使 （ 3.1） 满 足 线 性 关 系 ， 称为 无 标 度 区 。 实 际 图 象 越 接 近 理 想 分 形 ， 其 无 标 度 区 间 越 大 ， 即 的minax/值 越 大 。 在 此 区 间 ， 可 用 线 性 回 归 方 法 估 计 H 值 。3.1.2 分 形 维 数 的 估 计 法 分 维 的 估 计 有 许 多 方 法 5， 比 较 实 用 的 从 速 度 和 精 度 考 虑 ， 有 以 下 几 种 ：1) 数 盒 子 法 ： 对 于 分 形 曲 线 ， 用 可 变 尺 度 沿 曲 线 度 量 长 度 所 需 次 ，)(N

11、是 随 而 变 的 ， 分 维 由 下 式 确 定 ：(N)log(im0ND为 求 ， 在 计 算 时 以 不 同 尺 寸 的 网 状 栅 格 覆 于 曲 线 上 ， 为 格 子 大 小 ， 然)( 后 计 算 求 得 与 曲 线 相 交 的 格 子 数 ， 即 。 最 后 利 用 双 对 数 曲 线 估 计 分 维 值 。)(同 理 ， 对 于 分 形 纹 理 曲 面 ， 它 被 包 容 在 三 维 空 间 中 ， 因 此 用 小 立 方 体 来代 替 网 状 栅 格 ， 同 样 取 不 同 尺 寸 的 立 方 体 覆 盖 于 曲 面 上 ， 可 得 到 与 尺 寸 对应 的 小 立 方

12、体 总 数 ， 进 而 求 得 分 形 表 面 的 分 维 值 。)(N2) 功 率 谱 法 ： 对 图 象 先 作 付 氏 变 换 成 为 频 谱 图 ， 其 功 率 谱 为 ， 而 频2|)(|wP率 半 径 为 ， 作 出 功 率 谱 与 频 率 半 径 的 双 对 数 图 ， 根 据 线 性 回 归2VUR法 求 取 分 维 值 。浙江大学硕士学位论文233) 地 毯 覆 盖 法 ： 设 分 形 表 面 为 ， 形 象 的 用 厚 度 为 的 地 毯 覆 盖 ， 则),(jig2毯 的 上 表 面 点 集 为 和 下 表 面 ， 初 始 状 态 为),(jitb， 当 厚 度 ， 变

13、化 时 ，),(),(00gjibjit,321),(max)(ax),( 1),(ntjitjit Sn , ),(1bbb其 中 S 为 点 邻 域 点 集 ， 则 在 尺 度 下 ， 毯 的 面 积),(jiji jibtA, 2/),()()( 在 近 来 实 际 的 工 程 应 用 中 ， 研 究 者 们 针 对 一 些 分 形 维 数 的 定 义 ， 也 提 出了 许 多 关 于 分 形 维 数 计 算 的 方 法 ， 如 谢 和 平 30等 人 提 出 的 修 正 盒 计 数 维 数 、填 隙 维 数 、 两 脚 规 维 数 等 。 又 如 在 图 象 处 理 方 面 还 有 G

14、angepain 等 的 计 网 格元 法 （ Reticular Cell Counting） 、 Keller 等 的 基 于 概 率 的 估 算 法 、 基 于 分 形 布朗 运 动 自 相 似 模 型 的 估 计 法 6及 Sarkar 等 的 微 分 计 盒 法 （ Differential Box Counting， DBC） 等 。 其 中 DBC 法 和 基 于 分 形 布 朗 运 动 自 相 似 模 型 的 估 计 方法 覆 盖 了 图 象 FD 较 大 的 动 态 范 围 ， 但 是 这 两 种 方 法 随 纹 理 图 象 粗 糙 度 的 变 化反 映 出 的 FD 估 计

