1、弯曲中的静力学：剪力图和弯矩图 MA 02139，剑桥 麻省理工学院 材料科学与工程系 David Roylance 2000 年 11 月 15 日 引言 梁是细而 长 的构件， 它 们与桁架 杆 件的区别 在 于：梁不 仅 能承受轴 向 载荷，也 能 承 受横向载荷。 梁的连接方式也比桁架杆件更为复杂： 梁可通过螺栓或焊接而连在一起， 因此连接处可将弯矩和横向力传递到梁内。梁是最常用的构件之一，它们是飞机、建筑物、汽车、人体和其他许多结构的支承框架。 梁的几何尺寸及梁横截面各部分的命名是相当标准的： 如图 1所示， L为 长 度 或 跨 度 ； b为宽度； h为高度（也称为 深度 ） 。梁
2、横截面的形状不一定是矩形，倒是常常采用由垂直的腹板 和位于梁1顶、底部的水平 翼缘 所组成的截面。 图 1 梁的几何尺寸及梁横截面各部分的命名 在模块 13和 14中将看到， 弯曲载荷引起的梁的应力和位移沿着梁的长度方向和高度方向都有变化。为了计算这些量并掌握这些量的空间变化规律，第一步是要画出剪力图 和弯矩图 ， 这些图反映了梁中产生的内力剪力和弯矩沿梁长度的变化情况。 以下将讲述剪力图和弯矩图的画法。 )(xV)(xM图 2 悬臂梁 1建筑用刚梁的表示已标准化，例如 W 8 40表示名义深度为 8英寸、单位长度重为 40 lb/ft的宽翼缘梁。 1受力图 先举一个简单的例子， 梁的一端固定
3、 （即 “ 悬 臂 梁 ”），其 自由端受到载荷 P 的作用，如图 2所示。在位置 x处，假想用截面将梁横向截断，截出部分的受力图表明：为了保持平衡， 其横截面上必有剪力 V 和弯矩 M 。 在模块 13中 将证明： 由弯曲载荷引起的横截面上切应力的合力就是剪力、 而正应力的合力就是弯矩。 通常， 规 定外法线指向 x轴正向的截面为正，简记为 + x截面，规定 + x面上指向 轴正向的剪力为正。弯矩按右手法则用矢量来表示时，则 +yx面上指向 轴正向的弯矩矢量为正。即弯矩矢量垂直纸面向外、或弯矩有使纸面逆时针方向转动趋势时为正。 另外一种判别法为： 若梁弯曲后的形状是向上凹， 则弯矩为正。对本
4、例中的梁，其静力学方程为： z注意： 离载荷端的距离越远， 弯矩也越大。 因此， 梁越长， M 最大值与 V 的比值就越大。 这一结论对大多数梁都成立， 所以， 对长度与高度之比值较小的梁来说， 剪切效应往 往更为重要。 图 3 剪力图和弯矩图 如上所述，可以证明梁的应力和位移是 V 和 M 的函数，所以需要计算 V 和 M 是如何沿着梁的长度而变化的，具备这一计算能力是十分重要的。 图和 图分别称为 剪力图和弯矩图 。在确定应力之前，必须先得到这两张图。对自由端加载的悬臂梁，图 3所示的剪力图和弯矩图显然是由式（ 1）和式（ 2）得出的。 )(xV )(xM图 4 墙对悬臂梁的约束反力 分析
5、悬臂梁时， 从自由端处开始是最容易的， 但坐标原点的选取是任意的。 我们并非总能猜出最容易的处理方法，所以应该考虑：如果坐标原点取在图 4所示的墙上，将出现什么情况。 现在画受力图时， 在坐标原点处必须画上力和力偶， 这就是墙对梁的反作用力及力偶。正是外加载荷和反作用力及力偶， 共同使梁保持平衡状态。 如果梁是静定的， 从梁整体的受2力图，就能确定这些反作用力及力偶，并且必须在继续进行后续步骤之前先行求得。对图 4所示的梁： 于是，在距原点为 x处，截面上的剪力和弯矩分别为 坐标原点这样选择时，代数式与前有所不同，但图 5所示的 图和 图除了符号的变化外，和图 3是一样的： V 依然是一个常数
6、，且等于)(xV )(xMP ； M 从自由端的零线性地变化到墙体固定端的 。 PL图 5 悬臂梁另一种形式的剪力图和弯矩图 分布载荷 图 6 分布载荷和自由体截段 横向载荷也可能以分布的形式而不是集中于一点的方式作用于梁上，如图 6所示，图中的分布载荷看起来就像沙子堆积在梁上。 为方便起见， 我们用 单位长度上的力 来表示分布载荷， 于是 d)(xq x就是分布载荷 作用在长为 d)(xq x的微段上的载荷。 由此载荷引起的剪力为 3式中， 为 起点处的0x )(xq x值， 为积分变量， 表示从 x起往回度量的长度。 因此，就是从 到位置)(xV0x x处 曲线下的面积。 考虑梁上与点)(
