1、速降线问题找到的形状曲线下降，这珠从静止和滑动加速通过重力将下滑（无摩擦）从一个点到另一个在最少的时间。从希腊术语源于 （brachistos） “最短”和 （ 克罗诺斯 ）“时间，延迟。 ”在速降线问题是提出的最早的问题之一变分法 。牛顿被质疑要解决的问题在 1696 年，并没有这样的第二天（博耶和 1991 年 Merzbach，页 405） 。事实上，该解决方案，这是一个的段摆线 ，发现由莱布尼茨，L医院，牛顿，并且两个伯努利。利用考虑光通过改变密度的透明层（马赫 1893 年，加德纳 1984 年，新闻报和 1996 年罗宾斯）折射的路径类似于 1约翰伯努利解决了这个问题。其实，约翰伯
2、努利原先发现了一个不正确的证明，该曲线是一条摆线，并质疑他的兄弟雅各布找到所需的曲线。当雅各布正确地这样做了，约翰试图替代证明自己（博耶和 1991 年 Merzbach，第 417 页） 。在该溶液中，在胎圈可能实际行驶上坡沿摆线的距离，但该路径是仍然不是一条直线（或任何其它线）更快。从旅游点的时间 另一点 由给定的积分（1）哪里 是电弧长度和 是速度 。的速度在任何时候由能量守恒定律等同动能重力势能的一个简单的应用程序给定的，（2）给（3）这堵成（）的身份一起（4）然后给出（5）（6）要变化的函数是这样（7）若要继续，人们通常要应用全面爆发的 欧拉-拉格朗日微分方程（8）但是，该函数 因为
3、是特别好的 并没有明确出现。因此， ，并且马上就可以使用 标识的 Beltrami（9）计算（10）减法 从 以及简化然后给出（11）平方两边和重新排列稍有导致（12）（13）那里的老常数的平方 已经表示在一个新的（计算正 ）不变 。这个方程是由求解参数方程（14）（15）这是-你瞧- 一个方程摆线 。若动摩擦被包括在内时，问题也可以解析求解，尽管该解决方案是显著混乱。在这种情况下，对应于权重的法向分量和法向分量计算加速度 （因为路径的存在曲率 ）必须被包括在内。包括两个方面需要约束变技术（Ashby 等人 1975） ，但包括重的法向分量只给出了一个近似解。的切线和法线向量是（16）（17）重力和摩擦力为（18）（19）（20）和沿曲线的组分是（21）（22）所以牛顿第二定律给出了（23）但（24）（25）（26）（27）所以（28）采用 欧拉-拉格朗日差分方程 给出（29）这可以化简为（30）现在，让（31）结论是（32）（33）