15、 值 的 变 化 趋 势 是 不 一 样 的 。 DBC 法 对 粗 糙 度 小 的 纹 理 敏 感 ，粗 糙 度 小 时 其 变 化 更 剧 烈 ， 而 基 于 分 形 布 朗 运 动 自 相 似 模 型 的 估 计 方 法 在 粗 糙度 小 时 其 变 化 较 前 者 平 缓 ， 在 高 粗 糙 度 的 情 况 下 的 变 化 比 前 者 剧 烈 ， 因 此 更 好地 反 映 了 大 FD 情 况 的 FD 估 计 差 异 。 我 们 的 论 文 工 作 中 ， 为 了 在 下 一 章 中 利用 FD 进 行 边 缘 检 测 ， 这 里 介 绍 利 用 基 于 分 形 布 朗 运 动 自

16、相 似 模 型 来 估 计 分 维FD 的 方 法 。3.1.3 基 于 分 形 布 朗 运 动 模 型 的 FD 估 计 法分 形 几 何 为 图 象 几 何 特 征 的 描 述 开 辟 了 一 个 新 途 径 。 Pentland7 的 研 究证 明 ， 自 然 界 大 多 数 景 物 表 面 是 空 间 各 向 同 性 的 分 形 ， 它 们 的 表 面 映 射 成 的 灰度 图 象 是 具 有 分 形 特 性 的 分 形 灰 度 表 面 ； 而 各 向 同 性 的 分 数 布 朗 随 机 场 模 型（ FBR） 是 描 述 自 然 景 物 的 有 效 方 法 之 一 ， 同 一 图 象

17、 区 域 的 灰 度 表 面 具 有 统 计意 义 上 的 自 相 似 性 ， 通 过 对 其 FBR 模 型 参 数 的 提 取 和 研 究 ， 可 以 获 得 图 象 许浙江大学硕士学位论文24多 重 要 的 几 个 参 数 7。 然 而 ， 在 不 同 图 象 区 域 的 交 界 处 ， 这 种 分 形 的 一 致 性将 被 破 坏 ， 在 此 求 出 的 分 形 参 数 值 将 会 超 出 其 理 论 取 值 范 围 （ 如 用 DFBR H描 述 图 象 灰 度 表 面 ， 其 分 形 参 数 H 的 理 论 取 值 范 围 应 为 ( )， 正 是 这10H些 值 发 生 奇 异

18、的 地 方 预 示 了 不 同 区 域 的 交 界 位 置 。 因 此 ， 通 过 对 H 值 的 计H算 和 分 析 ， 可 以 检 测 出 图 象 中 的 边 缘 6。 本 节 将 采 用 DFBR 场 模 型 作 为 描 述图 象 区 域 的 数 学 模 型 ， 据 此 定 义 一 种 新 的 分 形 参 数 值 的 计 算 方 法 ， 分 析 探讨 边 缘 处 值 的 奇 异 性 ， 并 将 它 用 于 图 象 边 缘 的 检 测 实 验 。 图 象 区 域 的 DFBR 场 模 型定 义 3.3 若 与 取 离 散 值 为 和 ， 则 称 为 离 散xnm),(),(mnBncH分

19、数 布 朗 随 机 场 （ 即 DFBR 场 ） 。由 以 上 定 义 可 知 ， 分 数 布 朗 随 机 场 是 非 平 稳 的 ， 而 对 应 的 离 散 增 量 （ 即DFBR 场 ） 则 具 有 统 计 平 稳 自 相 似 性 ， 即 DFBR 场 满 足 ： HHHHH mnEnBmE |)(1(|)(| n 222 |)|)|由 上 式 看 出 ， DFBR 场 的 一 、 二 阶 绝 对 矩 是 各 向 同 性 的 。 DFBR 场 模 型是 描 述 自 然 景 物 自 相 似 性 的 一 种 有 效 模 型 ， 其 局 部 统 计 特 性 能 有 效 地 吻 合 图 象区 域