7、xq x距离为 、 宽度为 d 的微段， 其上作用的载荷增量为 )(q d ，该段载荷对点 x之矩的增量为 )(q d ，于是通过矩平衡方程，可得弯矩 为 )(xM对于 曲线下直到点)(xq x为止的面积，其形心与点 x的距离为 式（ 4）与此形心坐标有关，因此式（ 4）可写成 式中， d= )(qQ 即为曲线下的面积。 故从静力学角度来看， 分布载荷 等价于作用在 曲线下面积形心处的、大小为 的集中载荷。 )(xq)(xq Q_ 图 7 分布载荷和集中载荷 例1 简支梁 受到三角形分布载荷和集中载荷的作用， 如图 7所示。 为确定支座反力 和，三角形分布载荷可用一个静力学等价的力来代替。此等
8、价力的大小为 1R2R4此等价力作用在三角形面积的形心处，作用点与三角形顶点的距离为载荷分布总长度的 2/3（见题 1图）。现在，对梁左端取矩就可求出约束反力 ： 2R然后由垂直方向的受力平衡可求出另一个约束反力 ： 1R_ 连续积分法 图 8 分布载荷、剪力和弯矩之间的关系 在式 （ 3） 中 ， 我们已经注意到： 剪力曲线是载荷曲线对长度的积分再加一个负号。 这个结果也可用另外的方法得到，从梁中取出长为 d x的微段，在微段的左、右两截面上，剪力和弯矩分别从 V 和 M 变化到 dV 和+V +M d M （见图 8） ， 分布载荷 在此微小的距离内可看作常数，则该自由体的静力平衡方程为：
9、 )(xq或 上式与式（ 3）等价。对微段中点的矩平衡方程为 当增量 d x缩短至趋近于零时，含有高阶微量 dV d x的项与其它项相比可以忽略不计，剩下的是 5或 因此， 沿梁轴线任意点处的剪力等于弯矩曲线在该点处斜率的负值， 弯矩曲线在任意点处的值等于剪力曲线下到该点为止所围面积的负值。 如下例所示，通过对分布载荷 的连续积分，可得到剪力曲线和弯矩曲线。 )(xq_ 图 9 悬臂梁中的剪力和弯矩函数 例 2 悬臂梁上作用着负的分布载荷0)( qxq = =常数，如图 9所示。于是 式中， 为积分常数。在靠近 处（梁的左端）取微段，由其受力图可得， ,故 必为零。再积分，得弯矩函数： 1c
10、0=x 0)0( =V1c式中， 为另一个积分常数。因为2c 0)0( =M ，故 也为零。 2c_ 无可否认，上例是容易求解的，因为我们挑选的边界条件恰为零，而且整段梁上只受一个载荷的作用。 当集中载荷或分布载荷作用于梁的不同位置时， 就必须对各载荷之间的每一段分别积分求解。 每一段的积分都会出现未知的积分常数， 要确定这些常数， 必须借助于各段梁的挠曲线在交界处斜率和挠度的连续性。 这是一个颇为劳神费力的过程， 但若用我们即将介绍的 奇异函数法 ，就会容易得多。 在不画受力图或不列平衡方程的情况下， 常常也可画出 V 和 M 图。 由于这些曲线互为积分或求导的结果，利用斜率和面积之间的关系
11、，将使作图变得更为容易。 6应用这些规律， 可逐步从 曲线得出 曲线、 再得出 曲线。 不管集中载荷作用于梁上哪一点， 曲线必在该点处突变， 突变值即该载荷值， 但方向相反； 类似 地 ，在梁上集中力偶作用处， 曲线也必定不连续、有突变。 )(xq )(xV )(xM)(xV)(xM_ 图 10 简支梁 例3 为说明 这一过程， 考虑图 10所 示的简支梁， 该梁长为 ， 其右半段作用负的分布载荷 。求解 、 的步骤如下： L0qq = )(xV )(xM1、 由静力平衡方程求出支座的约束反力。将分布载荷用集中载荷 )2/(0LqQ = 来代替， 集中载荷作用在 分布区中点处（见图 10（ b