20、的 局 部 统 计 特 性 8。 因 此 ， 用 DFBR 场 模 型 作 为 描 述 图 象 区 域 的 数 学 模型 ， H 参 数 能 够 表 征 同 一 图 象 区 域 的 自 相 似 性 （ 即 灰 度 表 面 的 均 匀 程 度 ） ，对 应 的 图 象 区 域 灰 度 表 面 的 分 形 维 数 可 由 参 数 获 得 ：HT1式 中 为 图 象 区 域 的 拓 扑 维 数 ， 。TD2D 参 数 的 定 义H设 图 象 区 域 的 灰 度 表 面 满 足 DFBR 场 模 型 ， 表 示 图 象 中 ),(0yxI ),(0yx处 的 灰 度 值 ， 由 DFBR 场 模 型

21、的 性 质 得 ：HIIEyxIIE),(),(),(),( 010浙江大学硕士学位论文25式 中 ， ；2020)()(yx111若 定 义 2020)()(yx|,|II则 上 式 可 写 成 ：HIEI)1()( 1两 边 取 对 数 得 ：(3.3) )log()(l)(IIH由 DFBR 场 模 型 的 定 义 及 性 质 知 ， DFBR 场 为 平 稳 过 程 ， 满 足 均 值 历 经性 ， 则 有 ： )()(1)( IEINI式 中 为 到 点 之 间 距 离 为 的 象 素 点 数 。 上 式 可 改 写 为 ： ),(0yxHlog10|),(),(|yxIIlog (

22、3.4)10),(),(|IyxIN)log(|3.2 多 重 分 形 的 有 关 概 念 及 性 质3.2.1 概 念多 重 分 形 9研 究 物 理 量 或 其 它 量 在 几 何 支 集 上 的 分 布 。 支 集 既 可 以 是 通常 的 规 则 集 ， 如 平 面 、 球 面 、 几 何 实 体 等 ， 也 可 以 是 分 形 集 。多 重 分 形 的 概 念 也 可 以 用 具 有 不 同 标 度 指 数 的 分 形 子 集 表 示 。 多 重 分 形浙江大学硕士学位论文26为 分 形 理 论 在 物 理 系 统 中 的 应 用 开 辟 了 新 的 研 究 领 域 ， 而 且 正

23、在 蓬 勃 发 展 。 本节 我 们 将 论 述 多 重 分 形 的 基 本 概 念 。定 义 3.410 定 义 在 一 个 紧 支 集 上 的 测 度 u 称 为 是 多 重 分 形 , 如 果 对 任意 ,存 在 , 使 得x)(x( 较 小 ) rxBr)(r(3.5） 这 里 是 中 心 位 于 ,半 径 为 的 球 ， ( ) 称 为 在 的 局 部 指)(xBrxrxlderoH数 。 令 .)(:xE且我 们 可 定 义 谱 (3.6) ).()(EFDf由 以 上 定 义 知 , 测 度 的 谱 ( , ) 给 出 了 一 个 集 合 的 局 部 与 整 体 ( )的a)(f

24、描 述 。 刻 画 了 测 度 的 奇 异 性 , 因 此 亦 称 作 奇 异 性 指 数 或 局 部 分 形 指 数 . 多 重分 形 奇 异 谱 表 征 了 奇 异 值 所 在 集 合 的 差 别 , 反 映 了 在 某 个 子 集 上 出 现)(f的 次 数 。 谱 是 描 述 多 重 分 形 的 一 套 基 本 语 言 .定 义 3.511 令 是 与 测 度 的 支 集 相 交 的 个 网 格 坐 标 立 方 体 ，NiC1N那 么 多 重 分 形 的 广 义 维 数 定 义 如 下 ：, log)(lim10iqiq CD)(R1qq=1; (3.7)l)(li0i iiq现 已