12、）。对 A点取矩： q然后由垂直方向的力平衡方程，求得梁右端的约束反力： 注意： 只有两个平衡方程可用， 因为水平方向的力平衡方程不能提供有关的信息。 因此， 若支座多于两个，梁将是超静定的。 受力图即 图再加上梁在两端的约束反力，如图 10（ c）所示。 )(xq2、 从梁的左 端开始作剪力图， 在支座 处， V 值立即跳到A 8/0Lq ，且 与 处的约束反力（集中力）反向， V 保持此值不变直到A2/Lx = 处，如图 10（ d）所示。 3、在 处， 随着 分布曲线下方所围的面积开始增加， 曲线保持斜 率不 变 、 值开始增大。 当 时， 剪力的增加量为 ，此 即 曲线下的总面积，2/
13、Lx = )(xq )(xV0q+)(xV Lx = 2/0Lq )(xq7因此该处的剪力为 )8/3()2/()8/(000LqLqLq =+ 。 然后， 剪力突变、 突变值与约束反力反向，使剪力跌落至零。（ 图应该永远是封闭的，这是检验图形的一个方法。） )8/3(0LqRB= MV、4、 如图 10（ e） 所示， 弯矩图在开始时为零， 因为梁的左端没有集中力偶的作用。 然后，曲线保持斜率 （此即前半段梁的剪力值）不变。当)(xM8/0Lq+ 2/Lx = 时，弯矩值已增加到。 16/20Lq5、在 以后， 随着剪力值的增大， 弯矩曲线的斜率开始减小。 由于弯矩函数总是比剪力函数高一次，
14、故此时弯矩曲线呈抛物线状。剪力曲线在2/Lx =8/5Lx = 处穿过 轴，在该点处，弯矩曲线的斜率也将减小至零值。弯矩的最大值为 ，此即 V 曲线下直至该点的总面积。 0=V128/920Lq6、在 之后，弯矩曲线仍为抛物线、弯矩值不断下降，直至在 处达到零值。 8/5Lx = Lx =_ 奇异函数 奇异函数是一类特殊函数， 可自动处理梁中经常出现的不规则载荷。 它们很象常见的多项式函数，但直到在梁上指定点被“激活”之前，其值为零。奇异函数的正式定义为 式中， = 2,1, 0,1,2,。函数 是单位阶跃函数；n0 ax1 ax 用来表示集中载荷；用来表示集中力偶。这些函数中的前 5个如图
15、11所示。 2 ax图 11 奇异函数 8奇异函数的积分与多项式的积分很相似： 但是当 = 1和 = 2时， 有特殊的积分规则， 为强调这种特殊的处理方法， 将指数 用作下标： n n n_ 例 4 将奇异函数用于例 3中的梁，载荷函数可写成 式中也可包括梁右端的约束反力，但该项仅当 Lx = 时才被“激活” 、而求解的问题也就到右端为止。将上式积分一次： 式中自动包含了积分常数， 因为 中已明确地包含了 端约束反力的影响。 再积分一次： )(xq A验证后表明，此结果与前面的相同。 Maple 符号处理软件为绘制这类函数图提供了一种有效的方法。 下列程序将说明： 用海维赛德（ Heavisi
16、de）函数表示奇异性时，如何画出本例中的弯矩曲线。 TM# 用 a 和 n定义函数 sfn # 输入用奇异函数表示的弯矩方程 # 提供 和 的数值 : q L# 画函数曲线 9图 12 用 Maple程序和奇异函数画出的弯矩图 习题 1 (a)-(c) 对图示分布载荷，确定其等价力的大小和作用位置。 2 (a)-(c) 求出题 1中各种情况下支座的约束反力。 题 1图 3 (a)-(h) 画出图示各种载荷情况下的剪力图和弯矩图。 4 (a)-(h) 对题 3中各种载荷情况下的剪力和弯矩，写出其奇异函数表达式。 5 (a)-(h) 对题 3中各种载 荷情况， 用 Maple（或其 它） 软件画出其剪力图和弯矩图。 需要时可用下列数值： = 25 in,a = 5 in, = 10 lb/in,L w P =150 lb。 6 如图所示，在轴向载荷 P 的作用下，梁的横向挠度为 )/sin()(0Lyy = 。试求沿梁轴线的弯矩 。 )(yM107 对图示圆弧形曲杆，试求沿其轴线的弯矩 )(M 。 题 2图 题 6图 题 7图 11