25、经 证 明 D 对 应 测 度 支 集 的 分 形 维 数 ， D 对 应 测 度 的 信 息 维 数 ， D01对 应 其 关 联 维 数 ， 由 此 可 知 ， 广 义 维 D 实 际 上 包 含 了 分 形 理 论 所 涉 及2的 全 部 维 数 ， 并 且 扩 展 了 分 形 理 论 的 内 涵 。浙江大学硕士学位论文27研 究 表 明 多 重 分 形 理 论 为 图 象 分 析 提 供 了 强 有 力 的 工 具 ， 其 中指 数 可 用 于 基 于 奇 异 性 的 图 象 分 割 ,多 重 分 形 维 数 用 于 基 于 纹lderoH理 的 图 象 分 割 ,多 重 分 形 谱

26、用 于 奇 异 特 征 提 取 和 分 类 。若 定 义 配 分 函 数 如 下 12：)(qZiqiqCuZ)()(则 由 下 式 定 义 质 量 指 数 ：)()(qqa广 义 维 数 谱 是 描 述 多 重 分 形 的 另 一 套 基 本 语 言 。 与 满qD qD)(足 以 下 关 系(3.8) )1(/qq当 与 可 微 时 ， 有 如 下 的 Legendre 变 换 9)(qf(3.9) qqf/)()()(由 （ 3.8） (3.9)可 导 出 qqDfddfD)1()(/)(这 说 明 ， 在 描 述 多 重 分 形 时 ， 语 言 与 语 言 是 相 互 等 价 的 。

27、已知 时 ， 可 以 从 上 述 关 系 导 出 。qD)(f对 均 匀 分 形 ， 通 常 用 简 单 分 维 （ 容 量 维 ） 、 （ 信 息 维 ） 、 （ 关 联0D12D维 ） 就 可 以 充 分 地 描 述 。 对 多 重 分 形 则 需 用 分 形 谱 或 来 描q)(f述浙江大学硕士学位论文283.2.2 多 重 分 形 的 基 本 性 质 13(1) 单 调 性 ： 广 义 维 数 和 奇 异 性 指 数 是 关 于 的 严 格 单 调 递 减 函qD)(q数 ， 质 量 指 数 是 关 于 严 格 单 调 递 增 的 凸 函 数 ， 奇 异 谱 函 数 关 于)(q )(

28、f是 凸 的 ， 在 部 分 单 调 递 增 ， 在 部 分 单 调 递 减 。00(2) 极 限 ： 在 参 数 时 ， 广 义 维 数 和 奇 异 性 指 数 有 相 同 的 极qD)(q限 ； 质 量 指 数 趋 向 无 穷 ， 且 分 别 与 和 同 阶 ； 奇 异 谱 函 数)(qminax的 极 限 则 显 示 了 最 大 和 最 小 测 度 分 布 的 相 对 比 例 。)(f这 里 我 们 给 出 了 一 副 纹 理 图 象 的 与 曲 线 。)(afqD原图曲线图 曲线图qD )(af浙江大学硕士学位论文293.3 多 重 分 形 图 象 分 析由 前 面 的 定 义 （ 3

29、.4） 和 (3.5) ,我 们 知 道 多 重 分 形 理 论 是 建 立 在 事 先 已 定义 好 的 测 度 上 ， 这 些 测 度 是 最 有 代 表 性 的 ， 以 便 运 用 它 们 来 进 行 象 直 线 、 角 点 、阶 跃 边 等 奇 异 性 的 提 取 。 可 以 肯 定 通 过 选 择 合 适 的 测 度 ， 我 们 可 以 达 到 不 同 的目 的 ， 如 能 使 我 们 检 测 到 不 同 的 奇 异 性 ， 并 进 一 步 区 分 它 们 。 而 且 这 种 测 度 对噪 音 不 太 敏 感 。 下 面 我 们 给 出 文 献 1014中 定 义 的 几 种 测 度

30、 。定 义 3.6 如 果 是 灰 度 为 非 零 的 区 域 的 一 个 子 集 合 ， )(XI),(yx是 点 处 的 灰 度 ， 则 定 义 如 下 的 几 种 测 度 ：XiqLqiiiXIMnIax/1minax)()()()( )13.(2.)0(3.3.1 图 象 的 指 数 表 示lderoH由 多 重 分 形 理 论 知 指 数 是 图 象 中 象 素 的 函 数 ：l),(yx。 自 然 地 我 们 可 以 根 据 前 面 所 定 义 的 测 度 计 算 每 个 象 素 的),(yx指 数 ， 然 后 就 能 得 到 图 象 的 指 数 表 示 。 对 前 面 所 定 义

31、 的 不 同 测lderoH lderoH度 ， 我 们 得 到 图 象 不 同 的 指 数 表 示 ， 这 样 就 可 在 不 同 的 场 合 下 使 用 。lr这 里 我 们 针 对 不 同 的 测 度 ， 给 出 了 “Lenna”图 象 的 如 下 几 幅 指 数lderoH表 示 。 由 前 面 的 定 义 知 ， 对 每 个 象 素 ， 我 们 首 先 得 到 中 心 位 于 这 个 象 素 处 的 一系 列 不 同 半 径 的 领 域 测 度 ， 然 后 有 最 小 二 乘 法 拟 合 数 据 点 对 ， 由 拟 合 直 线 的 斜率 即 可 求 出 每 点 的 。 在 本 实

32、验 中 所 取 的 半 径 分 别 为 ：),(yx1， ， 2， ， ， 3， 。5210浙江大学硕士学位论文30（ a） Lenna 原 图(b) 基 于 公 式 （ 3.10） 的 测 度 (c) 基 于 公 式 （ 3.11） 的 测 度(d) 基 于 公 式 （ 3.12） 的 测 度(e) 基 于 公 式 （ 3.13） 的 测 度q=2图 13.3.2 图 象 的 多 重 分 形 维 数 分 布 表 示浙江大学硕士学位论文31对 于 公 式 (3.7) 所 定 义 的 广 义 维 数 ， 它 给 我 们 的 一 个 直 觉 是 当 比 较 大q时 ， 对 测 度 非 常 稠 密

33、的 部 分 敏 感 ， 而 当 较 小 (甚 至 是 负 数 )时 ， 我 们 可 得qDq到 稀 疏 区 域 的 信 息 ， 由 此 得 到 图 象 分 析 的 多 重 分 形 维 数 分 布 。文 献 6已 表 明 ， 通 过 计 算 图 象 中 每 个 象 素 的 分 形 维 数 值 能 得 到 图 象 的 分形 维 数 分 布 。 而 每 个 象 素 的 分 形 维 数 值 由 计 算 中 心 位 于 这 个 象 素 的 邻 域 （ 大 小为 77） 分 形 维 数 得 到 。 我 们 把 这 一 方 法 推 广 到 计 算 多 重 分 形 维 数 情 况 ， 因此 对 某 一 个 值

34、 ， 通 过 计 算 图 象 中 每 个 象 素 的 值 ， 同 样 能 得 到 图 象 的 多 重qqD分 形 维 数 分 布 ， 而 多 重 分 形 维 数 分 布 图 比 原 图 更 适 合 用 来 进 行 如 “边 缘 检 测 ”等 一 些 随 后 过 程 的 处 理 。对 不 同 的 测 度 ， 不 同 的 值 ， 我 们 给 出 的 “Leaf”图 的 多 重 分 形 维 数 分q布 图 如 下 。(a) Leaf 原 图(b) 基 于 公 式 （ 3.10） 的 测 度 (q=3) (c) 基 于 公 式 （ 3.11） 的 测 度 (q=3)浙江大学硕士学位论文32(d) 基 于 公 式 （ 3.12） 的 测 度q=3 (e) 基 于 公 式 （ 3.13） 的 测 度q=3(f) 基 于 公 式 （ 3.10） 的 测 度q=-1(g) 基 于 公 式 （ 3.11） 的 测 度q=-1(h) 基 于 公 式 （ 3.12） 的 测 度q=-1(i) 基 于 公 式 （ 3.13） 的 测 度q=-4 图2